Energy Engineering - Meccanica dei fluidi

Full exam

NOME:____________________________ MATRICOLA:_________________ 1) La paratoia cilindrica di peso trascurabile e profondità unitaria, la cui sezione è un settore circolare come indicato in figura, è incernierata in C e si trova in condizioni di incipiente apertura quando la tensione nella fune è F. Noti i pesi specifici γ1 e γ2 dei fluidi e tutta la geometria (incluse le altezze h1, e h2). Determinare la lettura n del manometro metallico nelle condizioni di equilibrio indicate. 2) Noti: le quote Z1, Z2, Z3 e Zn, la lettura n del manometro metallico, le caratteristiche del fluido, γ e ν, le caratteristiche delle condotte (Di, Li, εi), e il rendimento delle macchine idrauliche. Determinare: Il tipo di macchina inserita in ogni condotta, le portate circolanti nelle condotte, la potenza delle macchine, e la spinta dinamica sul diffusore di traccia A-B. Tracciare: le linee dei carichi totali e piezometriche POLITECNICO DI MILANO Meccanica dei Fluidi - Appello del 31/08/2018 F α α γ2 γ1 h1 R h2 C α ℓ L1, D1, ε1 L2, D2, ε2 L3, D3, ε3 L4, D4, ε4 volume finito volume finito Z1 Z2 ? ? Z3 Zn n A B n = ? Du SOLUZIONE DEL TEMA D’ESAME DEL 31-08-2018 Il presente documento è da intendere come traccia di soluzione per la verifica della propria preparazione personale e non come soluzione dettagliata. ESERCIZIO 1: STATICA La condizione di equilibrio della paratoia è alla rotazione intorno alla cerniera “C”. Applicando l’equilibrio dei momenti introno a “C” secondo il sistema di riferimento indicato nella figura: si ha M C ∑ = 0 S γ 1 b 1 − S 1 γ 2 b 2 + F R = 0 Dove: • Sγ1 è la spinta che il liquido di peso specifico γ1 esercita sulla superficie piana verticale di traccia A-C. • S1γ2 è la spinta che il liquido di peso specifico γ2 esercita sulla superficie piana di traccia B-C. • F l’azione trasmessa dalla fune alla paratoia. Si noti che la spinta S2γ2 non è presente nell’equazione di equilibrio perché la sua risultante passerà dal centro di rotazione, quindi non produce momento. Per soddisfare la condizione di equilibrio è necessario determinare i valori che assumono le diverse forze e il loro braccio rispetto il centro di rotazione: • F: la forza trasmessa dalla fune è nota • Sγ1: è una spinta su una superficie piana. Chiamando pn il valore in Pascal della pressione indicata con n nel manometro metallico, il modulo della spinta può essere espresso come, S γ 1 = p G 1 A = p n γ 1 + h 1 + R 2 ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ γ 1 R • S1γ2: è anche lei una spinta su una superficie piana che analogamente a quanto detto sopra avrà un modulo pari a, S 1 γ 2 = p G 2 A = h 2 + R 2 s i n α ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ γ 2 R I centri di spinta di queste azioni, rispetto il baricentro di ognuna delle superfici considerate, si trova a una distanza Io/Axo. (si ricordi che xo è l’affondamento, rispetto alla retta di sponda, del baricentro ! S γ 1 A B C della parete premuta misurato lungo la linea di maggiore pendenza). Quindi, i valore di b1 e b2 risultano: b 1 = R 2 + R 3 1 2 p n γ + h 1 + R 2 ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ R b 2 = R 2 + R 3 1 2 h 2 s i n α + R 2 ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ R Introducendo i risultati ottenuti nell’equazione di equilibrio: γ 1 R 2 p n γ 1 + h 1 + R 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + γ 1 R 2 1 2 + F − γ 2 R 2 h 2 + R s i n α 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − γ 2 R 2 s i n α 1 2 = 0 da dove è possibile esplicitare il valore dell’incognita: p n = γ 2 h 2 + R s i n α 2 ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ − γ 1 h 1 + R 2 ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ + R 6 γ 2 s i n α − γ 1 ( ) − 2 F R ESERCIZIO 2: DINAMICA Poiché entrambi i serbatoi hanno un volume finito, l’equazione di continuità impone in entrambi che la portata in arrivo sia uguale a quella in uscita. Dato che lo sbocco della condotta superiore è in atmosfera, si può affermare che la portata in questa condotta scorre verso destra e di conseguenza, che la macchina inserita in essa è una pompa. Sempre per la conservazione della massa, risulta che la portata circolante è la stessa nelle due condotte, quindi, la macchina inserita nella condotta inferiore è una turbina. In base a questo risultato le equazioni che descrivono il moto nel sistema sono: • eq. continuità 1. Q s up = Q inf = Q • eq. del moto 2. z 1 + Δ H p = z 3 + α Q 2 A 2 2 2 g + 1 . 1 6 Q 2 A 1 2 2 g + λ 1 D 1 Q 2 A 1 2 2 g L 1 + λ 2 D 2 Q 2 A 2 2 2 g L 2 3. z 2 − Δ H T = z 1 + λ 3 D 3 Q 2 A 3 2 2 g L 3 + k Q 2 A 4 2 2 g + λ 4 D 4 Q 2 A 4 2 2 g L 4 + m Q 2 2 g 1 A 4 2 − 2 A 4 A u + 1 A u 2 ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ + α Q 2 A u 2 2 g Il sistema non è risolvibile perché presenta solo 2 equazioni e 3 incognite: Q, ΔHT e ΔHp e pn (più i valori di λ 1, λ2, λ 3 e λ 4) La soluzione del problema richiede l’utilizzo della lettura del manometro metallico che può essere associata al moto come segue: z n + p n γ + α Q 2 A 2 2 2 g = z 3 + α Q 2 A 2 2 2 g + λ 2 D 2 Q 2 A 2 2 2 g L 2 in questa espressione le grandezze zn e pn sono note, quindi l’unica incognita è Q insieme al valore di λ2 che ne risulta dipendente nell’equazione di Colebrook attraverso il numero di Reynolds. Si noti che annullandosi il termine cinetico perché presente in entrambi membri dell’equazione, ci si trova nel caso di cadente nota, quindi è possibile determinare il valore di λ2 in maniera diretta perché la sua dipendenza rispetto alla portata si elimina come segue: z n + p n γ − z 3 = J 2 L 2 J 2 = λ 2 D 2 Q 2 A 2 2 2 g → λ 2 = J 2 2 g D 2 v 2 2 R e 2 λ 2 = µ v 2 D 2 ρ J 2 2 g D 2 v 2 1 λ 2 = − 2 l o g ρ 2 . 5 1 µ D 2 J 2 2 g D 2 + ε 2 / D 2 3 . 7 1 ⎡⎣⎢⎢ ⎤⎦⎥⎥ Certamente è possibile risolvere l’equazione e trovare il valore della portata Q anche determinando il valore di λ2 mediante una procedura alle approssimazioni successive a partire da un valore di primo tentativo ipotizzato Con il valore di Q è possibile determinare i valori di λ1 , λ3 e λ4 con la formula di Colebrook o attraverso l’abbaco di Moody. Con questi valori insieme a quello della portata nella prima equazione del moto (eq. 2) si determina il valore di ΔHp e nella seconda equazione del moto quello di ΔHT. Con questi valori è possibile calcolare la potenza delle due macchine: W T = γ Q Δ H T η T W P = γ Q Δ H T η P Per il calcolo dellla spinta sul diffusore è necessario applicare l’equazione globale dell’idrodinamica al volume di controllo limitato dalla parete del diffusore e le superfici piane circolari a monte e a valle di questo: ! Π 0 + ! Π u + ! Π 4 + ! G + ! M 4 − ! M u = 0 Dove la spinta cercata ! S = − ! Π 0 . I moduli delle diverse forze sono: ! Π u = p u A u ! Π 4 = p 4 A 4 ! M u = ρ Q v u ! M 4 = ρ Q v 4 ! G = γ W Si noti che i valori di pi e vi si trovano con la seconda equazione del moto applicata opportunamente alle sezioni interessate come indicato nelle figure dove sono introdotte le linee di carico e piezometrica. ΔHT ΔHP