Energy Engineering - Principi di Sistemi Elettrici

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1 Capitolo 1. Reti Resistive ___________________________ Esercizio 1.1 Tre resistori, collegati in serie e percorse da una corrente I di 2 A, dissipano rispettivamente le seguenti potenze: P1 = 20 W P2 = 32 W P3 = 24 W Determinate i valori delle rispettive tensioni V1,V2, V3 e delle resistenze R1, R2, R3 [V1 = 10 V, V2 = 16 V, V3 = 12 V, R1 = 5 Ω, R2 = 8 Ω, R3 = 6 Ω] ___________________________ Soluzione Le tre resistenze sono collegate come indicato in Figura 1.1. Ricordando che l’espressione della potenza dissipata in un resistore si può esprimere come: P =V ×I= R ×I2= G ×V 2 Si ottiene V1 = P1/I = 10 V, V2 = P2/I = 16 V mentre V3 = P3/I = 12 V. Le resistenze si ottengono utilizzando l’espressione di P in funzione della resistenza e del quadrato della corrente o dall’equazione costitutiva del resistore V = R × I che fornisce R1 = V1/I = 5 Ω, R2 = V2/I = 8 Ω ed R3 = V3/I = 6 Ω. R1 R2 R3 V1 V2 V3 I Figura 1.1 2 ___________________________ Esercizio 1.2 Tre resistori collegati in parallelo, dissipano rispettivamente le seguenti potenze: P1 = 50 W P2 = 25 W P3 = 20 W È noto inoltre che la corrente I1 che percorre la resistenza R1 è pari a 5 A. Determinate i valori delle resistenze R1, R2, R3 e la corrente totale. [R1 = 2 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 5 Ω, Itot = 9.5 A] ___________________________ Soluzione Le tre resistenze sono collegate come indicato in Figura 1.2. Per ottenere i valori delle resistenze conviene determinare i rispettivi valori delle conduttanze sfruttando la relazione P = G × V 2, essendo V la stessa per tutte le resistenze in parallelo. Conoscendo la corrente di una di esse (I1) è possibile risalire al valore della tensione applicata che è pari a V = P1/I1 = 10 V. Da cui si può ottenere: G1 = P1/V2 = 0.5 S R1 = 1/G1 = 2 Ω G2 = P2/V2 = 0.25 S R2 = 1/G2 = 4 Ω G3 = P3/V2 = 0.2 S R3 = 1/G3 = 5 Ω. Si può calcolare la corrente totale o come rapporto tra la potenza totale e la tensione (Itot = Ptot/V = (P1+P2+P3)/V = 9.5 A) oppure come somma delle correnti di ogni resistenza (legge di Kirchhoff delle correnti ) Itot = I1+I2+I3 = V ×G1+V ×G2+V ×G3 = 9.5 A. R1 V I1 R2 R3 Itot A B Figura 1.2 3 Dall’ultima espressione si nota che la corrente tot ale si può calcolare anche come prodotto della tensione per la conduttanza equivalente del parallelo dei tre resistori: Itot = Gtot ×V = (G1+G2+G3) × V = 9.5 A ___________________________ Esercizio 1.3 Tre resistori collegati in serie presentano i seguenti valori di resistenza R1 = R2 = R3 = Conoscendo la corrente I che li attraversa, determinate le tensioni V1, V2, V3, V4 con le convenzioni di misura indicate in Figura 1.3 ___________________________ Soluzione La tensione V1 si può trovare sfruttando il legame V1 = R1 ×I = V (convenzione degli utilizzatori) ed analogamente V2 = - R2 ×I = V (convenzione dei generatori). La tensione V3 si trova sfruttando la legge di Kirchhoff delle tensioni V1 – V2 – V3 = 0 da cui V3 = V1 – V2 = V. Per trovare la tensione V4 è necessario determinare preliminarmente la tensione su R3. Se si sceglie il verso indicato con la freccia tratteggiata indicata in Figura 1.3 si ha VR3 = R3 ×I = V (convenzione degli utilizzatori) e V4 + VR3 – V2 = 0 da cui V4 = V2 – V3 = V ___________________________ Esercizio 1.4 Tre resistori collegati in parallelo presentano i seguenti valori di resistenza: R1 R2 R3 V1 V2 V3 I V4 Figura 1.3 4 R1 = 10 R2 = 20 R3 = 25 Conoscendo la tensione V=100 applicata ai capi del parallelo, determinate le correnti I1, I2, I3 e I4 con le convenzioni di misura indicate in Figura. ___________________________ Soluzione La corrente I1 si può trovare utilizzando il legame I1 = V/R1 =10 A (convenzione degli utilizzatori). La corrente I2 si può trovare utilizzando il legame I2 = -V/R2 = -5 A (convenzione dei generatori). La corrente I3 si può trovare determinando il valore della corrente IR3 (da A a B) = V/R3 = 4 e sfruttando la LKC al nodo: I3 = IR3 – I2 = 9 A La corrente I4 si può ottenere osservando che la superficie tratteggiata di figura 1.5 rappresenta un nodo generalizzato e quindi la corrente I3 entra ed esce dal nodo. La LKC consente di scrivere: I4 = I1+I3 =19 A ___________________________ Esercizio 1.5 Dato il circuito in figura 1.6, sono note le potenze dissipate dalle quattro resistenze e la corrente I: P1 = 40 W P2 = 30 W P3 = 25 W P4 = 35 W I = 4 A. R1 V I1 R2 R3 I2 I3 I4 A B Figura 1.4 R1 V I1 R2 R3 I2 I3 I4 A B I3 Figura 1.5 R1 V R2 R4 I R3 V34 I2 I1 Figura 1.6 5 Determinare i valori delle quattro resistenze e del la tensione V ___________________________ Soluzione Conoscendo la potenza dissipata in ogni resistore è possibile risalire al valore della totale potenza dissipata dall’oggetto a sinistra dei morsetti P = P1+P2+P3+P4 = 130W. Tale valore corrisponde anche al prodotto della tensione per la corrente; quindi V = P/I = 32.5 V. Sfruttando ora le equazioni costitutive, le leggi ai nodi e le leggi alle maglie è possibile percorrere il circuito da sinistra a destra in modo da ottenere i valori delle quattro resistenze. Di R1 si conosce potenza dissipata e tensione: G1 = P1/V2 = 0.03787 S da cui R1 = 1/G1 = 26.41 Ω. Sfruttando la legge ai nodi e l’equazione costituiva è possibile conoscere la corrente circolante in R2: I2 = I-G1*V = 2.769 A. Quindi R2 = P2/I2 = 3.912 Ω. Ora è possibile conoscere la tensione sull’oggetto costituito dal parallelo di R3 con R4 sfruttando una legge alle maglie ed una equazione costitutiva: V34 (= V3 = V4) = V-R2*I2 = 21.67 V. Quindi G3 = P3/V34 = 0.05324 S da cui R3 = 1/G3 = 18.78 Ω e G4 = P4/V34 = 0.07453 S da cui R4 = 1/G4 = 13.42 Ω. ___________________________ Esercizio 1.6 Sia dato il circuito rappresentato in figura 1.7, con i seguenti dati: R1 = 5 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 20 Ω, R4 = 30 Ω, V1 = 10 V. Determinare la