Energy Engineering - Principi di Sistemi Elettrici

Eserciziario del corso

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Esercitazioni del corso di Principi di sistemi elettrici Ing. Energetica 2 Indice I Teoria delle reti 7 1 Esercizi introduttivi alle reti elettriche 91.1 Nozioni introduttive, denizioni e convenzioni di segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Convenzioni di segno da adottare per svolgere gli esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Esercizi introduttivi alle reti elettriche: leggi di Kirchho delle correnti e delle tensioni 131.3.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.6 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.7 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.8 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.9 Esercizio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Esercitazione 119 2.1 Nozioni introduttive, bipoli, collegamento serie e parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Nozioni introduttive, resistenza equivalente serie, parallelo, trasformazione stella-triangolo 20 2.3 Esercizi reti di bipoli: collegamento serie e parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Esercizi reti di bipoli: stella - triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.1 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.2 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.3 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.4 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.5 Esercizio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Esercitazione 231 3.1 Esercizi reti di bipoli e PSCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.6 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.7 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.8 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.9 Esercizio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.10 Esercizio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 4 INDICE 4 Esercitazione 341 4.1 Esercizi reti di bipoli: MILLMANN, THEVENIN e NORTON . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.2 Teorema di Millmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.6 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.7 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.8 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 Esercitazione 453 5.1 Esercizi reti di bipoli: teorema generale delle reti elettriche, metodo ai nodi e metodoalle maglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.1.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2 Algoritmo da seguire - correnti di maglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.1 Applicazione del metodo delle correnti di maglia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.2.2 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2.3 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3 Algoritmo da seguire - Potenziale ai nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3.1 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6 Esercitazione 561 6.1 Esercizi reti di bipoli: transitori del primo ordine richiami di teoria . . . . . . . . . . . 61 6.1.1 Fenomeno transitorio per reti in corrente continua: . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2 Identicazione della costante di tempo per circuito con un condensatore . . . . . . . . 63 6.3 Identicazione della costante di tempo per circuito con un induttore . . . . . . . . . . 63 6.4 Esercizi reti di bipoli: transitori del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.4.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.4.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.4.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.4.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.4.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.4.6 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7 Esercitazione 671 7.1 Numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.1.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.1.2 Operazione tra numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.2 Reti in regime sinusoidale permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2.1 Fasore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.2.2 Dalle resistenze alle impedenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.2.3 Serie di impedenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.2.4 Parallelo di impedenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2.5 Impedenza equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.2.6 Maglia minima: operazioni tra fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8 Esercitazione 783 8.1 Regime permanente alternato sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.1.2 Esercizio 2 - sistemi elettrici in regime alternato sinusoidale . . . . . . . . . . . 84 8.1.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 INDICE 5 8.1.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.1.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8.1.6 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.1.7 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9 Esercitazione 897 9.1 Potenze e rifasamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.1.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.1.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.1.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.1.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6 INDICE Parte I Teoria delle reti 7 Capitolo 1 Esercizi introduttivi alle reti elettriche 1.1 Nozioni introduttive, denizioni e convenzioni di segnoCircuito elettrico semplice:Figura 1.1: Circuito elettrico semplice Nel circuito elettrico si identicano irami(olati), inodie lemaglie. 1.Bipolo:Rappresentazione minima di un qualsiasi componente all'interno di una rete, è rappre- sentato dal ramo. Nella rete d'esempio abbiamo 7 bipoli: A, B, C, D, E, F, G. 2.Nodo:Punto di intersezione di due o più rami. Nella rete d'esempio abbiamo 6 nodi: N1, N2, N3, N4, N5, N6. 3.Maglia:Percorso chiuso individuabile su un circuito. Nella rete d'esempio abbiamo 3 maglie: m1, m2, m3. Corrente elettrica: è una grandezza scalare è denita mediante una intensità (unità di misura:ampere [A]) è caratterizzatasempreda un verso (indicato su un circuito mediante unafreccia orientata) La corrente è denita come:I
