Energy Engineering - Statistica per L'ingegneria

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione IV Appello di Statistica per Ingegneria Energetica4 settembre 2015 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1. Maya lavora per il teatro Orion, dove sono stati già venduti tutti i 500 biglietti per la prima deLa Dea Scarlatta. Maya tuttavia sa che, su 1000 posti venduti, tipicamente ne rimane 1 vuoto. (a) Quale distribuzione haX k, la variabile che indica se il k-esimo posto in teatro rimane vuoto? (b) Quale relazione haY, il numero totale di posti vuoti, con le variabiliX k? Quale distribuzione haY? (c) Qual è il numero atteso di posti vuoti? (d) Qual è la probabilità che Maya possa far sedere in teatro la sua amica Ayumi, rimasta senza biglietto? (e) Qual è il numero più probabile di posti vuoti?(f ) Qual è la probabilità che rimanga vuoto almeno mezzo teatro?Sono ammessi sia calcoli esatti, sia calcoli semplicati basati su opportune approssimazioni, sia mere maggiorazioni basate sulla disuguaglianza di Chebyshev. 1 Risultati. (a)X k B(p), dovep= 1=1000 = 0:001. (b)Y=500 X k=1X k B(500;0:001). (c)E[Y] = 500
0:001 = 0:5. (d)P(Y1) = 1P(Y= 0) = 10:999500 = 0:3936. (e) DatoP(Y= 0) = 0:6064>0:5, per forza di cose il valore più probabile èY= 0. (f )P(Y250) =P(Y0:5249:5) =P jY0:5j 249:5 Var( Y)(249 :5)2= 8
10 6 . 2 Problema 2 . Il proprietario di una gelateria vuole essere sicuro che i suoi dipendenti riempiano le vaschette grandi con una quantita di gelato mediamente inferiore ad 1 kg. Ha quindi registrato i pesi xkdelle ultime 25 vaschette grandi vendute, trovando dati così distribuitiFigura 1: Istogramma e NPP dei dati con una media campionaria ed una deviazione standard campionaria pari ax 25= 0 :9857kg; s 25= 0 :0225kg: (a) Fornire una stima puntuale della media e della deviazione standard del peso delle vaschette grandivendute dalla gelateria. (b) Fornire, se possibile, una stima intervallare al 99% della media e della deviazione standard del pesodelle vaschette grandi vendute dalla gelateria. Non rassicurato da mere stime, il proprietario vi chiede di quanticare con un p-value l'evidenza stati- stica con cui le 25 vaschette controllate possono provare che il peso medio di tutte le vaschette grandi vendute sia inferiore ad 1 kg. (c) Impostare un opportuno test statistico per rispondere al quesito del proprietario, specicando: ipotesinulla, ipotesi alternativa, regione critica di livello, condizioni di utilizzabilità del test. (d) Calcolare il p-value dei dati raccolti.(e) Trarre le debite conclusioni. Sono forti o deboli? 3Istogramma dei pesi 0.90 0.95 1.00 1.05 0 2 4 6 8 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l −2 −1 0 1 2 0.90 0.95 1.00 1.05 Normal Q−Q Plot Quantili teorici Quantili empirici Risultati. Sianoela media e la deviazione standard del peso delle vaschette grandi vendute dalla gelateria. (a)b =x 25= 0 :9857kg;b =s 25= 0 :0225kg: (b) Anche se il campione non è particolarmente numeroso (n= 25