tensione V e la corrente I4 ______________________ Soluzione Poichè R2 non è percorso da corrente in quanto risulta in serie ad un circuito aperto, per la equazione cositutiva del resistore la tensione su R2 è nulla e quindi, per la legge alle maglie, la tensione V1 insiste V R1 R4 I R3 R2 I4 V1 Figura 1.7 6 sulla sola R1 ed R2 è ininfluente al problema. Di conseguenza si può facilmente calcolare la corrente I = V1/R1 = 2 A che è la stessa corrente che circola nell’oggetto ottenuto dal parallelo di R3 con R4. La sua conduttanza vale G34 = G3+G4 = 0.08333 S mentre la sua resistenza è l’inverso R34 = 1/G34 = 12 Ω. Per la legge alle maglie risulta, quindi, V = -R34*I-V1 = -34 V. E’ possibile calcolare la corrente I4 dalla formula del partitore di corrente facendo attenzione ai segni: I4 = -I*G4/(G3+G4) = -0.8 A. Un altro approccio potrebbe essere quello di considerare che V insiste sulla serie di R1 con un oggetto, costituito dal parallelo di R3 con R4, di resistenza R34 = 12 Ω. Per la formula del partitore di tensione si ha che V = -V1*(R1+R34)/R1 = -34 V. La corrente I4 è facilmente calcolabile conoscendo la tensione V4 che insiste su R4: I4 = V4/R4. Ma, per la legge alle maglie, V4-V1-V = 0 da cui V4 = -24V e quindi I4 = V4/R4 = -0.8 A. ________________________ Esercizio 1.7 Dato il circuito in figura 1.8 sono noti: R1 = 60 Ω, R2 = 60 Ω, R3 = 32 Ω, R4 = 80 Ω, I = 120 A. ________________________ Soluzione R1 ed R2 sono in parallelo attraverso il cortocircuito superiore (figura 1.9); il circuito si riduce al parallelo di R4 con un la serie di R3 con il parallelo tra R1 ed R2 di resistenza totale R123 = R3+1/G12 dove G12 = G1+G2 = 0.03333 S. Quindi R123 = 62 Ω da cui G123 = 0.01613 S. Applicando la formula del partitore di corrente si ottiene: I4 = I * G4 /(G123+G4) = 52.39 A V R1 R4 I R3 R2 I4 B A Figura 1.8 V R1 R4 I R3 R2 I4 A B Figura 1.9 7 Capitolo 2. Thevenin e Norton in regime stazionario ___________________________ Esercizio 2.1 Sia data la rete di figura 2.1 si determini il cirucito equivalente di Thevenin rispetto ai morsetti AB e quello rispetto ai morsetti BC Sono noti: R1 = 5 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 20 Ω, R4 = 30 Ω, V1 = 10 V. ______________________ Soluzione Thevenin AB 1. Calcolo della tensione a vuoto tra AB. Poichè sia R1 che R2 non sono percorse da corrente la tensione VAB = 0 2. Calcolo della resistenza evivalente. Spegnendo i generatori si ottiene la rete di figura 2.2. La serie R3 e R4 è in parallelo ad un corto circuito e quindi la resistenza vista da AB è la serie R1 + R2 = 15 Ω V1 R1 R4 R3 R2 A B C Figura 2.1 R1 R4 R3 R2 A B C Figura 2.2 8 Thevenin BC 1. Calcolo della tensione a vuoto tra BC. Poichè R2 non è percorsa da corrente la tensione tra BC coincide con quella sulla resistenza R3 che si può trovare con la formula del partitore tra R3 e R4 cambiata di segno (perchè V1 è diretto verso C). VBC = - V1 × R3/(R3+R4)=-4 V. 2. Calcolo della resistenza evivalente La resistenza R1 essendo a sbalzo non interviene nel calcolo. La resistenza vista dai morsetti BC è la serie di R2 con il parallelo tra R3 e R4. R0 = R2 + R3 ×R4/(R3+R4) =22 Ω. Il bipolo equivalente è rappresentato in figura 2.3 ___________________________ Esercizio 2.2 Sia data sempre la rete di figura 2.1 si determini il cirucito equivalente di Norton rispetto ai morsetti BC. Sono noti: R1 = 5 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 20 Ω, R4 = 30 Ω, V1 = 10 V. ______________________ Soluzione 1. Calcolo della corrente di corto circuito tra BC. La corrente Icc è quella che circola in R2. La Icc può essere calcolata con la formula del partitore nota la I4. R23 = R2 ×R3/(R2+R3)=6.67 W I4 = -V1/(R4+R23)=-0.273 A Icc = I4 ×R3/(R2+R3) =-0.182 A 2. Calcolo della resistenza evivalente La resistenza R1 essendo a sbalzo non interviene nel calcolo. La resistenza vista dai morsetti BC è la serie di R2 con il parallelo tra R3 e R4. -4 V R0 C B Figura 2.3 V1 R1 R4 R3 R2 A B C Icc I4 Figura 2.4 -0.182A R0 C B Figura 2.5 9 R0 = R2 + R3 ×R4/(R3+R4) =22 Ω. Il bipolo equivalente è rappresentato in figura 2.5 ___________________________ Esercizio 2.3 Dato il circuito in figura 2.6, sono noti: R1 = 40 Ω, R2 = 60 Ω, R3 = 12 Ω R4 = 80 Ω, R5 = 70 Ω V1 = 120 V, I4 = 50 A, I5 = 40 A. Determinare la potenza elettrica generata dalla sorgente di corrente I4 ______________________ Soluzione La potenza elettrica generata da I4 può essere calcolata in due modi: come il prodotto della tensione V4 per I4 o come bilancio delle potenze: potenze generate da V1 e da I5 meno le potenze dissipate nei resistori. Conviene il primo approccio. Si operano, inizialmente, tutte le semplificazioni possibili al di fuori di I4. Il circuito di destra è costituito dalla serie di un generatore di corrente con un resistore. E’ equivalente ad un generatore di corrente pari a I5 (basta applicare Norton e notare che la Geq è nulla, mentre la corrente di corto circuito e’ proprio I5). Si nota anche che la tensione V4 risulta anche la tensione sul parallelo dei due generatori di corrente I4 e I5, che equivalgono ad un generatore di corrente equivalente I45=I4-I5 (verso il basso). La parte del circuito di sinistra e’ equivalente ad un bipolo serie. Per la legge di Thevenin la resistenza equivalente R1234 è ottenuta dalla serie di R4 con il parallelo tra R3 e la serie di R1 con R2: R1234=90.71 W. La tensione del generatore equivalente è pari alla tensione a vuoto ai morsetti di I45, che coincide con la tensione su R3, che, a sua volta, e’ una quota parte della totale tensione V1. Applicando la formula del partitore di tensione si ha che Veq = R3 ×V1/(R1+R2+R3) = 12.86 V. Si ottiene quindi V4 = -Veq+Req ×I45 = 894.2 V. La potenza generata da I4 vale quindi P4 = I4 ×V4 = 45.6 kW I4 R1 R4 R3 R2 I5 R5 V1 V4 Figura 2.6 10 ___________________________ Esercizio 2.4 Dato il circuito in figura 2.7, sono noti: R1 = 10 Ω, R2 = 5 Ω, R3 = 3 Ω R4 = 4 Ω, V1 = 