=dqdt ) [I] =A=Cs La corrente ha lo stesso valore in tutte le sezioni di un circuito privo di diramazioni (ovvero, la corrente all'inizio del lato è uguale alla ne del lato). La legge rappresentativa dei legami tra le correnti di un circuito è laLegge di Kirchho delle Correnti (LKC)(principio di conservazione della carica): LA SOMMA ALGEBRICA DELLE CORRENTI ENTRANTI IN UN NODO E'NULLA 9 10 CAPITOLO 1. ESERCIZI INTRODUTTIVI ALLE RETI ELETTRICHEFigura 1.2: Ramo Figura 1.3: LKC Convenzione: positive le correnti entranti nel nodoI1 I 2+ I 3 I 4= 0 Supercie gaussiana (o supernodo):è una supecie chiusa che racchiude al suo interno una porzione del circuito e intencetta uno o più rami (rappresenta l'estenzione del concetto di nodo). è possibile applicare la LKC alle correnti dei rami intercettati dalla supercie gaussiana. 1.1. NOZIONI INTRODUTTIVE, DEFINIZIONI E CONVENZIONI DI SEGNO 11 Tensione elettrica (o dierenza di potenziale): è una grandezza scalare è denita tra due nodi è denita mediante una ampiezza (unità di misura:volt [V]) è caratterizzatasempreda una direzione (indicata sul circuito mediante unafreccia. La punta rappresenta il polo positivo, la coda il polo negativo) In una rete a regime costante, la legge rappresentativa dei legami tra le tensioni di un circuito è la Legge di Kirchho del le Tensioni (LKT)(proprietà di irrotazionalità del campo elettrico):Figura 1.4: LKT VBA+ V C B+ V DC+ V AD= 0 LA SOMMA ALGEBRICA DELLE TENSIONI SU UNA MAGLIA (CIRCUITOCHIUSO) E' NULLA 12 CAPITOLO 1. ESERCIZI INTRODUTTIVI ALLE RETI ELETTRICHE 1.2 Convenzioni di segno da adottare per svolgere gli esercizi Convenzioni di segno tensione e corrente perbipolo passivo: verso tensione che punta nel verso della corrente entrante (assorbe energia).Figura 1.5: Bipolo passivo Il più comune bipolo passivo è il resistore. Il parametro elettrico identicativo del resistore è la resistenzaindicata con la lettera R e misurata inOhm[ ].Figura 1.6: Resistenza Legame costitutivo:V=RI)[R] = =VA Convenzioni di segno tensione e corrente perbipolo attivo: verso tensione che punta nel verso della corrente uscente (eroga energia).Figura 1.7: Bipolo attivo Si individuano 2 tipologie di bipoli attivi (verranno impiegati nel proseguo del corso): generatore ideale di tensione, generatore ideale di corrente. Il parametro identicativo del generatore di tensione è la dierenza di potenziale imposta E e si misura involt. Legame costitutivo:VAB= E8I Il parametro identicativo del generatore di corrente è la corrente imposta A e si misura inampere. Legame costitutivo:I=A8V AB 1.3. ESERCIZI INTRODUTTIVI ALLE RETI ELETTRICHE: LEGGI DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI E DELLE TENSIONI 13Figura 1.8: Generatore di tensione ideale Figura 1.9: Generatore di corrente ideale 1.3 Esercizi introduttivi alle reti elettriche: leggi di Kirchho dellecorrenti e delle tensioni 1.3.1 Esercizio 1 Calcolare le correnti incognite mediante la legge di Kirchho delle correnti.Figura 1.10: Esercizio 1 Soluzione: Osservando il circuito emerge che: esistono 3 nodi le incognite presenti sono due:I 1e I 2 EQUAZIONE - 1 NODO 1(Hp: segno positivo se verso corrente entrante nel nodo): LKC:I 2+ 3 + ( 1)1 = 0 Si osserva che l'equazione è caratterizzata da una sola incognita, pertanto è già possibile la risoluzione:I2 = 1A EQUAZIONE - 2NODO 2: LKC:5(3) + 2I 1+ I 2= 0 ConoscendoI 2, ricavata precedentemente, si può calcolare direttamente la corrente I 1= 11 A Si osserva che i segni diI 1e I 2sono positivi pertanto il versoimposto dal testo è corretto (la corrente ha eettivamente il verso indicato nel circuito). 14 CAPITOLO 1. ESERCIZI INTRODUTTIVI ALLE RETI ELETTRICHEFigura 1.11: Esercizio 1 - EQUAZIONE 1 Figura 1.12: Esercizio 2 - EQUAZIONE 2 1.3.2 Esercizio 2 Calcolare le correnti incognite mediante la legge di Kirchho delle correnti.Figura 1.13: Esercizio 2 Soluzione: Osservando il circuito emerge che le incognite presenti sono due:I 1e I 2. Si osserva che le correnti incognite insistono su uno stesso nodo, pertanto si dovrà procedere prima col determinare una incognita (I 2) e poi determinare l'altra ( I 1). EQUAZIONE - 1 NODO 1LKC:+I 2 2 + (1) + 1 = 0!I 2= 2 A EQUAZIONE - 2 NODO 2(Hp: segno positivo se verso corrente entrante nel nodo): LKC:+(2)I 1 I 2+ 4 = 0 !I 1= 0 1.3. ESERCIZI INTRODUTTIVI ALLE RETI ELETTRICHE: LEGGI DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI E DELLE TENSIONI 15Figura 1.14: Esercizio 2 - EQUAZIONE 1 Figura 1.15: Esercizio 2 - EQUAZIONE 2 1.3.3 Esercizio 3 Calcolare le correnti incognite mediante la legge di Kirchho delle correnti.Figura 1.16: Esercizio 3 Soluzione:Osservando il circuito emerge che le incognite richieste sono:I 1; I 2; I 3; I 4. 8 > > > < > > > :LKC NODO 1: I 1 51 = 0 LKC NODO 2:0:5 +I 3+ I 4= 0 LKC NODO 3:2I 4+ I 2= 0 LKC NODO 4:I 1+ 0 :5I 2= 0 Si determinaI 1(LKC NODO - 1), poi I 2(LKC NODO - 4) poi I 4(LKC NODO - 3) poi I 2(LKC NODO - 2).[Soluzione:I 1= 6 A;I 2= 5:5A;I 3= 4 A;I 4= 3:5A] 16 CAPITOLO 1. ESERCIZI INTRODUTTIVI ALLE RETI ELETTRICHEFigura 1.17: Esercizio 3 - EQUAZIONE 1 1.3.4 Esercizio 4 Calcolare le correnti incognite mediante la legge di Kirchho delle correnti.Figura 1.18: Esercizio 4 [Soluzione:I 1= 1 A;I 2= 0 A;I 3= 1 A;I 4= 3A] 1.3.5 Esercizio 5 Calcolare le correnti incognite mediante la legge di Kirchho delle correnti.Figura 1.19: Esercizio 5 [Soluzione:I 1= 5 A;I 2= 1 A] 1.3. ESERCIZI INTRODUTTIVI ALLE RETI ELETTRICHE: LEGGI DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI E DELLE TENSIONI 17 1.3.6 Esercizio 6 Calcolare le correnti incognite mediante la legge di Kirchho delle correnti.Figura 1.20: Esercizio 6 [Soluzione:I 1= 12A;I 2= 11A;I 3= 16A;I 4= 5 A;I 5= 2A;I 6= 3A;I 7= 1A] 1.3.7 Esercizio 7 Calcolare le tensioni incognite mediante la legge di Kirchho delle tensioni.Figura 1.21: Esercizio 7 Figura 1.22: Esercizio 7 - SOLUZIONE Si identicanoi nodi Si identicano le tre maglie minime e il loro verso di percorrenza LKT con segno positivo per le tensioniconcordicon il verso di percorrenza della maglia EQUAZIONE - 1 MAGLIA M1:LKV:v 1+ 12 10 = 0!v 1= 2 V EQUAZIONE - 2 MAGLIA M2:LKV:+v 1+ ( 6)4v 2= 0 !v 2= 8V EQUAZIONE - 3 MAGLIA M3:LKV:+v 3+ 6 12 +v 2= 0 !v 3= 14 V 18 CAPITOLO 1. ESERCIZI INTRODUTTIVI ALLE RETI ELETTRICHE 1.3.8 Esercizio 8 Calcolare le tensioni incognite mediante la legge di Kirchho delle tensioni.Figura 1.23: Esercizio 8 La tensioneV BAnon è una tensione di lato ma solo una tensione tra due nodi della rete che viene calcolata tramite una LKT su una maglia non sica, ovvero una maglia che non interessa solo lati della rete.[Soluzione:V x= 4V;V y= 4V;V BA= 2 V] 1.3.9 Esercizio 9 Calcolare le tensioni incognite mediante la legge di Kirchho delle tensioni.Figura 1.24: Esercizio 9 [Soluzione:V 1= 4 V;V 2= 4 V;V 3= 2V] Capitolo 2 Esercitazione 1 2.1 Nozioni introduttive, bipoli, collegamento serie e parallelo Resistenza:Figura 2.1: Resistenza Legame costitutivo: convenzione degli utilizzatoriV=R
