Energy Engineering - Meccanica dei fluidi

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POLITECNICO DI MILANO prova di Meccanica dei Fluidi (ENG) 12 Febbraio 2018 Nome: _____________________ Cognome: _________________________ Matricola: ____________ Esercizio 1: Un’asta orizzontale rigida (di peso trascurabile), fissata a dei pattini liberi di scorrere lungo le pareti verticali, è collegata rigidamente a tappi di diametro D e D 2 che chiudono i due serbatoi rappresentati in figura. Dati: la geometria del sistema, il peso specifico del fluido γ (in entrambi i serbatoi), il peso specifico del liquido manometrico mγ , n (>0) indicazione del manometro metallico collegato al serbatoio di sinistra e l’indicazione del manometro semplice, ∆. Determinare il peso specifico ( sγ ) del tappo del serbatoio di sinistra affinchè esso rimanga chiuso come indicato in figura (si assuma che il peso del tappo nel serbatoio di destra sia trascurabile). Determinare e disegnare la distribuzioni delle pressioni del serbatoio di destra. Esercizio 2: Dati la portata Q uscente dal foro di diametro d, le caratteristiche del fluido (γ, υ ), le caratteristiche delle condotte (L i, D i, εi, i=1,2,3), la potenza erogata dalla turbina W T e il suo rendimento ηT, la quota del pelo libero del serbatoio Z B, la lettura manometrica ∆ e il peso specifico del liquido manometrico γ m, la distanza ℓ e il rendimento ηm della macchina idraulica installata nel sistema di condotte inferiori. Determinare la direzione e il valore delle portate circolanti nel sistema, la tipologia di macchina idraulica posta lungo la condotta inferiore e la sua potenza, la lettura del manometro metallico n. Disegnare le linee dei carichi totali e le linee piezometriche. Domande Teoriche: 1.- Scrivere l’eq di Eulero evidenziando le ipotesi di validità. Dimostrare il th di Bernoulli evidenziando le ipotesi necessarie alla sua derivazione. 2.- Scrivere l’eq di Navier Stokes evidenziando le ipotesi necessarie alla sua derivazione. Ricavare la distribuzione dello stato di sforzo in tubazioni circolari cilindriche in condizioni di moto laminare stazionario. 3.- Ricavare il tensore degli sforzi di Reynolds e discuterne il significato fisico. Nota bene: in tutte le equazioni introdotte nelle risposte alle domande 1-3 definire tutti i simboli e riportarne le dimensioni fisiche o le unità di misura nel SI. ESERCIZIO 1: Traccia di soluzione Per trovare il peso specifico del tappo necessario a mantenere in equilibrio il sistema: imporre un equilibrio alla traslazione verticale dell’asta rigida su cui agiscono complessivamente due forze come rappresentate in figura 1 2 0 S S + = Dove 2S è la spinta agente sul tappo di destra (spinta su superficie piana orizzontale). Essa è diretta dall’alto verso il basso essendo sicuramente la pressione minore di quella atmosferica in corrispondenza della superficie bagnata del tappo: 2 2 2 3 ˆ ( ) ( ) 4 m D S h j π γ γ = −∆ − Tutte le grandezze coinvolte per il calcolo di 2S sono note. 1S corrisponde alla forza risultante agente sul tappo del serbatoio di sinistra, cioè: 1 f S P S = + Dove P è il peso del tappo: 2 21 2 ˆ ( ( ) )( ) 4 4 s d D P h h h j π π γ = + + − ↓ mentre fS è la spinta risultante sul tappo data dai fluidi gas e γ. Essa può essere determinata, ad esempio, con il metodo dell’equazione globale scegliendo un opportuno volume di controllo. 1S 2S gas γ 1Π 0Π G j i Essendo volume fittizio, risulta che 0 1 fS G = Π = −Π − Con: 2 1 ˆ ( ) 4 D n jπ Π = − 2 1 ˆ ( ) 4 d G h j π γ = − La spinta risultante è quindi: 2 21 ˆ ( )( ) 4 4 f D d S n h j π πγ = + Sostituendo all’interno dell’equazione di equilibrio scritta all’inizio si ottiene un’equazione in una sola incognita ( sγ ). 22 2 2 2 2 3 1 21 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ( ) )( ) ( )( ) 0 4 4 4 4 4 m s D d D D d h j h h h j n h jπ π π π π γ γ γγ −∆ − + + + − + + = ESERCIZIO 2: Traccia di soluzione Dalla posizione dei menischi del manometro differenziale si riesce a capire che la portata nella conodotta inferiore scorre dal serbatoio di destra verso quello di sinistra. Il serbatoio di sinistra è a volume finito: la portata uscente dalla luce di diametro d (Q) è entrante nel volume finito e la portata della condotta inferiore (Q inf) è entrante anch’essa nel serbatoio finito. Necessariamente la portata della condotta superiore (Q sup ) è uscente dal serbatoio a volume finito per rispettare la continuità. Per cui: inf sup Q Q Q + = Nella condotta superiore la portata si muove quindi dal serbatoio di sinistra al serbatoio di destra: essendoci presenti solo perdite, il carico nel serbatoio di sinistra è necessariamente maggiore di quello di destra (Z A>Z B). Per rispettare questo vincolo la macchina della condotta inferiore è una pompa. Siano V 3 la velocità del fluido circolante nella condotta inferiore e C il punto in corrispondenza del braccio del manometro collegato alla condotta inferiore. Dalla lettura del manomentro differenziale si ricava la portata circolante: ( ) 2 2 3 3 3 ( ) ( ) 0.5 2 2 m C B C C B C p Z Z p V V Z Z J l g g γ γ γ γ α γ −  − + = ∆     − + + = +   Per ricavare la velocità ( e di conseguenza la poratata circolante nella condotta inferiore) è necessario usare il procedimento iterativo. Nota la portata Q inf, si ricava la portata circolante nella condotta superiore sup infQ Q Q = + . Ipostando il bilancio enenrgetico della condotta superiore è possibile ricavere il livello Z A: 2 2 2 1 2 1 21 1 2 2 ( ) 1.16 2 2 2 AT B V V V V Z J L J L H Z g g g α − = + + + + + ∆ + Dove supT T T W H Q γ η ∆ = Nota Z A è possibile impostare il bilancio energetico per la condotta inferiore per torvare la prevalenza utile fornita dalla pompa: 2 23 3 3 3 0.5 2 2 B A P V V Z Z J L H g g α = + + − ∆ + Nota PH∆ si determina la potenza assorbita della pompa: inf P P MH Q W γ η ∆ = Per derminare la lettura del manometro metallico n si considera il processo di efflussio dalla luce di diametro d: 2 2 ( ) 4 A A d n Q g Z Z π µ γ = + −