30 V, I4 = 18 A, I3 = 6 A. Determinare il valore della tensionemisurata Vx ______________________ Soluzione Per conoscere Vx basta semplificare il circuito intorno a I3. La parte sinistra equivale ad un bipolo serie con generatore di tensione Veq1 = V1 ×R2/(R1+R2)} = 10 V e resistenza equivalente Req1 = 1/(G1+G2) = 3.333 Ω. La parte di destra equivale ad un bipolo serie con generatore di tensione Veq2 = I4/G4 = 72 V e resistenza equivalente Req2 = R3+R4 = 7 Ω. Vx si ottiene, allora, con una legge all’unica maglia rimasta, sapendo che I3 percorre tutti i bipoli serie: Veq1+Req1 ×I3+Vx+Req2 ×I3-Veq2=0 da cui Vx = 0 V. ___________________________ Esercizio 2.5 Dato il circuito in figura 2.7, sono noti: R2 = 4 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 6 Ω, V1 = 30 V. Calcolare Rx affinchè Ix = 1A in valore assoluto R4 R1 R3 R2 I4 V1 I3 Vx Figura 2.7 R2 V1 R3 Rx R4 R5 Ix Figura 2.8 11 ______________________ Soluzione Conviene semplificare il circuito intorno a Rx utilizzando Thevenin o Norton. Il calcolo della resistenza equivalente “vista” dai morsetti di Rx può essere effettuato in due modi: o calcolando la resistenza equivalente vista dai morsetti di Rx dopo aver reso passiva la rete, o come rapporto tra la tensione de l generatore equivalente (tensione a vuoto) del bipolo serie e la corrente del generatore equivalente del bipolo parallelo (corrente di corto circuito). La tensione a vuoto si trova appoggiandosi ad una delle due maglie, ad esempio quella costituita da R2, R3 ed il posto vuoto lasciato da Rx. Le tensioni su R2 e su R3 si trovano utilizzando la formula del partitore di tensione: VR2 = V1*R2/(R2+R4) = 20 V VR3 = V1*R3/(R3+R5) = 10 V Vo (con il verso indicato) = VR3-VR2 = -10 V La resistenza equivalente di ottiene come serie del parallelo tra R2 e R4 e il parallelo tra R3 e R5, e vale Req = (R2//R4)+(R3//R5)= 3.333 R2 V1 R3 R4 R5 V0 VR3 VR2 Figura 2.9 R2 R3 R4 R5 Req A A B C A B C R3 R5 R4 R2 Req Figura 2.10 12Ω (il simbolo // viene usato per indicare il calcolo necessario per individuare la resistenza equivalente del parallelo). Se non è chiaro il collegamento tra R2, R4 e R3, R5, si ridisegni la rete ricordando che un corto circuito porta i nodi allo stesso potenziale (Figura 2.10) Considerando l’equivalente di tipo serie la corrente Ix (figura 2.11) si ottiene come Ix = Vo/(Req+Rx). Quindi Rx = Vo/Ix-Req = 6.667 Ω L’altro metodo consiste nel calcolare la corrente di corto circuito. La corrente di corto circuito (verso destra) si ottiene con una legge ai nodi (ad esempio il nodo costituito da R2, R4 e il corto circuito). Le correnti in R2 e R4 si trovano come quota parte della totale corrente erogata dal generatore V1. La resistenza totale vista da V1 è ora ottenuta dalla serie di due oggetti: il parallelo di R2 con R3 ed il parallelo tra R4 e R5. La nuova R2345 vale: R2345 =R2//R3+R4//R5 = 3.214 Ω Itot = V1/R2345 = 9.334 A IR2 = Itot*G2/(G2+G3) = 4 A IR4 = Itot*G4/(G4+G5) = 7 A Icc (verso destra) = IR2-IR4 = -3 A Quindi la resistenza equivalente vale Req = Vo/Icc = 3.333 Ω come nel caso precedente. ___________________________ Esercizio 2.6 Sia dato il circuito rappresentato in figura 2.5, con i seguenti dati: R1 = 5 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 6 Ω, V1 = 18 V, I1 = 12 A.R4 R1 ______________________ Soluzione Occorre semplificare il circuito esterno ad R4. A questo proposito si nota che il generatore di corrente I1 si trova in Rx Req V0 Ix Figura 2.11 R4 R1 R2 V1 I1 R3 Figura 2.12 13 parallelo al generatore di tensione V1. Agli effetti esterni equivalgono al solo generatore di tensione V1 (basta applicare Thevenin al parallelo di I1 e V1). Ora R4, R3, R1 ed il bipolo serie V1, R2 sono in parallelo. Trasformando il bipolo serie in un bipolo di tipo parallelo si ottengono quattro resistori (R1, R2, R3 e R4) in parallelo ad un generatore di corrente Ieq = V1/R2 = 3 A (figura 2.13). La potenza dissipata in R4 si conosce se si conosce la tensione o la corrente di R4. Ma la corrente in R4 è una quota parte della corrente Ieq: IR4 = Ieq ×G4/(G1+G2+G3+G4) = 0.5769 A. Allora PR4 = R4 ×IR42 = 1.997 W ___________________________ Esercizio 2.7 Il circuito in figura 2.14 presenta: R1 = 5 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 2 Ω, R4 = 6 Ω, V1 = 18 V, V2 = 20V, I1 = 12 A. Determinare la corrente I11 e la potenza elettrica assorbita dalla sorgente di tensione ______________________ Soluzione Nel circuito sono presenti tre bipoli in parallelo: il resistore R12 equivalente alla serie di R1 con R2, V1 con R34, equivalente alla serie di R3 e R4, V2 e I1. Trasformando tutti i componenti in bipoli di tipo parallelo si ottiene facilmente la tensione comune ai bipoli: V = (V1*G12-V2*G34+I1)/(G34+G12) = 47 V R4 R1 R2 Ieq R3 Figura 2.13 R4 R1 R2 V1 I1 R3 V2 I11 Figura 2.14 14Tornando al circuito di fig. 2.14, è ora possibile calcolare la corrente I11: I11 = (V1-V)/(R1+R2) = -3.625A. La potenza assorbita dalla sorgente V1 è allora pari a P=-V1 ×I11 = 65.25W ___________________________ Esercizio 2.8 Dato il circuito in figura 2.15 sono noti: R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 2 Ω, R4 = 5 Ω V1 = 18 V, V2 = 20 V. Determinare la potenza dissipata dal resistore R4 e le potenze generate PV1 e PV2. ______________________ Soluzione Nel circuito sono presenti tre bipoli in parallelo: il resistore R34 equivalente alla serie di R3 con R4, V1 con R2 e V2 con R1. Trasformando tutti i componenti in bipoli di tipo parallelo si ottiene facilmente la tensione comune ai bipoli: V = (V1 ×G2+V2 ×G1)/(G34+G2+G1) = 14.31 V Tornando al circuito di fig. 2.16, è ora possibile calcolare tutte le correnti: IR4 = V/(R3+R4) = -0.5106 A; IV1 = (V-V1)/R2 = -3.5957 A IV2 = -IR4-IV1 = 4.106 A . Quindi PR4 = R4 × IR42 = 1.304 W; PV1 = V1 ×(-IV1) = 64.72 W; PV2 = V2 ×IV2 = 82.12 W ________________________ Esercizio 2.9 Dato il circuito in figura 2.17 sono noti: R1 = 4 Ω, R2 = 15 Ω, R3 = 5 Ω, R4 = 10 Ω, R4 R3 V1 R1 V2 R2 Figura 2.15 R4 R3 V1 R1 V2 R2 IR4 IV1 IV2 Figura 2.16 15 R5 = 25 Ω, R6 = 8 Ω, V1 = 25 V, I5 = 1 A Determinare la potenza dissipata in R6 __________________ Soluzione La potenza dissipata su R6 può essere calcolata come P6 = R6 ×I6 oppure come P6 = G6 ×V6. Conviene semplificare il circuito a sinistra e a destra del resistore R6 calcolando i parametri dei bipoli equivalenti serie o parallelo. Per quello che riguarda il circuito a sinistra si può notare che è costituito dal parallelo di V1 e R1 con R2 che sono a loro volta in serie a R3. Si può quindi calcolare il bipolo equivalente serie, la resistenza equivalente è data dalla serie del parallelo di R1 con R2 con R3: Req = (R1//R2)+R3 = 8.158 Ω (il simbolo // indica il parallelo). La tensione a vuoto è la tensione sul resistore R2 e può essere calcolata con la formula del partitore di tensione come: Vo = V1 ×R2/(R1+R2) = 19.73 V Il circuito di destra ouò essere trasformato nel suo equivalente serie con una resistenza equivalente Req1 pari alla serie di R4 e R5: Req1 = R4+R5 = 35 Ω E una tensione a vuoto pari a Vo1 = R5*I5 = 25V. LA tensione V6 ai capi di R6 può essere facilmente calcolata trasformando i bipoli serie nel loro equivalente parallelo come: V6 = Geq ×Vo+Geq1 ×Vo1/(Geq+Geq1+G6) = 11.35 V La potenza dissipata su R6 vale quindi P6 = G6 ×V62 = 16.10 W R5 R1 R2 V1 R4 R3 R6 I5 Figura 2.14 17 Capitolo 3. Reti in regime sinusoidale ___________________________ Esercizio 3.1 Dato il circuito in figura 3.1, sono noti: R = 8 Ω, L = 10 mH, C = 100µ F. v(t) = 50×cos(300×t+π/6) V Determinare la corrente , le tensioni sul resistore, sul condensatore e sull’induttore nel dominio del tempo ed in quello fasoriale. ______________________ Soluzione E’ necessario esprimere la sorgente di tensione nel dominio fasoriale. In tale dominio: V =50 2 e jp6=50 2 ×cos p 6       + jsin p 6             = 30.62+j17.68 V. La pulsazione è pari a ω=300 rad/s. Si può ricavare la reattanza induttiva Xl = ω×L = 3 Ω , la reattanza capacitiva è pari a Xc = 1/( ω×C) = 33.33 Ω . Scrivendo la legge alla maglia si ottiene la corrente: I = V R+j(Xl-Xc) = -0.296+j1.087 La tensione ai capi del resistore è pari a: v(t) R L C Figura 3.1 18 V = R ×I = -2.368 + j8.7V la tensione sull’induttore vale: 888 .0 262 .3j I jXl V- - = × = V la tensione sul condensatore vale: 866.9 23.36j I jXc V+ - = × - = V. Per trasformare le grandezze trovate nel dominio del tempo si procede nel medesimo modo per tutte le grandezze. Ad esempio per la corrente si ha: i(t) = I M cos (wt+ j), dove IM =2 Re( I ) 2+Im( I ) 2 ( ) e j =arctanIm( I ) Re( I )       se la parte reale è positiva e j = p +arctanIm( I ) Re( I )       la parte reale è negativa. Si ottiene allora: i(t) = 1.594 ×cos(300 ×t+1.837) A, vr(t) = 12.751 ×cos(300 ×t+1.837) V, vl(t) = 4.782 ×cos(300 ×t+3.407) V, vc(t) = 53.13 ×cos(300 ×t+0.266) V ___________________________ Esercizio 3.2 Dato il circuito in figura 3.2, sono noti: I1 = 18 A, X1 = 3 Ω , R = 4 Ω Xc = 1 Ω , ω = 200 rad/s calcolare V 1 e v1(t) __________________ Soluzione Il fasore I 1 è pari a I 1=18 ×e jp4=18 × (cos( π/4)+j ×sin( π/4)) = 12.73+j ×12.73. R e Xc sono in parallelo di conseguenza equivalgono ad una impedenza Z = 1/ Y , dove Y = G+(-1/(j ×Xc)), Z = 0.235- j ×0.941 Ω . Mentre Xl equivale all’impedenza 3 j lZ= W . La tensione V 1 è pari a V 1 = ( Z + lZ)×I 1 = -23.22+j28.20 V=37.31 ×e j2.24 V. La tensione V 1 nel dominio del tempo è pari a v1(t) = I1 Xl Xc R V1 Re Im I1 /4 Figura 3.2 19 52.76 ×cos(200 ×t+2.24) V. Lo sfasamento di I 1 rispetto V 1 è pari alla differenza della fase della corrente e di quella della tensione: j = π/4- (2.24) = -1.46 rad ___________________________ Esercizio 3.3 Dato il circuito in figura 3.3, sono noti: X1 = 30 Ω , R1 = 7 Ω , R2 = 10 Ω , Xc = 18 Ω V1 = 18 V, V2 = 20 V, δ = π/3 ω = 100 rad/s Determinare la corrente i(t) e il suo fasore rappresentativo ______________________ Soluzione Poiché è dato lo sfasamento relativo tra V 1 e V 2 è necessario scegliere dove porre l’asse reale, la scelta migliore consiste nel posizionare tale asse su uno dei due fasori. Se si posiziona l’asse reale coincidente con V 2 si ottiene: V 2 = 20 V, V 1 = 18 ×ej×δ V = 9+j ×15.59 V. A questo punto conviene semplificare la rete di sinistra che comprende V1-X1, R1 – Xc, trasformandolo nel bipolo equivalente serie. La tensione a vuoto può essere calcolata con la regola del partitore di tensione, Vv = V 1×(R1-j ×Xc)/(j ×X1+R1-j ×Xc) = 9.174-j ×23.28 V. L’impedenza equivalente è pari al parallelo di X1 con la serie di R1 e Xc: Zeq = 1/(1/(j ×X1)+1/(R1-j ×Xc))= 32.64-j ×25.96 Ω . A questo punto il fasore corrente può essere calcolato scrivendo una legge alla maglia e si ottiene: I = ( V 2-Vv)/(R2+Zeq) = -0.057+j ×0.511 A. Tornando nel dominio del tempo si ottiene i(t) = 0.727 ×cos(100 ×t+1.682) A ___________________________ Xl Xc R1 R2 V2 V1 i(t) V1 V2 Figura 3.3 20Esercizio 3.4 Dato il circuito in figura 3.4 sono noti: I1 = 12 A, I2 = 15 A, E = 18 V L = 1 H, R = 10 Ω, C = 200 mF d = p/6, b = p/4, f = 50 Hz Determinare il bipolo equivalente di Thevenin ai morsetti AB e la potenza complessa ai morsetti AB ______________________ Soluzione Le reattanze induttiva e capacitiva valgono rispettivamente: Xl = 2pfL = 314 .16 W Xc= 1 2pfC =15.915W Mentre i fasori corrispondenti alle sorgenti possono essere ricavati dal diagramma fasoriale: E = E =18 V I 1 = I1 ×ejd=10.392 + j6A I 2 = I2 ×ejb=10.607 + j10.607A Il bipolo equivalente di Theveni si ricava facilmente dall’osservazione della figura. Spegnendo i generatori rimane la serie di Xl e R, mentre la tensione a vuoto tra i morsetti AB è la somma della tensione del generatore E e della tensione su R, in quanto per soddisfare la I1 L C R E A B I2 Re Im I1 I2 E Figura 3.4 21 condizione di vuoto (senza carico) si deve imporre I2 = 0. Si ottiene dunque: Z o = R + jXl =10 + j314.16 W V o= E +R I 1=121.923+j60V La