Energy Engineering - Statistica per L'ingegneria

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Appello di Statistica per Ingegneria Energetica22 settembre 2014 ©I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1. SiaXil numero aleatorio di regali che Leonardo riceverà per il suo primo compleanno. Consideriamo le funzioniFeG, dipendenti dai parametri; 2R: F(x) =8 > > > > > > < > > > > > > :0 ; x > > :0 ; x 2:33) =P =83 Z >2:3335 =pn  =  2:33 +35 =pn  : Quindi da >0:80ricaviamo 2:33 +35 =pn > 0:85 da cuipn > 5:3. Sono quindi necessari almeno 29 valori,n29. 2 Problema 3 . La legge di Hooke stabilisce che l'allungamentoysubito da una molla è direttamente proporzionale alla forzaxa essa applicata: y=b 1x; (1) dove la costante di proporzionalitàb 1viene detta costante elastica e dipende dalla natura del materiale di cui è costituita la molla.Uno studente di ingegneria esegue alcune prove con8molle uguali, tutte di uno stesso materiale sconosciuto, ciascuna molla lunga 2 metri e di diametro pari a0:34mm, sottoponendole a diverse forze per stimare la costanteb 1: Ecco i risultati e il relativo diagramma di dispersione: forzax(g)20 40 60 80 100 120 140 160 allungamentoy(mm)5:6 11:9 17:6 23:8 29:8 35:7 41:9 47:7I dati raccolti vengono elaborati sulla base del modello empirico lineare e gaussiano Y=b 0+ b 1x +; N(0;2 ) trovando i seguenti risultati3 1. Quanto valgono le stime dei coecienti b 0, b 1e ? 2. Valutare la bontà del modello empirico. 3. Fornire una stima intervallare al 95% per la costante elastica del materiale esaminato. 4. Sottoporre a verica l'ipotesi che la costante elastica delle molle sia pari a 0.3. Si indichino le ipotesistatistiche da sottoporre a test, la regione critica di livello, il p-value dei dati, la conclusione. 5. Sottoporre a verica l'ipotesi di validità della legge di Hooke per il materiale esaminato, o, meglio,l'ipotesi che la legge di Hooke valga per l'allungamento atteso a forza ssata:E[Y] =b 1x . Si indichino le ipotesi statistiche da sottoporre a test, la regione critica di livello, il p-value dei dati, la conclusione. 4 Risultati. 1.b b0= 0 :003571;b b1= 0 :299821;b = 0:2967. 2. Il modello empirico è buono: la percentuale di variabilità diyspiegata dalla regressione con la variabilità dixraggiunge il 99.97%, mentre la validità dell'ipotesi gaussiana è confermata dall'alto p-value del test di Shapiro-Wilk sui residui (0.6345) e dai graci degli stessi (in realtà il graco di dispersione evidenzia una possibile eteroschedasticità). Tuttavia solo il coeciente angolare risulta signicativo. Andrebbe confrontato con un modello senza intercetta. 3. L'intervallo di condenza perb 1è bb1 t n2 1 + 2  se(b b1) b 1b b1 t n2 1 + 2  se(b b1) Poichét 6(0 :975) = 2:447ese(b b1) = 0 :002289, otteniamo 0:2998212:447
0:00229 = 0:2998210:0056 =)I C(95%) = (0:29422;0:30542): 4.H0: b 1= 0 :3H 1: b 16 = 0:3 R:  b b1 0:3  > se(b b1) t 6( =2)   b b1 0:3  se( b b1)= 0 :30:2998210 :002289= 0 :0782 =)0:0782 =t 6( =2)0:8 per cui, con un p-value superiore all'80% (valore esatto 94.02%), non possiamo riutare l'ipotesi nulla: la costante elastica del materiale esaminato è pari a 0.3. 5. H0: b 0= 0 H 1: b 06 = 0 R:  b b0  > se(b b0) t 6( =2) p-value= 0:988 per cui, con un p-value così alto, non possiamo riutare l'ipotesi nulla: vale la legge di Hooke per il materiale esaminato. 5