I Generatore di tensione ideale:Figura 2.2: Generatore di tensione ideale Legame costitutivo: convenzione dei generatoriV=E8I Generatore di corrente ideale:Figura 2.3: Generatore di corrente ideale 19 20 CAPITOLO 2. ESERCITAZIONE 1 Legame costitutivo: convenzione dei generatoriI=A8V Collegamento serie tra bipoliFigura 2.4: Collegamento serie Collegamento parallelo tra bipoliFigura 2.5: Collegamento parallelo 2.2 Nozioni introduttive, resistenza equivalente serie, parallelo, tra-sformazione stella-triangolo Resistenza R:E' il parametro elettrico identicativo delresistore; si misura inOhm[ ] Conduttanza G:E' l'inverso del parametro elettrico resistenza R; si misura inSiemens[S]; Serie di bipoli:Figura 2.6: Serie di bipoli Req=X iR i Parallelo di bipoli: 2.2. NOZIONI INTRODUTTIVE, RESISTENZA EQUIVALENTE SERIE, PARALLELO, TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO 21Figura 2.7: Parallelo di bipoli Geq=X iG i Req=1G eq= 1P iG i= 1P i1R i IMPORTANTE: qualora si analizzassero solo due resistenze in parallelo ricordare che la resistenza equivalente è data dal rapporto tra il prodotto delle resistenze rispetto alla somma delle resistente. Req=R 1R 2R 1+ R 2 Esempio:Partitore di corrente (occorre conoscere a memoria il risultato in quanto utile per esercizi futuri)Figura 2.8: Partitore di corrente Vtot= R 1i 1= R 2i 2 LKC:i=i 1+ i 2 i2= i 1R 1R 2 i=i 1+ i 1R 1R 2= i 1(1 +R 1R 2) = i 1R 1+ R 2R 2 i1= iR 2R 1+ R 2 Esempio:Partitore di tensione (occorre conoscere a memoria il risultato in quanto utile per esercizi futuri)Vtot= R toti =R 1i 1+ R 2i 2= v 1+ v 2 v1= v tot R 2i i=v totR tot= v totR 1+ R 2 v1= v tot R 2i =v tot R 2v totR 1+ R 2 v1= v totR 1R 1+ R 2 22 CAPITOLO 2. ESERCITAZIONE 1Figura 2.9: Partitore di tensione 2.3 Esercizi reti di bipoli: collegamento serie e parallelo 2.3.1 Esercizio 1 Determinare la resistenza equivalente vista dai moretti A-BFigura 2.10: Esercizio 1:1 Soluzione: Si osserva il circuito ed occorre determinare un'unica resistenzaR eqrappresentativa da un punto di vista energetico ai morsetti A e B del circuito dato. Si osserva cheR 2è in parallelo ( k) conR 3. Pertanto si ottiene (prodotto delle resistenza diviso la somma delle resistenze): Req23=R 2R 3R 2+ R 3Figura 2.11: Esercizio 1:2 Si osserva ora che tutte le resistenze viste dai morsetti A e B sono in serie, pertanto: Req= R 1+ R eq23+ R 4+ R 5 Da cui 2.3. ESERCIZI RETI DI BIPOLI: COLLEGAMENTO SERIE E PARALLELO 23Figura 2.12: Esercizio 1:3 2.3.2 Esercizio 2 Determinare la resistenza equivalente vista dai moretti A-BFigura 2.13: Esercizio 2:1 Soluzione:Figura 2.14: Esercizio 2:2 24 CAPITOLO 2. ESERCITAZIONE 1 2.3.3 Esercizio 3 Determinare la resistenza equivalente vista dai moretti A-BFigura 2.15: Esercizio 3:1 Soluzione: NOTA: la resistenza equivalente data da un corto circuito (collegamento a resistenza nulla) e una resistenza è di valore nullo (ovvero un cortocircuito).Figura 2.16: Esercizio 3:2 2.3.4 Esercizio 4 Determinare la resistenza equivalente vista dai moretti A-BFigura 2.17: Esercizio 4 2.4. ESERCIZI RETI DI BIPOLI: STELLA - TRIANGOLO 25 2.4 Esercizi reti di bipoli: stella - triangolo Riassumendo datriangoloastel la:Figura 2.18: Triangolo -> Stella RA=R ABR C AR AB+ R BC+ R C A RB=R ABR BCR AB+ R BC+ R C A RC=R BCR C AR AB+ R BC+ R C A Se le tre resistenze sonouguali(generalmente negli esercizi è così): RA= R S T E LLA=R ABR C AR AB+ R BC+ R C A= R 23 R= 13 R T RI AN GOLO Riassumendo dastel laatriangolo:Figura 2.19: Stella -> Triangolo GAB=G AG BG A+ G B+ G C GBC=G BG CG A+ G B+ G C GC A=G CG AG A+ G B+ G C Se le tre resistenze (conduttanze) sonouguali(generalmente negli esercizi è così): GC A= G T RI AN GOLO=G CG AG A+ G B+ G C= G 23 G= 13 G S T E LLA 1R T RI AN GOLO= 13 1R S T E LLA RT RI AN GOLO= 3 R S T E LLA 26 CAPITOLO 2. ESERCITAZIONE 1 2.4.1 Esercizio 5 Determinare la resistenza equivalente vista dai moretti A-BFigura 2.20: Esercizio 5 Soluzione: 1. Si numerano i nodiFigura 2.21: Esercizio 5:1 In particolare si aggiorna il disegno del circuito mettendo in evidenza i soli nodi reali del sistema in modo da non cadere in inganno in fase di soluzione dell'esercizio.Figura 2.22: Esercizio 5:2 2. Si osserva che il circuito è caratterizzato da elementi stella e triangolo 3. Si scegliere di risolvere lastel la di nodi estremi A-B-C con centro in D(operazione comoda in quanto le tre resistenze della stella sono identiche) ovvero: 2.4. ESERCIZI RETI DI BIPOLI: STELLA - TRIANGOLO 27 Rt= 3 Rs= 3
5 = 15 Figura 2.23: Esercizio 5:3 4. Si osserva che dopo avere trasformato la stella in triangolo, le resistenze che insistono tra i nodiA e C sono in parallelo, così come le resistenze tra B e C: (R0 = 15k15 = 7:5 )Figura 2.24: Esercizio 5:4 5. Le resistenze tra A e B,attraversoC sono tra loro in serie: R00 = 7:5 + 7:5 = 15 Figura 2.25: Esercizio 5:5 28 CAPITOLO 2. ESERCITAZIONE 1 6. Nella parte superiore del circuito, tra A e B si presentano 2 resistenze in parallelo da15 R000 = 15k15 = 7:5 7. Si procede a risolvere il circuito tra A e B nella parte inferiore, osservando che risulta identico aquello della parte superiore. 8. La resistenza equivalente si ottiene dal parallelo tra la resistenza superiore, quella inferiore equella da7:5Omega RAB=7 :53 = 2 :5 2.4.2 Esercizio 6 Calcolare la resistenza equivalente della rete, vista ai moretti A e B. Ricavare la forma letterale ed il valore numerico sapendo che i resistori sono caratterizzati dalle seguenti resistenze:R1= 10 ,R 2= 20 ,R 3= 40 ,R 4= 40 Figura 2.26: Esercizio 6 [Soluzione:R AB= [( R 3k R 4) + R 2] kR 1= 8 ] 2.4.3 Esercizio 7 Calcolare la resistenza equivalente della rete, vista ai moretti A e B. Ricavare la forma letterale ed il valore numerico sapendo che i resistori sono caratterizzati dalle seguenti resistenze:R i= 1000 Figura 2.27: Esercizio 7 [Soluzione:R AB= ff[(RkR) + 2R]kRg+Rg kR=1219 R = 631:6 ] 2.4. ESERCIZI RETI DI BIPOLI: STELLA - TRIANGOLO 29 2.4.4 Esercizio 8 Calcolare la resistenza equivalente della rete, vista ai moretti A e B. Ricavare la forma letterale ed il valore numerico sapendo che i resistori sono caratterizzati dalle seguenti resistenze:R i= 1 Figura 2.28: Esercizio 8 Soluzione: Ri= R8i