potenza complessa ai morsetti AB può essere quindi ottenuta sfruttando il bipolo equivalente appena trovato (fig 3.5). La tensione a carico tra i morsetti è: V AB = V o+ Z o×I 2= -3104 + j3498 V da cui: VA j I AB V A70027 4179 2+ - = × = ___________________________ Esercizio 3.5 Dato il circuito in figura 3.6 sono noti: R = 6 Ω , L = 1 mH, C = 12 µF f = 50 Hz, δ = π/6 V1 = 18 V, I1 = 18 A Determinare la tensione v(t) e lo sfasamento di Vr rispetto a Ic. ______________________ Soluzione Scegliendo di posizionare l’asse reale allineato con il fasore tensione V1, si ottiene che la tensione V1 e la coorente I1 nel dominio fasoriale valgono rispettivamente: V 1=18 V I 1=18×e jp6=15.59+j9A Vo Zo I2 A B VAB Figura 3.5 L C R V1 v(t) Vr Ic I1 I1 V1 Figura 3.6 22. La rete è costituita dal parallelo di I 1 , V 1 e Z r (dove Z r = R), Z c = -j Xc. La reattanza Xc può essere facilmente calcolata come Xc = 1/(ω C) = 265.3 Ω , ( ω = 2 ×π×f). La reattanza Xl, essendo in serie ad un generatore di corrente, non influenza la tensione vista ai morsetti esterni. La tensione v(t) richiesta è quella ai capi di Xc, che può essere calcolata in diversi modi: si può infatti semplificare la parte della rete attorno a Xc cercando il bipolo equivalente serie oppure si può trasformare il bipolo , V 1 e Z r nel suo equivalente parallelo riducendo così la rete nel parallelo di I 1, del bipolo paralleo e Z c da cui si può calcolare la tensione richiesta come: V = I 1- V 1 Z r 1 Z r +1 Z c = 76.71+j52.26V La tensione v(t) risulta allora pari a v(t) = 2Vcos (ωt + atan (Im (V )/ Re (V ))) = 131.27 ×cos (314.15 ×t+0.598) V La tensione V r si trova scrivendo la legge delle tensioni e risulta pari a V r = V + V 1=94.71+j52.265 V La corrente Ic può essere calcolata come I c= - V Z c = 0.197-j0.289 A. L’angolo φ richiesto è pari a φ = arg( V r Ic ) = 1.477 rad ___________________________ Esercizio 3.6 Dato il circuito in figura 3.7 sono noti: V 1= 10 V, V 2 = j12 V, R1= 2 Ω , R2 = 4 Ω R1 Xc R4 V2 R3 Xl R2 V1 ir(t) Figura 3.7 23 R3 = 5 Ω, R4 = 10 Ω, Xc = 2 Ω, Xl = 3 Ω, f = 50 Hz. Si deterimini ir(t). ______________________ Soluzione Conviene semplificare la parte di rete di sinistra costituita dal bipolo di tipo serie cstituito dal generatore di tensione V 1 e dall’impedenza Z 1 = R1, in parallelo a Z c = -j Xc , in serie all’impedenza Z2 = R2 + jXl. La tensione a vuoto si trova con la regola del partitore di tensione e vale V o= V 1 Z c Z c+ Z 1 = 5 –j5 V l’impedenza equivalente è data dalla serie di Z2 e del parallelo di Z1 e Zc e vale Z o = 5 + j2 Ω . La corrente I r può essere calcolata trasformando i due bipoli V o Z o e V 2  Z 4 ( Z 4 = R4) nel loro equivalente parallelo e applicando la regola del partitore di corrente tra Y3, Y4 e Yo si ottiene quindi: I r= V o Z o + V 2 Z 4       Y 3 Y 3+ Y 4+ Y o       = 0.215+j0.028 A. La corrente ir(t) risulta allora pari a ir(t)= 0.306 ×cos(314.15 ×t+0.132) A ______________________ Esercizio 3.7 Dato il circuito in figura 3.8 sono noti: Z 1= 1-j Ω , Z 2 = 2+j Ω , Z 3 = 1-j2 Ω , Z 4 = 3+j2 Ω , V = 120 V, I1 = 80 A, I2 = 50 A Calcolare I Z1 V Z2 Z3 Z4 I I1 I2 V I2 I1 Re /4 /4 Figura 3.8 24 ______________________ Soluzione Conviene semplificare il circuito cercando il bipol o equivalente serie visto dai morsetti del ramo percorso dalla corrente I. L’impedenza equivalente è data da Z eq = ((Z 3+ Z 4)//Z 1)+ Z 2 = 2.923+j0.385 Ω (dove // indica il parallelo). Per il calcolo della tensione a vuoto conviene trasformare il bipolo parallelo formato da I 2 e Z 3 nel suo equivalente serie formato da V 2= Z 3×I 2 e sempre Z 3. Si osserva a questo punto che l’impedenza Z 3 risulta in serie a Z 4 e che la rete è diventata binodale La tensione VAB può essere calcolata trasformado tutti i bipoli tra A e B in bipoli di tipo parallelo e risulta: V AB= V 1 Z 1 + I 1+ V 2 Z 3+ Z 4 1 Z 1 +1 Z 3+ Z 4 = 154.86+j16.83V (formula di Millman) allora la tensione a vuoto è pari a V v=V Z1-V Z2= (V AB -V )- Z 2×I 1 = -91.43-j186.5 V. La corrente I richiesta è allora data da I =V v/Z eq = -39-j58.68 A ___________________________ Esercizio 3.8 Dato il circuito in figura 3.10 funzionante in regime sinusoidale, sono noti: v1(t) = 2×200 ×sin(500 ×t) V, Z1 V Z2 Z3 Z4 I1 V2 A B Vv VZ2 Figura 3.9 C R2 L R1 a1 v2 v1 va1 Figura 3.10 25 v2(t) = 2×300 ×cos(500 ×t) V a1(t) = 2×10 ×sin(500 ×t-π/4) A R1 = 5 Ω , R2 =10 Ω , L = 20 mH, C = 100 µ F Determinare la tensione va1(t) ______________________ Soluzione I generatori di tensione e corrente espressi in regime fasoriale sono pari a: V 1 = -j200 V, V 2 = 300 V, A 1= 10e -j(π/4+π/2) A. Conviene semplificare la rete di destra cercando il bipolo equivalente serie. Le ipedenze sono Z r = R1, Z c = -j/( ωC) (con ω = 500 rad/s), Z 2 = R2+j ωL2, l’impedenza equivalente Z eq è data dalla serie di Z r con il parallelo di Z c e Z 2. Z eq = Z r+ (Z c//Z 2)= 25 Ω . La tensione a vuoto è data dalla legge alla maglia e vale V v = V 1- Z c(V 1+V 2)/(Z 2+ Z c) = -100+j300V. La tensione V a =V v+ Z eq A 1Va = -267.78+j123.22 V. Ritornando nel dominio del tempo si trova: va1(t) = 428.46cos(500t+2.723) V ___________________________ Esercizio 3.9 Dato il circuito in figura 3.11, sono noti: V 1= 10 V (fasore su Re) R1= 5 Ω , R2 = 20 Ω R3 = 6 Ω , R4 = 10 Ω , C1 = C2 = 1 mF L = 0.1 H, ω = 100 rad/s. Calcolare V2 in modulo e fase rispetto a V1 in modo che I = 0. ______________________ Soluzione C2 R3 L R1 V1 V2 C1 R2 I Figura 3.11 26Affinché la corrente I sia pari a zero dovrà essere I = Vc2/Zc2 = 0 e quindi dovrà essere nulla la tensione ai capi di C2. Conviene semplificare la parte di rete di sinistra, costituita da V1-R1, R2, C1. Le impedenze possono essere calcolate come: Z 1 = R1, Z 2= R2, Z c = -j/(ω C2) l’impedenza equivalente risulta la serie di Z c con il parallelo di Z 1 e Z 2, Z eq = (Z 1//Z 2)+ Z c = 4 - j10 Ω . La tensione a vuoto può essere calcolata con la regola del partitore di tensione e risulta pari a V o=V 