Energy Engineering - Meccanica dei fluidi

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NOME:____________________________ MATRICOLA:_________________ 1) Dato il sistema mostrato in figura e noti il peso specifico del corpo conico γ P, la forza F necessaria a tenere chiuso il serbatoio, i pesi specifici γ 1 e γ 2 e le misure geometriche h 1, h 2, h 3, h 4, h 5, h 6, D 1, d: Determinare il peso spefico del cilindro immerso γ S in modo che rimanga in equilbrio nella posizione indicata in figura e la distribuzione di pressione lungo la parete verticale del serbatoio. 2) Noti: Le quote Z 1, Z 2, Z E e Z U, le caratteristiche del fluido γ e ν , il peso specifico del liquido manometrico γ m e la lunghezza l, le caratteristiche geometriche delle condotte (D i, L i, ε i), i diametri delle luci circolari D U e D E, la potenza assorbita dalla pompa W p e l’efficienza della macchina η p e l’efficienza della turbina η T. Determinare: la lettura manometrica n, le portate circolanti, la potenza erogata dalla turbina e la posizione relativa dei menischi e la lettura manometrica ∆ nel manometro differenziale collegato alla condotta 1. Tracciare: le linee dei carichi totali e piezometriche. NB:I peli liberi dei serbatoi 1 e 2 sono alla stessa quota. POLITECNICO DI MILANO Mecc anica dei Fluidi - Appello del 16 /07/2018 Domande Teoriche: 1.- Ricavare (dall’equazione differenziale di equilibrio dinamico) l’equazione globale di equilibrio dinamico e discutere il significato fisico di ogni termine ottenuto. 2.- Determinare la distribuzione delle tensioni tangenziali di una corrente in una condotta cilindrica in regime turbolento. Evidenziare le ipotesi necessarie alla derivazione. 3.- Spiegare il paradosso di D’Alembert. Analizzare la variabilità del coefficiente di Drag con il numero di Reynolds per un corpo tozzo. N.B.: per le domande teoriche, introdurre una lista dei simboli utilizzati (unica per tutte le domande) e riportare le dimensioni fisiche o le unità di misura nel SI di tutti i simboli utilizzati. TRACCIA DI SOLUZIONE TEMA D’ESAME 16/07/2018. ESERCIZIO 1: Per derterminare il peso specifico del cilindro immerso, si deve imporre il seguente equilibrio di forze: 0 f SS P+ = Dove SP è il peso del cilindro: 23 2 ˆ ( )( ) 4 S S d P h h jπ γ = + −. Il sistema di riferimento è riportato in figura. La spinta fS è quella generata dai due fluidi agente sul cilindro e può essere calcolata applicando il principio di Archimede. Risulta 2 2 1 1 2 2 ˆ ( )( ) 4 4 f d d S h h jπ π γ γ = + + L’unica incognita nell’equilibrio è quindi il peso specifico del cilindro e risulta quindi determinato. Per determinare la distribuzione di pressione lungo la parete verticale è necessario conoscere il valore di pressione in almeno un punto all’interno del serbatoio. E’ possibile determinare la pressione in corrispondenza della parete superiore del serbatoio imponendo l’equilibrio del tappo che chiude il serbatoio: 0 P F S P+ + = Dove F è la forza imposta nota. PP è il peso del tappo pari a 2 1 6( )ˆ ( ) 6 P P D h h P jπ γ ∂+ = − mentre S è la spinta generata dal fluido 1γ sulla porzione di cono a contatto con il fluido. Tale spinta si può calcolare usando il metodo dell’equilibrio globale sul volume di controllo rappresentato nella seguente figura e con 0 1 S G π π= = − − La spinta generata dal fluido 1γ risulta essere 2 2 2 21 6 ˆ ( )( ) 4 6 A D D S p h jπ π γ = + dove Ap è la pressione del fluido 1γ in corrispondenza del punto A indicato in figura; 2D è il diametro della base del cono immerso nel fluido pari a 1 6 2 5 6D h D h h = + . Nota la pressione nel punto A è quindi determinabile la distribuzione di pressione all’interno del serbatoio. ESERCIZIO 2: Le portate circolanti si muovono come indicato in figura dato che: 1) il serbatoio 3 ha volume finito e ha un efflusso alla base e quindi la portata Q 3 sarà necessariamente entrante nel serbatoio; 2) Il serbatoio 2 ha volume finito, presenta un efflusso sul lato e la portata Q 3 è uscente come determinato allo step 1 quindi la portata Q 12 deve essere necessariamente enetrante nel serbatoio 2. Di conseguenza il manometro avrà il menisco più basso nel braccio sinistro per essere coerente con una portata che si muove da sinistra verso destra. Noto Z 1 si determina la portata uscente dall’efflusso: 21 2 ( ) 4 E E V C ED Q C C g Z Zπ = − Imponendo il bilancio di energia sulla condotta superiore è possibile ricavare Q 12: 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 0 1.16 2 2 2 P V V V Z Z J L n J L H g g g α − = = + + + − ∆ + Dove 12 P P P W H Q η γ ∆ = e 122 4 i i Q V D π = con i=1,2. Il bilancio ha una sola incognita Q 12 che però è implicita ed è quindi ricavabile con processo iterativo. Note Q 12 e Q E si ricava per continuità del serbatoio 2 la portata Q 3. Dall’efflusso alla base del serbatoio 3 si ricava la lettura del manometro n 2 3 3 2 ( ) 4 U U V CD n Q Q C C g Z π γ = = + Infine, imponendo la conservazione dell’energia sulla condotta inferiore si determina la potenza erogata dalla turbina: 2 23 3 1 3 3 3 ( ) 0.5 2 2 T V V n Z Z J L H g g α γ − + = + + ∆ + 3 T T TW H Q η γ= ∆