RAB= f[(R 1+ R 2) kR 3] + R 4g k f R 5+ [ R 10k (R 6k R 7+ R 8k R 9)] g=1519 R = 0:7895 ] 2.4.5 Esercizio 9 Calcolare la resistenza equivalente della rete, vista ai moretti A e B. Ricavare la forma letterale ed il valore numerico sapendo che i resistori sono caratterizzati dalle seguenti resistenze:R i= 9 Figura 2.29: Esercizio 9 Soluzione: Ri= R8i Si trasforma il triangolo di resistenzeR 2, R 3e R 4in una stella Ry=R3 RAB= R y+ [( R 4+ R y) k(R 5+ R y)] = R= 9 ] 30 CAPITOLO 2. ESERCITAZIONE 1 Capitolo 3 Esercitazione 2 3.1 Esercizi reti di bipoli e PSCE 3.1.1 Esercizio 1 Calcolare la tensioneV M Ne la potenza persa nelle varie resistenze. La tensione imposta dal generatore di tensione ideale e le resistenze della rete hanno i seguenti valori:R= 1 E= 10VSoluzione: Numerare i nodi.31 32 CAPITOLO 3. ESERCITAZIONE 2 Semplicare il circuito in modo opportuno. Req1è data dal parallelo delle resistenze che insistono sui nodi A e B:R eq1=R2 Si osservano e semplicano le resistenze che insistono sui nodi A ed M: R eq2= Rk(R=2 +R) =35 R 3.1. ESERCIZI RETI DI BIPOLI E PSCE 33 Occorre semplicare la graca del circuito al ne di renderlo intuitivo (eliminare le intersezioni tra i rami che possono trarre in inganno)Si osservano le resistenze tra i nodi M e N: Req3= RkRk(R+R)R eq3=25 R Si giunge pertanto ad una congurazione della rete amaglia minima, necessaria per determinare in modo semplice la correnteIerogata dal generatore di tensione idealeE. 34 CAPITOLO 3. ESERCITAZIONE 2 Ora è possibile determinare al corrente che interessa questo circuito per poi determinareV M N ovvero la tensione che insiste sulla resistenzaR eq3. Si applica la LKV alla maglia M1: E+V M N+ V 1= E+I25 R +I35 R = 0 I= 10A Da cui:VM N=2 R5 I =25 10 = 4 V V1= EV M N= 10 4 = 6V NOTA: Tale esercizio potrà essere risolto applicando il teorema diMILLMANN La potenza dissipata dal circuito è pari alla potenza dissipata sulla resistenza equivalenteR tot= 35 R +25 R =R= 1 , e coicide con la potenza erogata dal generatoreE: Ptot= R totI2 = 1
102 = 100W o analogamente, Ptot= E I= 10
10 = 100W La potenza dissipata dall'equivalente di resistenze connesse tra i nodi A e M risulta: PAM=35 RI 2 =35
102 = 60W Scorporando la resistenza equivalente tra i nodi A e M (R eq2) si ottiene: la potenza dissipata dal ramo costituito dalla singola resistenzaR PAM1=V 2 1R = 6 21 = 36 W 3.1. ESERCIZI RETI DI BIPOLI E PSCE 35 la potenza dissipata dalla resistenzaRposta in serie alla resistenzaR eq1, tale resistenza ha una tensione pari a23 V 1, dal partitore di tensione PAM2=( 23 V 1)2R = 4 21 = 16 W la potenza dissipata da ciascuna delle resistenzeRposte in parallelo, la tensione ai capi è pari a13 V 1, dal partitore di tensione PAM3=( 13 V 1)2R = 2 21 = 4 W La potenza dissipata dall'equivalente di resistenze connesse tra i nodi M e N risulta: PM N=25 RI 2 =25
102 = 40W Scorporando la resistenza equivalente tra i nodi M e N (R eq3) si ottiene: la potenza dissipata da ciascuno dei due rami costituiti dalla singola resistenzaR PM N1=V M N2R = 4 21 = 16 W la potenza dissipata da ciascuna delle due resistenze poste in serie, ciascuna delle quali ha una tensione pari aV M N2 dal partitore di tensione (le due R sono uguali) PM N2=( V M N2 )2R = 2 21 = 4 W 3.1.2 Esercizio 2 Calcolare la correnteIindicata nello schema. Le resistenze dei resistori della rete e la tensione imposta dal generatore ideale sono le seguenti: R1= R 5= R 6= 5 R 2= R 3= R 4= 9 E= 24V 36 CAPITOLO 3. ESERCITAZIONE 2 3.1.3 Esercizio 3 Calcolare la correnteIe la tensioneV AB. Determinare quindi la potenza assorbita dal resistore da10 e la potenza erogata dai generatoriE 2ed E 3.Questo esercizio può essere risolto applicando la LKV e LKC o il PSCE (Principio di Sovrapposi- zione delle Cause e degli Eetti). SOLUZIONE CON PSCE: Identicare il numeroNdi generatori, sia di tensione che di corrente, presenti nel circuito. OccorronoNcircuiti caratterizzati ciascuno da un solo generatore, ricordando che: quando si spegne un generatore ditensione, il bipolo generatore è sostituito con uncorto circuito, quando si spegne un generatore dicorrente, il bipolo generatore è sostituito con uncircuito aperto. Sommarein modo algebricoi risultati ottenuti. Per l'esercizio in questione si identicano tre circuiti (N= 3):Si ricavano le correnti I 1; I 2; I 3; da queste si determina la corrente Irisultante, data dalla somma algebrica:I=I 1; I 2; I 3. NOTA: Il PSCE risulta concettualmente semplice ma oneroso in termini di calcolo. 3.1. ESERCIZI RETI DI BIPOLI E PSCE 37 3.1.4 Esercizio 4 Determinare le correnti incognite. E1= 100 V E 2= 250 V;A 3= 15 A A 4= 10 A;R= 5 [ Soluzione:I 1= 2 :5A;I 2= 17 :5A;I 3= 17:5A;I 4= 32 :5A;V A3= 0 V;V A4= 250 V (convenzione generatori)] 3.1.5 Esercizio 5 Calcolare la correnteie la tensioneV AB. I generatori di tensione e le resistenze della rete hanno i seguenti valori: R1= R 2= R 3= 5 R4= R 5= R 9= 30 R7= R 6= R 8= 10 E= 300V[ Soluzione:I= 0A;V AB= 300 V] 3.1.6 Esercizio 6 Calcolare le tensioniV 2e V 5. I generatori di tensione e di corrente ideali e le resistenze della rete hanno i seguenti valori: R1= R 3= R 6= 5 R2= R 4= R 5= 8 R7= 10 Ea= E b= 12 V i0= 2 A[ Soluzione:V 2= 4 :8142V;V 5= 9 :9550V] 38 CAPITOLO 3. ESERCITAZIONE 2 3.1.7 Esercizio 7 Calcolare le tensioniV AO; V BOe V C O:[ Soluzione:V A= 12 V;V B= 5 :9671V;V C= 15 :9671V] 3.1.8 Esercizio 8 Calcolare le tensioniV a; V be V c.[ Soluzione:V A= 60 V;V B= 10V;V C= 49 :92V] 3.1.9 Esercizio 9 Calcolare la tensioneV ABnoti: E= 10V ; R 1= R 4= 2 ; R 2= R 3= 1 .[ Soluzione:V AB= 10=3V] 3.1. ESERCIZI RETI DI BIPOLI E PSCE 39 3.1.10 Esercizio 10 Calcolare la tensione fra i morsetti A e B.[ Soluzione:V AB= 0:5V] 40 CAPITOLO 3. ESERCITAZIONE 2 Capitolo 4 Esercitazione 3 4.1 Esercizi reti di bipoli: MILLMANN, THEVENIN e NORTON 4.1.1 Esercizio 1 Risolvere il circuito applicando il teorema di theveninE1= 220 V E 2= 20 V E 3= 130 V R1= 10 R2 = 20 R4 = 40 R5 = 40 R6 = 60 Soluzione: Numerare i nodi.41 42 CAPITOLO 4. ESERCITAZIONE 3 Si ipotizzanoi versi delle correnti e di conseguenza, adottando le convezioni per i bipoli passivi, i versi delle tensioni.Per risolvere tale rete (ovvero individuare i valori di tutte le correnti e le tensioni) si può applicare: direttamente la LKT e la LKC)oneroso e complicato, PSCE)semplice ma calcoli lunghi(devo analizzare tre circuiti con ciascuno un generatore), teorema di Thevenin)comodo. Applicare il teorema di Thevenin signica ricondurre il funzionamento di una porzione di rete a quello di unbipolo attivo di tipo serie. Denita la porzione di circuito, ovvero due nodi (M e N) cui fa capo la porzione di circuito da semplicare, occorre individuare: ungeneratore di tensione, chiamatoE eq, unaresistenza equivalente, chiamataR eq, Pertanto occorre ricordare:E eq: tensione V M Ntra i nodi M e N una volta staccato il circuito di interesse dal resto della rete (condizione di rete a vuoto, quindi a corrente nulla, ai morsetti M e N). Req: resistenza equivalente vista dai nodi M e N una volta staccato il circuito di interesse dal resto della rete. Per l'esercizio in questione si ipotizza di semplicare la porzione sinistra di circuito compresa tra i nodi A e C1 .1 Tale scelta deriva dall'esperienza che si matura con gli esercizi. 