Energy Engineering - Meccanica dei fluidi

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NOME:____________________________ MATRICOLA:_________________ 1) Dato il sistema mostrato in figura e noti il peso specifico γ 1, il peso del tappo P s, le letture manometriche n g e n 1, l’angolo ϕ, le misure D, h, h 1 e r: Determinare il peso specifico γ 2 del fluido che riempe per metà il cilindro collegato al tappo tramite una fune indeformabile affinchè il sistema sia all’equilibrio nella configurazione riportata in figura. 2) Noti: Le caratteristiche del fluido γ e ν , il peso specifico del liquido manometrico γ m e la lettura manometrica ∆, le caratteristiche geometriche delle condotte (D i, L i, ε i), i diametri delle luci circolari D U e D E, la portata uscente dalla luce Q U e la quota della luce Z U, la potenza assorbita dalla pompa W p e il rendimento della macchina idraulica η p. Determinare: la posizione del piano dei carichi idrostatici dei quattro serbatoi presenti nel sistema. Tracciare: le linee dei carichi totali e piezometriche delle condotte. Domande Teoriche: POLITECNICO DI MILANO Meccanica dei Fluidi - Appello del 2 5/06/201 8 1.- Ricavare l’equazione di continuità in forma indefinita evidenziando le ipotesi necessarie alla sua derivazione. 2.- Ricavare il profilo di velocità e la distribuzione degli sforzi tangenziali di un fluido reale che transita in moto laminare fra due lamine piane parallele di cui una è fissa mentre l’altra si muove di moto uniforme con assegnate velocità. Evidenziare le ipotesi necessarie alla derivazione. 3.- Ricavare lo spessore dello strato limite di una corrente uniforme che si muove con velocità U parallela a una lastra piana di lunghezza infinita nella direzione del moto. Determinare inoltre e il coefficiente di Drag associato all’integrazione fluido-lastra. Evidenziare le ipotesi necessarie alla derivazione. N.B.: per le domande teoriche, introdurre una lista dei simboli utilizzati (unica per tutte le domande) e riportare le dimensioni fisiche o le unità di misura nel SI di tutti i simboli utilizzati. TRACCIA DI SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI: ESERCIZIO 1: Per determinare γ 2 è necessario imporre l’equilibrio tra le forze agenti lungo la direzione x del sistema di riferimento indicato in figura: , 1, , 0 gas x x C S xS S P P γ + + + = Vengono ora dettagliati tutti i termini dell’equilibrio sopra riportato: • , gas x S è la componente lungo x del della spinta generata dal gas sul corpo di peso P s dove la spinta 2 ˆ ( ) 4 gas D S inπ = ed ha solo componente lungo la direzione x. Segue che 2 , ˆ ( ) 4 gas x D S inπ = secondo il sistema di riferimento scelto ed essendo n minore di zero come inidicato nel testo. • 1,xSγ è la componente lungo x della spinta generata dal fluido γ 1 sulla superficie semisferica di contatto con il tappo di peso P S. Usando il metodo dell’equazione globale si determina la spinta 1Sγ: o Come volume di controllo si sceglie una semisfera di diametro D riempita di fluido γ 1. Per cui 1 0 1S Gγ π π = − = + + di cui la componente di interesse è 1, 1,x x xS Gγ π = − − . La spinta 1π ha solo componente lungo l’asse x per cui 2 1, 1 1 1 1 / 2ˆ ( ) ( ) sin( ) 4 x D D n h i π π π γ γ φ = = + + e ( ) 3 2ˆ cos 32 x D Gi γ π φ   =    • , S xP è la componente lungo x del peso del tappo che resulta essere , ˆ cos ( ) S xSP iP φ = • CP è il peso del cilindro appeso all fune e trasmesso al tappo che è incognito L’unica incognita nell’equilibrio è il peso del cilindro che può essere ricavato esplicitamente e che sarà diretto lungo (-i). Tenendo conto che 2 2 2 4 C rh Pπ γ = si ricava il peso specifico γ 2 ESERCIZIO 2: Il serbatoio 4 è a volume finito e presenta una luce sulla parete laterale il che significa che la portata nella luce E si muove dal serbatoio 3 al 4. Il manometro differenziale è posto a cavallo dell’impianto di sollevamento per cui il punto caratterizzato da carico maggiore dovrà essere a valle dell’impianto affinchè la pompa svolga lavoro. Il manometro indica che il punto A è a pressione maggiore quindi la portata Q 1 si muove dal serbatoio 3 al serbatoio 2. La conservazione della massa del serbatoio 3 che è a volume finito richiede che nelle due condotte gemelle superiori la portata Q (uguale nelle due condotte) si muova da sinistra a destra. Nota la portata uscente dall’efflusso U è possibile determinare la quota del pelo libero del serbatoio 4 come 24 2 ( ) 4 U U V C UD Q C C g Z Z π = − Per continuità del serbatoio 4 Q U= Q E e quindi si dertermina la posizione del piano dei carichi idrostatici del serbatoio 3 (Z 3) con la seguente relazione dell’efflusso dalla luce E 2 3 4 2 ( ) 4 E U V CD Q C C g Z Z π = − Usando l’indicazione del manometro differenziale possiamo scrivere che m PH γ γ γ − ∆ = ∆ Sapendo che il PH∆ dipende dalla portata sollevata dalla pompa: 1m P P P W H Q γ γ η γ γ − ∆ = = ∆ Con come unica incognita la portata Q 1 che è quindi determinata. Per continuità del serbatoio 3 si può scrivere 1 2 E Q Q Q = + Essendo note Q 1 e Q E, si determina Q circolante nelle due condotte gemelle superiori. Imponendo la conservazione dell’energia tra il serbatoio 3 e 2 si ricava, come unica incognita esplicita, la posizione Z 2 del serbatoio 2. 2 21 1 2 3 1 1 1.16 2 2 P V V Z Z H J L g g α = + ∆ − − − Analogamente imponendo la conservazione dell’energia in una delle due condotte superiore gemelle si ricava l’unica incognita mancante, la posizione del pelo libero Z 1 del serbatoio 1 2 2 1 3 0.5 2 2 V V Z Z JL g g α = + + +