1×Z 2/(Z 2+ Z 1) = 8 V. La parte di rete di destra è costituita dall’impedenza Z 3 = R3+j( ωL) e dal generatore di tensione V2. Imponendo che la tensione ai capi di C2 sia nulla si ottiene: V c2 = V o- Z eq (V o-V 2)/(Z eq + Z 3)= 0, da cui si ottiene: V 2= 5.241-j6.897 e quindi v2(t) = 12.25 ×cos(100 ×t-0.921) V ___________________________ Esercizio 3.10 Dato il circuito in figura 3.12, sono noti: v1(t)= 14.139 ×sin(10 ×t) V, R1= 2 Ω , R2 = 1 Ω R3 = 4 Ω , C1 = C2 = 0.1 F L1 = 0.1 H, L2 =0.5 H. Calcolare i1(t), i2(t), v(t). ______________________ Soluzione Il generatore di tensione v1(t) in regime fasoriale è pari a V 1 = -j9.99 V. La rete è costituita dal parallelo di 3 bipoli: V1-Z1, Z2, Z3, dove Z 1= R1+j ωL, Z 2 = R2-j/( ωC1), Z 3 = R3 +j( ωL2- 1/( ωC2)). Per calcolare la tensione V conviene trasformare V1-Z1 nel suo equivalente parallelo e notare che in tal modo si ottiene che la tensione V u ai capi di Z 2 è pari a C1 C2 L2 R1 v1(t) L1 R2 R3 v(t) i2(t) i1(t) Figura 3.12 27 V u =( V 1/Z 1)/(1/ Z 1+1/ Z 2+1/ Z 3) = -2.543-j3.467 V. La tensione V si trova applicando la regola del partitore di tensione ed è pari a V = V u×(j( ωL2-1/( ωC2)))/ Z 3 = 0.462-j3.005 V, la corrente I 2 è pari a I 2 = V u/Z 2 = 0.462-j3.005 A, la corrente I 1= ( V 1-V u)/ Z 1 =-0.289-j3.121 A. Ritornando nel dominio del tempo si ottiene: i1(t) = 4.43 cos(10t-1.663) A, i2(t) = 4.3 cos(10t-1.418) A, v(t) = 4.3cos(10t+1.418) V 29 Capitolo 4. Reti trifase ___________________________ Esercizio 4.1 Dato il circuito di Figura 4.1 sono noti: V f1=180 V V f2= -j180 V V f3= j180 V Z 1=10 W , Z 2= 20 W , Z 3= 5+ j20 W Determinare le tre correnti di fase e l’indicazione del wattmetro. ___________________________ Soluzione La tensione Vo’o può essere calcolata utilizzando la formula di Millman: V¢ o o= V f1 Z 1 + V f2 Z 2 + V f2 Z 2 1 Z 1 +1 Z 2 +1 Z 2 = 162.26+j4.66 V con le LKT si posso determinare le tensioni sulle impedenze e di conseguenza le correnti: W Vf1 Vf2 Vf3 Z1 Z2 Z3 O OÕ I1 I2 I3 Figura 4.1 Re Vf1 Vf3 Vf2 Figura 4.2 30 I1= V f1-V ¢ o o Z 1 =1.772-j0.466 A I 2= V f2-V ¢ o o Z 2 = -8.114- j9.233 A I 3= V f3-V ¢ o o Z 3 =6.342- j9.699 A La corrente misurata dal wattmetro coincide con I 1 mentre la tensione è V w =V f1-V f2=180+180j, da cui: W = Re( V w ×I1)= 235 W ___________________________ Esercizio 4.2 Dato il circuito di Figura 4.3 sono noti: V f1=180 V V f2=180×e -j2 3 p V V f 3=180×e j2 3p V Z 1= Z 2= Z 3= Z = 5+ j20 W Determinare le tre correnti di fase e l’indicazione del wattmetro. ___________________________ Soluzione Il sistema è simmetrico ed equilibrato, di conseguenza la tensione Vo’o è nulla. Le correnti di fase possono essere quindi calcolate semplicemente come: I 1= V f1 Z =2.118+j8. 471 A I 2= V f2 Z = -8.395+j2.401 A 069 .6 277 .6 3 3j Z fV I+ + = = A W Vf1 Vf2 Vf3 Z1 Z2 Z3 O OÕ I1 I2 I3 Figura 4.3 Re Vf1 Vf3 Vf2 Figura 4.4 31 La corrente misurata dal wattmetro coincide con I1 mentre la tensione è V w =V f1-V f2 = 270 + j155 .885 V da cui: P = Re( V w ×Iw ) = -748.66 W ___________________________ Esercizio 4.3 Dato il circuito di Figura 4.3 sono noti: V f1=180 V V f2=180×e -j2 3 p V V f 3=180×e j2 3p V Z 1=10 W , Z 2= 20 W , Z 3= 5+ j20 W ___________________________ Soluzione La tensione Vo’o può essere calcolata utilizzando la formula di Millman: 959 . 22 578 . 115 3 1 2 1 1 122 22 11 j Z Z Z ZfV ZfV ZfV o oV+ = + ++ + = ¢ V con le LKT si posso determinare le tensioni sulle impedenze e di conseguenza le correnti: I 1= V f1-V ¢ o o Z 1 = 6.442 -j 2.296 A I 2= V f2-V ¢ o o Z 2 = - 10.279 -j 8.942 A I 3= V f3-V ¢ o o Z 3 = 3.837 -j 11.238 A W Vf1 Vf2 Vf3 Z1 Z2 Z3 O OÕ I1 I2 I3 Figura 4.5 32 La corrente misurata dal wattmetro coincide con I1 mentre la tensione è V w =V f1-V f2 = 270 + j155 .885 V da cui: P = Re( V w ×Iw ) = 1381 W ___________________________ Esercizio 4.4 Dato il circuito di Figura 4.6 sono noti: V f1=180 V V f2= -j180 V V f3= j180 V Z 1=10 W , Z 2= 20 W , Z 3= 5+ j20 W , Z 4 = 2+ j4 W ,Z 5= j20 W ,Z 6= 30 W determinare le correnti di linea e l’indicazione del wattmetro. ___________________________ Soluzione Le tensioni Vo’o e Vo’’o possono essere calcolate utilizzando la formula di Millman: W Vf1 Vf2 Vf3 Z1 Z2 Z3 O OÕ Ia Ib Ic OÕÕ Z6 Z5 Z4 Id Ie If I1 I2 I3 Figura 4.6 Re Vf1 Vf3 Vf2 Figura 4.7 33 V ¢ o o= V f1 Z 1 + V f2 Z 2 + V f3 Z 3 1 Z 1 +1 Z 2 +1 Z 3 = 162.28+j4.663 V V¢ ¢ o o= V f1 Z 4 + V f2 Z 5 + V f3 Z 6 1 Z 4 +1 Z 5 +1 Z 6 = 108.374+j21.799 V con le LKT si posso determinare le tensioni sulle impedenze e di conseguenza le correnti: I a= V f1-V ¢ o o Z 1 =1.772-j0.466 A I b= V f2-V ¢ o o Z 2 = -8.114-j9.233 A I c= V f3-V ¢ o o Z 3 =6.342-j9.699 A I d= V f1-V ¢ ¢ o o Z 4 =11.522-j12.145 A 419 .5 91.7 5 2 j Z o o V fV eI+ - =¢¢ - = A 727 .6 612 .3 6 3 j Z o o V fV fI+ - =¢ - = A con le LKC ai nodi si ricavano le correnti di linea: I 1= I a+ I d =13 .295 - j12 .612 A I 2= I b+ I e= -16 .024 - j3.814 A I 3= I c+ I f= 2.73 + j16 .426 A La corrente misurata dal wattmetro coincide con I1 mentre la tensione è V w =V f1-V f2 =180 + j180 V da cui: P =Re( V w ×Iw ) = 122.91 W 34 ___________________________ Esercizio 4.5 Dato il circuito di Figura 4.8 sono noti: V f1= 80 V V f2= j100 V V f3= -120 V R = 7 W Z 1=10 + j20 W , Z 2= 30 W , Z 3= -j15 W , Z 0= 3+ j1W _______________________ ____ Soluzione E’ necessario calcolare la corrente I w e la tensione V w rispetto i morsetti contrassegnati del wattmetro. La tensione V w è quella che si ha ai capi di Z3, mentre la corrente I w è quella che percorre l’impedenza Zo. La tensione tra il centro stella delle tensioni e il centro stella di Z1, Z2, Z3 e Zo può essere calcolata con la formula di Millman oZ Z Z Z ZfV ZfV ZfV o oV 1 3 1 2 1 1 133 22 11 + + ++ + = ¢ = 8.772-j20.444V (non dipende da R) La tensione V w è pari a V w = o oV fV¢ - 3= -128.771+j20.444 V. La corrente Iw è pari a I w = - V ¢ o o/Z o = -0.587+j7.01 A. L’indicazione del wattmetro è quindi: P =Re( V w ×Iw ) = 218.91 W Vw Vf1 Vf2 Vf3 Z1 Z2 Z3 O OÕ Iw W R Z0 Figura 4.8 Re Vf1 Vf2 Vf3 Figura 4.9 35 ___________________________ Esercizio 4.6 Dato il circuito di Figura 4.10 sono noti: V f1= j180 V V f 2=180×e jp 2-2 3p       V V f3=180×e jp 2+2 3p       V Z 1= 20 + j15 W Z 2= 5- j8W Z 3=10 + j2W Determinare le tre correnti di fase e l’indicazione del wattmetro. ___________________ Soluzione E’ necessario calcolare la corrente I w e la tensione V w rispetto i morsetti contrassegnati del wattmetro Prima di procedere al calcolo conviene sostituire al wattmetro il suo circuito equivalente che consiste in un circuito aperto tra i morsetti volumetrici e un corto circuito tra i morsetti amperometrici. La corrente I w è quindi la corrente che percorre il corto circuito in parallelo all’impedenza Z1. La tensione V w è data da V w = V f1-V f3= 155.88+j270 V. La corrente Iw si può calcolare con una legge al nodo come somma algebrica dei due W Vf1 Vf2 Vf3 Z1 Z2 Z3 O OÕ Iw Vw Figura 4.10 Vf1 Vf2 Vf3 Z1 Z2 Z3 O OÕ Iw Vw I2 I3 Figura 4.10 Re Vf1 Vf2 Vf3 Figura 4.11 36 contributi relativi alle fasi 2 e 3. La tensione tr a i due centri stella è infatti pari a V f1, essendo cortocircuitata l’impedenza Z1. Si ottiene allora I 2= ( V f2-V f1)/ Z 2 = 33.027-j1.156 A, diretta verso destra e I 3 = ( V f3-V f1)/ Z 3 =-20.18-j22.964 A, diretta verso destra. La corrente I w è data da I w = - I 2-I 3 = -12.847+j24.12 A. L’indicazione del wattmetro è allora pari a P = Re( V w ×Iw ) = 4510 W ___________________________ Esercizio 4.7 Dato il circuito di Figura 4.12 sono noti: V f1= 220 V V f2=220×e -j2 3 p V V f 2=220×e j2 3p V R = 4 W , Xc = 10 W Z 1= Z 2= Z 3= Z = j10 W Determinare l’indicazione del wattmetro W. ___________________________ Soluzione E’ necessario calcolare la corrente I w e la tensione V w rispetto i morsetti contrassegnati. La corrente I w si trova dalla legge al nodo come somma di tre contributi: la corrente che precorre l’impedenza Z2, la corrente che interessa la resistenza R (diretta verso il basso) e la corrente che interessa la reattanza Xc (diretta verso l’alto). La tensione tra i due centri stella Vo’o è nulla essendo la terna simmetrica e le tre impedenze uguali (non dipende dai carichi trasversali R e Xc) .Di conseguenza la corrente che interessa l’impedenza Z2 è pari a I z2= V f2/Z2=-19.053+j11 A. La corrente Ir che interessala resistenza è data da I r= ( V f2-V f3)/R=-j95.26 A e la corrente che interessa la reattanza Xc è data da Vf1 Vf2 Vf3 Z1 Z2 Z3 O OÕ W R Xc Figura 4.12 37 I c = ( V f2-V f1)/(-jXc)=19.05-j33 A. La corrente I w è pari a I w = I z2+ I r+ I c=-j117.26 A. La tensione V w si trova con una semplice legge alle maglie ed e’ pari a V w = V f2-V f3 e l’indicazione del wattmetro è pari a P =Re( V w ×Iw ) =44.68 kW. ___________________________ Esercizio 4.8 Dato il circuito di Figura 4.13, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni sono noti: Vf = 200V Z1 = 5- j10 W Z2 = 15+j10 W Z0 = 10-j20 W Determinare l’indicazione del wattmetro ___________________________ Soluzione E’ necessario calcolare la corrente Iw w la tensione Vw rispetto ai morsetti contrassegnati del wattmetro. Essendo alimentato con una terna diretta di tensioni i fasori corrispondenti sono: V f1= 200 V V f2=200×e -j2 3 p V V f 3=200×e j2 3p V La corrente Iw è pari alla corrente che percorre le impedenze Z2 e Z1. Per il calcolo della corrente conviene trovare la tensione Vo’o. Vf1 Vf2 Vf3 Z1 Z1 Z1 O O’ W Z0 Z2 Figura 4.13 38 58. 62 6. 15 1 1 1 2 11 1 1 13 2 12 11 j oZ Z Z Z ZZ fV Z ZfV ZfV ooV+ - = + + + ++ + + = ¢ V da cui I w= V f2-V ¢ o o Z 1+ Z 2 = -4.22+j11.79A Per il calcolo della tensione Vw è necessario scrivere la LKT da cui: V w =V f2- Z 2I w -V f3= -54 .59 - j127 .37 V e l’indicazione del wattmetro è pari a P =Re( V w ×Iw ) =1732 W. ___________________________ Esercizio 4.9 Dato il circuito di figura 4.14 sono noti: v1(t)= 2220cos( wt) v2(t)= 2220cos( wt+ p/2) v3(t)= 2220cos( wt-p/3) R=10 W , L1 = 5mH, L2=10 mH, L3 = 15 mH f =50Hz Determinare la corrente I. ___________________________ Soluzione Bisogna per prima cosa determinare i fasori corrispondenti delle tensioni di alimentazione e delle impedenze. Si nota comunque che l’alimentazione non è simmetrica e il carico non è equilibrato. V f1=220 V, V f2=220 e jp/2 V, V f3=220 e -jp/3V Z 1= R + jwL1= 5+ j1.57 W v1(t) v2(t) v3(t) O OÕ R R R R L1 L2 L3 I Figura 4.14 39 Z 2= R + jwL1= 5+ j3.14 W Z 3= R + jwL1= 5+ j4.71 W Z 0= R = 5W La tensione tra i centri stella è pari a: V¢ o o= V f1 Z 1 + V f2 Z 2 + V f3 Z 3 1 Z 1 +1 Z 2 +1 Z 3 +1 Z 0 = 77.477+j8.665V da cui la corrente vale I =V ¢ o o/R=7.748 + j0.866 A ___________________________ Esercizio 4.10 Dato il circuito di Figura 4.15 alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, sono noti: Vf = 100 V R = 20 W Z 1= 2+ j5W Z 2= 3- j7W Z 3= 4 W Z 0= j9W Determinare l’indicazione del wattmetro, scegliendo come asse di riferimento per il favore della fase 1 l’asse immaginario Soluzione Bisogna per prima cosa determinare i fasori corrispondenti delle tensioni che essendo una terna simmetrica diretta hanno espressione: V f1=j100 V, V f2=j100 e -j2 p/3 V, V f3=j100 e j2p/3V Vf1 Vf2 Vf3 Z1 Z2 Z3 O OÕ W R Z0 OÕÕ R R Figura 4.15 40 Per calcolare la corrente Iw è necessario calcolare la corrente che passa nell’impedenza Z1 e sommarla a quella del carico formato dalle resistenze. La tensione Vo’o non dipende dal carico trasversale formato dalle tre resistenze e vale. V¢ o o= V f1 Z 1 + V f2 Z 2 + V f3 Z 3 1 Z 1 +1 Z 2 +1 Z 3 +1 Z 0 = 11.557+j11.18V La corrente che percorre Z1 è quindi: I z1= V f1-V ¢ o o Z 1 =14.517+j8.118A La tensione Vo’’o è invece nulla essendo il carico formato dalle tre resistenze equilibrato e le tensioni simmetriche. Di conseguenza I r=V f1/R=j5 A. La corrente Iw si ottiene con una legge al nodo Iw = Ir+Iz1 = 14.517+j13.118 A. L’indicazione del wattmetro è pari a P = Re( V w ×Iw ) =710.53 