4.1. ESERCIZI RETI DI BIPOLI: MILLMANN, THEVENIN E NORTON 43 Si risolve pertanto questo circuitoseparatamenteda quello in studio in modo da trovare l'equi- valente di Thevenin. Il circuito di tipo serie trovato verrà poi riconnesso alla rete in studio. Per determinare l'equivalente di Thevenin occorre pertanto: trovareV ACtra i nodi A e C (con questa notazione si ipotizza che la tensione sia positiva tra A e C; da osservare che tale sceltavincolail verso dellaE eq. Dato che i due circuiti - reale ed equivalente di Thevenin - sono equivalenti devono avere la stessa caratteristica voltamperometrica e quindi avere la stessa tensione a vuoto: se calcolo la tensione a vuoto comeV M Nla freccia di E eqpunta verso M, viceversa se calcolo la tensione a vuoto opposta VN Mla freccia di E eqpunta verso N. trovare la resistenza equivalente della rete passiva vista dai morsetti A e C. Da osservare che per determinare la resistenza equivalente di un circuito occorrespegnerei generatori (bipoli attivi) presenti; questo implica, come visto nelle esercitazioni precedenti, che: i generatori ditensionepresenti diventano deicorto circuito(V= 08I), i generatori dicorrentepresente diventano deicircuiti aperti(I= 08V) Determinazione diV AC(ovvero di E eq). Si osserva cheV ACè pari alla tensione V 4(per i versi che sono stati ipotizzati all'inizio dell'esercizio), pertanto: LK T:E 1+ V 1+ V 4= 0 E 1+ I 1R 1+ I 4R 4= 0 I 1= I 4= I I=E 1R 1+R4= 4 :4A V4= R 4I 4= V AC= E eq= 176 V Si poteva utilizzare anche la formula del partitore di tensione! Si osserva che la resistenza equivalente vista dai nodi A e C è data da:R eq= R 4k R 1= 8 44 CAPITOLO 4. ESERCITAZIONE 3 Il circuito risultante, connesso alla porzione di rete iniziale è:E' possibile semplicare impiegando il teorema di THEVENIN anche per la porzione destra di circuito tra i nodi B e C. Si stacca questa porzione compresa tra B e C dal resto del circuito come di seguito.E eq2= V BC=E 3R 6+R5R 5= 52 V R eq2= R 5k R 6= 24 Si ottiene: 4.1. ESERCIZI RETI DI BIPOLI: MILLMANN, THEVENIN E NORTON 45 A questo punto è semplice determinare la correnteI 2:LKT - M1: E 2 V eq E eq+ E eq2 V eq2 V 2= 0 E si determina la correnteI 2e quindi V 2. Per determinare tutte le altre grandezze del circuito occorre ora procedere aritrosoosservando che, nota laI 2, è possibile determinare: V AC V BC Queste due grandezze sono le tensioni ai morsetti dei due bipoli attivi, semplicati mediante il teorirema di Thevenin, connessi al circuito; non sono quindi da non confondere con le tensioni a vuoto (che rappresentano le tensioni dei generatori equivalenti) calcolate precedentemente. E si ottiene:Nota V ACsi ricava I 4e I 1; nota V bcsi ricava I 5e I 6, da cui tutte le altre tensioni. 46 CAPITOLO 4. ESERCITAZIONE 3 4.1.2 Teorema di Millmann Il teorema di Millmann si applica areti binodali, ovvero circuiti che possono essere ricondotti a serie di bipoli che insistono sudue nodiben deniti.Il teorema di Millmann permette di determinare in modo rapido la tensione tra i nodi A e B con la seguente formula: VAB=P Ai+P E1R iP 1R i La tensioneV ABè pertanto determinata dal rapporto tra i valori delle correnti impresse al nodo A dai generatori di corrente equivalenti dei lati attivi e la somma delle conduttanze di ogni lato connesso tra i morsetti AB reso passivo, ovvero avendo spento gli eventuali generatori in esso presenti. I lati contenenti generatori di corrente ideali, eventualmente in serie a qualunque altro tipo di bipolo, iniettano nel nodo A la corrente impressa dal generatore di correnteA i. Il denominatore rappresenta la conduttanza equivalente della rete passiva vista dai morsetti A e B (che tra l'altro, essendo la rete binodale, sono gli unici morsetti per cui ha senso chiedersi quanto valga la resistenza o conduttanza equivalente: non si può sbagliare!!!). Da ricordare: spegnere i generatori signica che un generatore ditensionediventa uncorto circuito(V= 08I) mentre un generatore dicorrentediventa uncircuito aperto(I= 08V), non ha senso applicare il corollario di Millmann nel caso in cui tra i nodi A e B di una rete binodale sia presente un generatore ideale di tensioneE: in questo caso la tensioneV AB= Eè impressa. 4.2. ESERCIZIO 2 47 4.2 Esercizio 2 Risolvere il circuito applicando il teorema di MILLMAN:E1= 140 V E 2= 80 V E 3= 90 V R1= 2 R 2= 50 R3 = 10 R4 = 80 R5 = 80 Risoluzione: Si determinano i nodi.Si indicano tutte le tensioni e tutte le correnti del circuito; in via del tutto generale i versi possono essere stabiliti in modo arbitrario,ma rispettando (sui singoli bipoli resistore) la convenzione degli utilizzatori.Si osserva che i lati insistono tutti sui nodi A e B, sono pertanto tutti in parallelo tra loro (rete binodale). E' quindi possibile applicare il teorema di Millmann. VAB=E 1R 1+ ( E 2R 2) + E 3R 31 R 1+ 1R 2+ 1R 3+ 1R 4+ 1R 5= 120 V Nota la tensioneV ABsi determinano tutte le altre grandezze del circuito applicando la LKT su maglie ttizie che comprendano nel percorso ideale la tensioneV AB. E1 R 1I 1 V AB= 0 !I 1= 10 A VAB+ R 4I 4= 0 !I 4= 1:5A VAB R 5I 5= 0 !I 5= 1 :5A VAB+ E 2 R 2I 2= 0 !I 2= 4A VAB E 3 R 3I 3= 0 !I 3= 3 A 48 CAPITOLO 4. ESERCITAZIONE 3 4.3 Esercizio 3 Risolvere il circuito applicando il teorema di Norton. Determinare la correnteI, la tensioneV ABe la potenza alla sezione compresa tra i nodi A e B. A= 15A E 1= 6 V R1= 2 R 2= 3 R 3= 8 R 4= 6 R 5= 16 Si determinano i nodi. E' possibile applicare il teorema di Norton già alla sezione A-B. Applicare il teorema di Norton signica ricondurre il funzionamento di una porzione di rete a quello di unbipolo attivo di tipo paral lelo. Denita la porzione di circuito, ovvero 2 nodi (M e N) cui fa capo una porzione di circuito da semplicare, occorre individuare: Ungeneratore di corrente, chiamatoA eq, Unaconduttanza equivalente, chiamataG eq, Pertanto occorre ricordare:A eq: corrente circolante tra i nodi M e N messi in corto circuito una volta staccato il circuito di interesse dal resto della rete.Geq: conduttanza equivalente della rete passiva vista dai nodi M e N una volta staccato il circuito di interesse dal resto della rete. 4.3. ESERCIZIO 3 49 Per l'esercizio in questione si ipotizza di semplicare la porzione sinistra di circuito compresa tra i nodi A e B2 .Occorre determinare I N Oe G eq. Per la determinazione diI N Oè possibile applicare: PSCE, teorema di Millmann in quanto la rete è binodale. Si applica il teorema di Millmann.V C B=A +E 1R 31 R 1+ 1R 2+ 1R 3+ 1R 4 Si ricava pertanto la correnteI N O( = A eqdi NORTHON). IN O=V C BR 4= 2 :33A2 Tale scelta deriva dall'esperienza che si matura con gli esercizi. 50 CAPITOLO 4. ESERCITAZIONE 3 Si determina la conduttanza equivalente vista dai nodi A e B pur di spegnere i generatori.G eq=1R eq Req=11 R 1+ 1R 2+ 1R 3+ R 4= 7 :0435 Conviene sempre, diversamente dall'approccio teorico, evidenziare al resistenza equivalente.Connetto ora l'equivalente di Northon con il resto del circuito. Si ricava pertanto che (partitore di corrente): I=R eqA eqR eq+ R 5= 0 :7132A Si ricava pertanto che la potenzaPe pari a:P=R 5I2 = 8:1386W 4.4. ESERCIZIO 4 51 4.4 Esercizio 4 Calcolare il generatore equivalente di Thevenin fra i morsetti A-B. E1= 50 V R 1= 5 A 2= 10 A[ Soluzione:V th= 100 V] 4.5 Esercizio 5 Impiegare il teorema di Thevenin per calcolare la corrente circolante nel ramo A-B. E= 100V R 1= 1 R 2= 2 R 3= 3 R 4= 4 R 5=5021 [ Soluzione:I AB= 5A] 4.6 Esercizio 6 Calcolare la tensioneV.[ Soluzione:V= 3V] 52 CAPITOLO 4. ESERCITAZIONE 3 4.7 Esercizio 7 Calcolare la correntei, determinando prima l'opportuno equivalente Thevenin o Norton del bipolo A-B. I generatori di tensione ideali e le resistenze della rete hanno i valori seguenti: R= 1 =R0 = 3 e= 10V[ Soluzione:I= 15A] 4.8 Esercizio 8 Calcolare le tensioniV 2e V 5con il teorema di Thevenin. L'esercizio è stato risolto nellaEsercitazione 3con il metodo PSCE. I generatori di tensione e di corrente ideali e le resistenze della rete hanno i seguenti valori: R1= R 3= R 6= 5 R2= R 4= R 5= 8 R7= 10 Ea= E b= 12 V i0= 2 A[ Soluzione:V 2= 4 :8142V V 5= 9 :9550V] Capitolo 5 Esercitazione 4 5.1 Esercizi reti di bipoli: teorema generale delle reti elettriche, me-todo ai nodi e metodo alle maglie 5.1.1 Esercizio 1 Risolvere il circuito applicando il Teorema Generale delle Reti Elettriche.Equazioni di lato adottando la convenzione degli utilizzatori: 8 > > > > > < > > > > > :V 1= E 1+ R 1I 1 V2= E 2+ R 2I 2 V3= R 3I 3 V4= R 4I 4 V5= R 5I 5 Leggi di kirchho delle correnti ai nodi indipendenti N1 e N2:(I 1 I 3 I 5= 0 I5 I 2 I 4= 0 Leggi di Kirchho delle tensioni alle maglie indipendenti m1, m2 e m3.8 > < > :V 1 V 3= 0 V3 V 5 V 4= 0 V3 V 5 V 2= 0 53 54 CAPITOLO 5. ESERCITAZIONE 4 5.1.2 Esercizio 2 Risolvere il circuito applicando il Teorema Generale delle Reti Elettriche.Equazioni di lato adottando la convenzione degli utilizzatori: 8 > > > > > > > < > > > > > > > :V 1= E 1+ R 1I 1 I2= A 1 V3= R 3I 3 V4= E 4+ R 4I 4 V5= R 5I 5 V6= R 6I 6 Leggi di kirchho delle correnti ai nodi indipendenti N1, N2 e N3:8 > < > :I 1+ I 3 I 4= 0 I4 I 5 I 6= 0 I2 I 3 I 1= 0 Leggi di Kirchho delle tensioni alle maglie indipendenti mi, m2 e m3:8 > < > :V 1 V 3= 0 V 3 V 4 V 5 V 2= 0 V 6+ V 5= 0 5.2. ALGORITMO DA SEGUIRE - CORRENTI DI MAGLIA 55 5.2 Algoritmo da seguire - correnti di maglia La rete deve avere tutti elementi del tipogeneratore di tensione reale.1. Individuare i nodi della rete e numerarli. 2. Caratterizzare la rete (indicare i versi della corrente di lato). 3. Individuare il numero di nodi N ed il numero di lati L del grafo. 4. Identicare il numero di maglie indipendentiM=L(N1)e dare il verso di percorrenza alle maglie (consigliato sempre senso orario). 5. Il sistema matriciale risolutivo è del tipo: [R] M
M[ J] M
1= [ E] M
16. Scrivere il vettore delle correnti di maglia [J] M
1che rappresentano le incognite del sistema: [J] =" J1 J2# 7. Scrivere il vettore delle forzanti[E] M
1di lato, che rappresenta i termini noti: [E] =" E1 E2# Ei= somma algebrica delle tensioni dei generatori appartenenti ai lati della maglia i-esima, prendendo con il segno positivo quelli concordi con il verso di percorrenze della maglia. 8. Scrivere la matrice delle resistenze di maglia[R] M
Mper ispezione: [R] =" R11R 12 R21R 22# 56 CAPITOLO 5. ESERCITAZIONE 4 Rii= somma delle resistenze dei lati appartenenti alla maglia i-esima Rij= resistenza del lato comune alle maglie i e j con il segno che le compete: + se il verso delle due correnti di maglia è concorde sul lato considerato, - se discorde. Esempio di costruzione per ispezione:[ R] =" R1+ R 2+ R 3 R 3 R 3R 3+ R 4+ R 5# N.B. Matrice simmetrica Utilizzando il verso consigliato delle correnti di maglia (senso orario) i termini mutui risultano negativi; lo stesso in caso di senso antiorario per entrambe le maglie. Viceversa se si fosse scelto una maglia con verso orario e l'altra con verso antioraria i termini mutui sarebbero stati positivi. 9. Risolvere il sistema lineare: [J] = [R] 1 [E] a calcolatrice o a mano. 10. Noto il vettore[J]si possono ricavare tutte le variabili di lato. 5.2.1 Applicazione del metodo delle correnti di maglia.Introduzione delle correnti di lato Ie delle correnti di magliaJ. 5.2. ALGORITMO DA SEGUIRE - CORRENTI DI MAGLIA 57 Leggi di Kirchho delle tensioni alle maglie indipendenti m1, m2 e m3.8 > < > :E 1 R 1I 1 R 3I 3= 0 R3I 3 R 4I 4 R 5I 5= 0 E 2+ R 2I 2+ R 4I 4= 0 Correnti di latoIin funzione delle correnti di magliaJe formulazione del problema in forma matriciale. 8 > > > > > < > > > > > :I 1= J 1 I3= J 1 J 2 I4= J 2 J 3 I5= J 2 I2= J 38 > < > :E 1= R 1J 1+ R 3( J 1 J 2) 0 =R 3( J 1 J 2) + R 4( J 2 J 3) + R 5J 2 E 1= R 2( J 3) R 4( J 2 J 3) 5.2.2 Esercizio 3 Risolvere il circuito applicando il metodo delle Correnti di Maglia.Si scelgono come maglie indipendenti gli anelli con verso orario. 8 > < > :E 1 R 2( J 1 J 2) R 1J 1= 0 E 2 R 2( J 2 J 1) R 3J 2 R 5( J 2 J 3) R 4J 2= 0 J3= A 3 5.2.3 Esercizio 4 Risolvere il circuito applicando il metodo delle Correnti di Maglia.8 > < > :J 3= A 1 E1 R 1J 1 R 1J 1= 0 E 2 R 2J 2 R 4J 2 R 3( J 2 J 1 J 3) = 0 8 > < > :I 1= J 1 I2= J 2 I3= J 1 J 2+ J 3 58 CAPITOLO 5. ESERCITAZIONE 4 5.3 Algoritmo da seguire - Potenziale ai nodi La rete deve avere tutti elementi del tipo generatore di corrente reale.1. Individuare i nodi della rete e numerarli. 2. Caratterizzare la rete (indicare i versi della corrente di lato). 3. Individuare il numero di nodi N e individuare il nodo di riferimento (N1sono i nodi indipen- denti). 4. Disegnare il grafo ed identicare il numero di latiL. 5. Il sistema matriciale risolutivo è del tipo: [G] (N1)
(N1)[ U] (N1)
1= [ A] (N1)
16. Dal nodo di riferimento indicare i potenziali nodali U i(tramite delle frecce) con verso uscente dal nodo di riferimento.7. Scrivere il vettore dei potenziali nodali [U] (N1)
1che rappresentano le incognite del sistema: [U] =2 6 4U 1 U2 U33 7 5 8. Scrivere il vettore delle forzanti[A] (N1)
1di lato, che rappresentano i termini noti: 5.3. ALGORITMO DA SEGUIRE - POTENZIALE AI NODI 59 [A] =2 6 4A 1 A2 A33 7 5 Ai= somma algebrica delle correnti dei generatori iniettate nel nodo i-esimo 9. Scrivere la matrice delle conduttanze nodali[G] (N1)
(N1)per ispezione: [G] =2 6 4G 11G 12G 13 G21G 22G 23 G31G 32G 333 7 5 Gii= somma delle conduttanze dei lati connessi al nodo i-esimo G ij= l'opposto della conduttanza del lato connesso tra i nodi i e j Esempio di costruzione per ispezione:[ G] =2 6 4G 1+ G 2 G 1 G 2 G 1G 1+ G 2+ G 3 G 3 G 2 G 3G 2+ G 3+ G 53 7 5 N.B. Matrice simmetrica 10. Risolvere il sistema lineare: [U] = [G] 1 [A] a calcolatrice o a mano. 11. Noto il vettore[U]si possono ricavare tutte le variabili di lato. 5.3.1 Esercizio 5 Risolvere il circuito applicando il metodo dei Potenziali Nodali. 60 CAPITOLO 5. ESERCITAZIONE 4 Trasformazione in bipoli di tipo generatore di corrente reale, esplicitando le conduttanzeG: Gi=1R ii = 1;


;5A i=E iR ii = 1;2;3 Legge di Kirchho ai nodi indipendenti N1, N2 e N3: 8 > < > : I 1 I 4 I 6= 0 I1+ I 2+ I 3= 0 I4 I 2 I 5= 0 Leggi di Kirchho ai nodi indipendenti in funzione dei potenziali indipendentiV; formulazione del problema in forma matriciale. 8 > < > : A 1 (V 1 V 2) G 1 (V 1 V 3) G 4 A 6= 0 A1+ ( V 1 V 2) G 1+ A 2+ ( V 3 V 2) G 2+ A 3 G 3V 2= 0 (V 1 V 3) G 4 (A 2+ ( V 3 V 2) G 2) G 5V 3= 0 2 6 4 A 1 A 6 A1+ A 2+ A 3 A 23 7 5 Capitolo 6 Esercitazione 5 6.1 Esercizi reti di bipoli: transitori del primo ordine richiami diteoria 6.1.1 Fenomeno transitorio per reti in corrente continua: Dato un circuito in regime continuo, si ha la presenza di fenomeni di transitorio elettrico (in termini di tensione e corrente) se le condizioni al contorno per bipoli passivi dotati di memoria vengono modicate ovvero se cambiano le condizioni al contorno per bipoli tipo condensatore o induttore. Poiché il fenomeno di transitorio è un fenomeno dinamico il suo comportamento è studiato tramite equazioni dierenziali; nel corso si studiano i transitori del primo ordine ovvero determinabili mediante equazioni dierenziali del primo ordine (una variabile di stato). Pertanto, nel caso di presenza di uncondensatorenel circuito elettrico considerato, si avrà un transitorio di tensione (la tensione èvariabile di statoovvero non può variare con discontinuità), mentre nel caso di presenza di uninduttorenel circuito elettrico considerato, si avrà un transitorio di corrente (la corrente èvariabile di statoovvero non può variare con discontinuità). Dalla teoria si determina che, data la variabile di statox(t), iltransitorio generico(ovvero la solu- zione all'equazione integro-dierenziale che descrive la LKT sul circuito in analisi) è matematicamente descrivibile con un'equazione di questo tipo: x(t) = [x(t 1) x 1( t 1)] e ( tt 1) +x 1( t)tt 1 Dove, ipotizzato che il transitorio avvenga al tempot 1: 1.x(t 1) è il valore dellavariabile di statoxall'istante antecedente il transitorio ovvero al tempo t 1ovvero nell'istante appena primache avvengauna modica sul circuito tale da provocare un transitorio 2.x 1( t)è il valore dallavariabile di statoxquando il sistema ha raggiunto lanuovacondizione di regime. 3.è lacostante di tempodel circuito. Si osserva cherisolvere un transitorio del primo ordinecorrisponde adidenticarele grandezze: 1.x(0) =fotograa della grandezzaxnel regime precedente la perturbazione (condensatoreè un circuito aperto,induttoreè uncortocircuito) 2.x 1( t)= fotograa della grandezzaxnel regime successivo alla perturbazione (condensatoreè un circuito aperto,induttoreè uncortocircuito) 3.ed inserire tali valori identicando l'equazionex(t)e rappresentandola in forma graca. 61 62 CAPITOLO 6. ESERCITAZIONE 5 NOTA: Da osservare che generalmente dopo5, il transitorio si considera esaurito, pertantox(t)assume il valore pari al valore di regime ovverox inf ty (t). L'equazionex(t)soprariportata consente di calcolare il valore della variabilexper ogni generico istante di tempot. 6.2. IDENTIFICAZIONE DELLA COSTANTE DI TEMPO PER CIRCUITO CON UN CONDENSATORE 63 6.2 Identicazione della costante di tempo per circuito con un con-densatore =R TC Al ne di identicare il valore dellacostante di tempooccorre determinarel'equivalente di thevenin ai morsetti del condensatore. La resistenzaR tcorrisponde al valore della resistenza equivalente di Thevenin. 6.3 Identicazione della costante di tempo per circuito con un indut-tore =lR T Al ne di identicare il valore dellacostante di tempooccorre determinarel'equivalente di theveninai morsetti dell'induttore. La resistenzaR tcorrisponde al valore della resistenza equivalente di Thevenin. 6.4 Esercizi reti di bipoli: transitori del primo ordine 6.4.1 Esercizio 1 Determinare la tensione ai morsetti del condensatoreCper il circuito proposto, con le seguenti fasi di manovra: 64 CAPITOLO 6. ESERCITAZIONE 5 da tempo sucientemente lungo gli interruttori sono aperti, all'istantet 1= 0 si chiude l'interruttore1, all'istantet 2= t 3= 100 mssi apre l'interruttore1e si chiude l'interruttore2.Transitorio 1: da t 1= 0 at 2= t 3= 100 ms V(t) = [V(0)V 1(0)] e( t ) +V 1( t) 0t100ms dove: V(0) = 0 V1( t) =E= 100V = 0:01sTransitorio 2: da t 2= t 3= 100 ms V(t) = [V(0:1)V 1(0 :1)]e ( t0:1) +V 1( t)t100ms dove: V(0:1)'E= 100V V1( t) = 0 = 0:01s 6.4. ESERCIZI RETI DI BIPOLI: TRANSITORI DEL PRIMO ORDINE 656.4.2 Esercizio 2 Determinare la tensione ai morsetti del condensatoreCper il circuito proposto, con le seguenti fasi di manovra: interruttori aperti, chiusura dit 1, apertura di t 2e chiusura a t 3(rispetto all'esercizio precedente cambia il valore diR 1, e quindi 4 il valore della costante di tempo del circuito).Transitorio 1: da t 1= 0 at 2= t 3= 100 ms V(t) = [V(0)V 1(0)] e( t ) +V 1( t) 0t100ms dove: V(0) = 0 V1( t) =E= 100V = 0:1s Dato che dopo un tempo pari a 0.1 s l'interruttore commuta: V(t) = [V(0)V 1(0)] e( 0 :1 ) +V 1( t) = (1e t )E0t100ms 66 CAPITOLO 6. ESERCITAZIONE 5 Transitorio 2: dat 2= t 3= 100 ms V(t) = [V(0:1)V 1(0 :1)]e ( t0:1) +V 1( t)t100ms dove: V(0:1) = (1e 1 ) V1( t) = 0 = 0:1s6.4.3 Esercizio 3 Determinare la tensione sul condensatoreCper il circuito proposto.v c( t) =V ct < 0 Pert0, equivalente thevenin ai capi del condensatore Vth=V 1R 1+ V 2R 21 R 1+ 1R 2+ 1R 3 Rth=11 R 1+ 1R 2+ 1R 3 Vc( t) = [V c(0) V c1(0)] e ( t) +V 1( t) =V th+ ( V 2 V th) e tR thC t0 6.4. ESERCIZI RETI DI BIPOLI: TRANSITORI DEL PRIMO ORDINE 67 6.4.4 Esercizio 4 Determinare la tensione sul condensatoreCper il circuito proposto.V (t) = [V(0)V 1(0)] e ( t) +V 1( t) V(t) = [2010]e ( t) + 10 i(t) =cdv (t)dt = 2e 2
105 t 6.4.5 Esercizio 5 Determinare la corrente nell'induttore L per il circuito proposto.La costante di tempo del primo transitorio è pari a: 2=LR 1+ R 2= 0 :0120 = 0 :5ms Si ha quindi che il primo transitorio non fa in tempo ad andare a regime in quanto il circuito cambia congurazione ed inizia un nuovo transitorio che porta, dopo un tempo pari a5
 2, ad un nuovo regime di 3 A. 68 CAPITOLO 6. ESERCITAZIONE 56.4.6 Esercizio 6 Determinare la corrente nell'induttoreLper il circuito proposto (si pone in evidenza come il circuito presenti due bipoli conservativi, tuttavia questi insistono, durante il transitorio, su due maglie separate, portando quindi a due distinti transitori del I ordine).Per il calcolo delle condizioni di regime pre-esistente è necessario ricordarsi che a regime l'induttore si comporta come un cortocircuito, e quindi il circuito si semplica nel seguente modo:La resistenza R 1risulta quindi cortocircuitata (ossia tensione nulla). Si risolve il circuito calcolando le correnti inizialiI L1(0) edI L2(0) 6.4. ESERCIZI RETI DI BIPOLI: TRANSITORI DEL PRIMO ORDINE 69Per il calcolo delle condizioni di regime post transitorio è necessario analizzare la congurazione ottenuta ad interruttore aperto, si nota come il generatore di tensione risulta disconnesso dal resto della rete in quanto non è inserito in una maglia chiusa in cui possa circolare corrente:Ottengo due maglie che hanno in comune un solo nodo, sono quindi indipendenti, ossia non è possibile avere una circolazione di corrente da una maglia all'altra (non si avrebbe un circuito di ritorno). E' quindi possibile analizzare i due circuiti in modo indipendente.Si ricavano così facilmente: la condizione di regime post-transitorio; le costanti di tempo dei due transitori di scarica. 70 CAPITOLO 6. ESERCITAZIONE 5i L1( t) = [i L1(0) i L11(0)] e ( t) 1+i L11( t) iL2( t) = [i L2(0) i L21(0)] e ( t) 2+i L21( t) dove: iL1(0) = 2 A iL2(0) = 1 A iL11(0) = 0 iL21(0) = 0 1= 0 :001s 2= 0 :0005s Capitolo 7 Esercitazione 6 7.1 Numeri complessi 7.1.1 Richiami di teoriaFigura 7.1: Rappresentazione vettoriale di un numero complesso sul piano di Gauss Unità immaginaria:j=p 1 Numero complesso in forma binomia o cartesiana:Z =R+j X Modulo:Z=jZ j=pR 2 +X2 Fase:= arctanXR Numero complesso in forma esponenziale:Z =Z ej  Numero complesso in forma polare:Z =Z6 dove: Z=pR 2 +X2 = arctanXR R=0 Ramopuramente capacitivoZ C=1j C= j1 C= j X C reattanza capacitiva:X C= 1 C< 0 76 CAPITOLO 7. ESERCITAZIONE 6 Ramoohmico-induttivo di tipo serieZ RL= R+j X L= R+j L Ramoohmico-capacitivo di tipo serieZ RC= R+j X C= Rj1 C 7.2.3 Serie di impedenze Serie di due impedenzeZ T OT=Z 1+Z 2= ( R 1+ j X 1) + ( R 2+ j X 2) = ( R 1+ R 2) + j(X 1+ X 2) = R T OT+ j X T OT Serie di N impedenzeZ T OT=N X k=1Z k=N X k=1R k+ jN X k=1X k 7.2. RETI IN REGIME SINUSOIDALE PERMANENTE 77 Esercizio 17.2.4 Parallelo di impedenze Parallelo di due impedenzeZ T OT=11 Z 1+ 1Z 2=Z 1
Z 2Z 1+Z 2= Z 1ej  1
Z 2ej  2R 1+ R 2+ j(X 1+ X 2)= ( Z 1
Z 2) ej ( 1+  2 )R 12+ j X 12= Z T OTej  T OT Parallelo di N impedenzeZ T OT=1P N k=11Z k 78 CAPITOLO 7. ESERCITAZIONE 6 Esercizio 2Numericamente: jZ 1j
j Z 2j = 53:852 R1+ R 2= R 12= 12 X1+ X 2= X 12= 2 Z12=qR 2 12+ X2 12= 12 :166 1= 45 2= 23:199 1+  2= 21 :801 12= arctan(X 12R 12) = 9 :462 jZ 1jj Z 2jZ 12e j (( 1+  2)  12) =7 :071
7:61612 :166ej ((21:80123:199)9:462) = 4:427ej 12:34 = 4:324 +j0:946 7.2.5 Impedenza equivalente Esercizio 3Dati: Z 1= 5 + j5 Z 2= 3 j3 Z 3= 1 + j8 Z 4= 10 7.2. RETI IN REGIME SINUSOIDALE PERMANENTE 79 Diagramma delle impedenze:Soluzione: Z 23= 4 + j5 = 6:403651 :34 Z 234= 3 :665 +j2:262 = 4:307631 :68 Z 1234= 8 :665 +j7:262 = 11:29639 :9 Diagramma delle impedenze: 80 CAPITOLO 7. ESERCITAZIONE 6 7.2.6 Maglia minima: operazioni tra fasori Esercizio 4Calcolare il fasore della corrente Ie tracciare il diagramma fasoriale. Dati:V = 1060 VZ 1= 5 Z 2= 5 + j10 Risoluzione:Z eq=Z 1+Z 2= 10 + j10 I =V 1Z eq= 10 60 10+ j10=10 60 14 :14645 = 0 :70726 45 AV 1=Z 1
I =V
Z 1Z eq= 10 60
50 60 14 :14645 = 3 :5366 45 VV 2=Z 2
I =V V 1=V
Z 2Z eq= 10 60
5+ j1010+ j10= 10 60
11 :18663 :4314 :14645 = 7 :907618 :43 V Diagramma fasoriale 7.2. RETI IN REGIME SINUSOIDALE PERMANENTE 81 Esercizio 5Dati: v1( t) =p2 V 1cos (!t+ 1) V1= 230 V f= 50H z != 250rads  1=6 v2( t) =p2 V 2sin (!t+ 2) =p2 V 2cos (!t+ 22 ) V2= 120 V f= 50H z != 250rads  2=4 R1= 10 L 1= 10 mH R2= 5 L 2= 50 mH C3= 300 F Risoluzione: Si pone:V 1= V 16 1= 2306( 6 ) VV 2= V 26(  22 ) = 120 6( 4 ) V X1= !L 1= 2 50
10 2 = 3:142 Z 1= R 1+ j X 1= 10 + j3:142 XL2= !L 2= 2 50
5
10 2 = 15:71 Z 2= R 2+ j X 2= 5 + j15:71 XC3= 1!C 3= 10:61 Z 23=( R 2+ j X L2)
j X C3( R 2+ j X L2)+ j X C3=(5+ j15:71)
(j10:61)(5+ j15:71)+(j10:61)=166 :7j53:055+ j5:1=174 :96( 0:308)7 :1426(0 :7953)= = 24:496( 1:103) = 10:95j21:68 Calcolo del fasore di corrente circolante nella maglia minima:V 1Z 1
I V 2Z 23
I = 0I =V 1V 2Z 1+Z 2=230 6( 6 ) 1206( 4 )10+ j3:142+10:95j21:68=199 :2+j115(84:85j84:85)20 :95j18:54=114 :4+j199:927 :986( 0:7244)= =230 :36(1 :051)27 :986( 0:7244)= 8 :2316(1 :775)A i(t) = > > < > > > > > > > :E = 18VZ = 10 +j14 A= 12A L 1= 2 mH ==6L 2= 6 mH f= 50H z C= 8F R1= 4 R2= 6 Determinare la potenza attiva e reattiva assorbita dal generatore di correnteA Soluzione:Si pone il fasore di correnteA erogata dal generatore di corrente sull'asse reale:A =AE =E ej  Impedenza 1:Z 1= ( j !L 1jj R 1) +1j !C =j !L 1R 1j !L 1+ R 1+ 1j !C = 0 :096319j397:27 Impedenza 2:Z 2= R 2+ j !L 2= 6 + j1:885 Rete binodale: calcolo della tensione ai morsetti con la formula di Millman:V =E Z A 1 Z 2+ 1Z = 112:45j161:87V Tensione ai capi del generatore di corrente secondo la convenzione degli utilizzatori (tensione positiva nel morsetto in cui entra la corrente):V A=V AZ 2= 184:45j184:49V Potenza complessa entrante nella supercieA =V AA= 2213:4j2213:9V A P=