W. 41 Capitolo 5. Metodo di Boucherot ___________________________ Esercizio 5.1 Dato il circuito in figura 6.1 funzionante in regime sinusoidale, sono noti: R1 = 3 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 5 Ω,R4 = 4 Ω, Xc1 = 2 Ω, Xc2 = 3 Ω, Xl = 2 Ω, Iz = 20 A, Pz = 400 W Qz = 300 VAR (induttiva) Determinare i valori della tensione del generatore V, della corrente da esso erogata e il loro sfasamento reciproco. ______________________ Soluzione Si procede seguendo il metodo di Boucherot. Per trovare la tensione V è necessario trovare la potenza attiva, reattiva e apparente totale ai morsetti del generatore. Xc2 R4 R2 V Xc1 R3 Z Xl R1 Figura 5.1 Xc2 R4 R2 V Xc1 R3 Z Xl R1 a a b b c c Fig ura 5.2 42 Per fare questo conviene dividere la rete in tre se zioni: • sez a comprende Xc1, Z, R3, R4 e Xc2 • sez. b comprende R2; • sez. c comprende R1 e Xl Alla sez. a la potenza attiva totale è la somma di diversi contributi: Pa = Pz+PR3+PR4 dove Pz = 400 W, PR3 = VR3 2/R3, PR4 = R4 ×IR4 2 . La tensione ai capi di R3 è la stessa che c’e’ ai capi di Z e vale VR3 = Pz 2+Qz 2/Iz = 25 V. La corrente su R4 è pari a IR4 = Vz/ R42+ Xc 22= 5A (rapporto tra il modulo della tensione e modulo dell’impedenza) quindi Pa = 625 W. Mentre la potenza reattiva è: Qa = -QXc2+Qz-QXc1, dove QXc2 = Xc2 ×IR4 2 = 75 VAR, QXc1 = Vz 2/Xc1 = 312.5 VAR, da cui Qa = -87.5 VAR Alla sez. b si ha Qb = Qa, Pb = Pa+R2 ×I2 2. La corrente I2 è data da I2 = Pa 2+Qa 2/Vz = 25.24 A da cui Pb = 3174 W. Alla sez. c Pc = Pb+P1, Q1 = Qb+Q1. Dove P1 = R1 ×I1 2 e Q1 = Xl ×I1 2. Per il calcolo della corrente I1 conviene calcolare la tensione ai capi dell’impedenza R1-Xl (che e’ la stessa che c’è ai capi del generatore V). Questa tensione è pari a V1 = Pb 2+Qb 2/I2 = 125.78 V. Nota V1 la corrente I1 risulta pari a I1 = V / R12+ Xl 2= 34.89 A Risulta allora che le potenze totali erogate dal generatore sono P = Pb+Pc = 6825 W e Q=Q+Qc = 2346.5 VAR. La potenza apparente totale è pari a A = P 2+Q 2= 7217.1 VA, la tensione del generatore vale V = V1 = 125.78 V, la corrente erogata dal generatore è pari a I = A/V =57.38 A, lo sfasamento è pari a φ = acos(P/A) = 0.311 rad = 18.97° _____________________ 43 Esercizio 5.2 Dato il circuito in figura 5.3 funzionante in regime sinusoidale, sono noti: R1 = 50 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 4 Ω,R4 = 4 Ω, Xc1 = 3 Ω, Xl = 6 Ω Pz = 1600 W c os jz = 0.8 (ind.) Vz = 100 V f = 50 Hz Determinare i valori della capacità C affinché il fattore di potenza (cos j’) del generatore I risulti pari a 0.9 (induttivo). ______________________ Soluzione Si procede utilizzando il metodo di Boucherot per calcolare il fattore di potenza che risulta ai capi del generatore I quando non sia presente il condensatore C, e successivamente si calcola il valore della capacità C tale da avere un cosφ = 0.9 ind. Si divide la rete nelle seguenti sezioni: • sez a
impedenza Z e R4 • sez b
impedenza R3-Xc1 • sez. c
impedenza R2-Xl • sez. d
R1 Alla sez. a si ha Pa = Pz + R4 ×Iz 2 = 3.2 kW, Qz = Pz ×tan(φz) = 1.2 kVar, Ia = Iz = P/(V cosφz) = 20 A, Va = Pa 2+Qa 2/Iz =170.88 V . R4 R2 Xl R3 Z C Xc1 I Vz R1 Figura 5.3 R4 R2 Xl R3 Z C Xc1 I R1 a b c d Figura 5.4 44 Alla sez. b si ha Pb = Pa+PR3, Qb = Qa-QXc1. Ma PR3 =R3 ×I3 2, dove IR3 = Va/ R32+ Xc 12= 34.176 A, quindi Pb = 7.872 kW e Qb = -2.304 kVAR e Ib = Pb 2+Qb 2/Va = 48 A. Alla sez. c si ha Pc = Pb+PR2 e Qc = Qb+QXl. Dove PR2 = R2 ×I2 2 e QXl = Xl ×I2 2. La corrente I2 è pari a Ib quindi Pc = 12.48 kW e Qc = 11.52 kVAR. Alla sezione c si ha inoltre Ic = Ib, e Vc = Pc 2+Qc 2 /Ic = 353.84 V. Nella sez. d si ha Pd = Pc+Vc 2/R1 = 14.98 kW e Qd = Qc. Si ha inoltre Vd = Vc e Id = Pd 2+Qd 2/Vc = 53.42 A In assenza del condensatore il cos φ è pari a cos φ = Pd/ Pd 2+Qd 2= 0.793. Se si aggiunge il condensatore, si ha che la nuova potenza reattiva deve valere Qe = Pd tan φ’ = Pd tan(acos(0.9)) = 7.257 kVAR (in quanto Pd è la stessa con o senza condensatore). Qe deve essere pari a Qd meno quella del condensatore Q’, Qe = Qd-Q’. Quindi Q’ = 4.263 kVAR (cap) da cui si ricava C = Id 2/(ωQ) = 2.131 mF ______________________ Esercizio 5.3 Dato il circuito in figura 5.5, sono noti: Vz = 280 V Pz = 1 kW φz = π/4 (ind) f = 50 Hz R1 = 17 Ω Xc = 200 Ω , R2 = 10 Ω Determinare il valore della capacità Cx in modo che la corrente I sia in fase con la tensione V. ______________________ R2 R1 Z Cx Xc V Vz I Figura 5.5 Õ=acos(0.9) Qd Qe QÕ Pd 45 Soluzione Si procede utilizzando il metodo di Boucherot. Si i ndividuano le seguenti sezioni: • sez a
R-Z • sez b
Xc • sez c
R1 • sez d
Cx Alla sez a si ha Pa = Pu+PR2 = Pu+R2 ×Iz 2, ma Iz = Pz/(Vz cosφz) = 5.051 A, quindi Pa =1.255 kW, Qa=Qz = Pz*tanφ = 1 kVAR, Va = Pa 2+Qa 2/Iz = 317.72 V. Nella sez. b si ha Pb = Pa, Qb = Qa-Va 2/Xc = 495.2 VAR e Ib = Pb 2+Qb 2/Va = 4.247 A. Il condensatore Cx deve fornire affinchè V ed I siano in fase deve compensare completamente la potenza reattiva Qb e quindi Cx = Ib 2/(ωQb) = 115.91 µF. L’esercizio poteva essere risolto anche in altro modo calcolando il modulo dell’impedenza Z come Z = Vz/Iz e poi calcolando la parte reale e immaginaria di tale impedenza (R = Z cos φz e X = Z sin φz). Affinché la corrente e la tensione siano in fase la parte immaginaria dell’impedenza vista ai morsetti di V deve essere nulla. Imponendo questa condizione si trova la medesima soluzione. ______________________ Esercizio 5.4 Sia data la rete trifase di Figura. Si determini il valore della capacità C della batteria di condensatori collegati a stella da inserire affinché il cosj nella sezione A sia pari a 0.9. R1 = 10 W X1 = 40 W X2 = 30 W E1 =E2 = E3 = 220V Alimentazione simmetrica diretta Figura 5.6 46 ______________________ Soluzione E’ necessario calcolare la potenza attiva e reattiv a nella sezione in cui verranno inseriti i condensatori. A questo scopo si calcola la tensione tra il centro stella dei generatori e il centro stella del carico (senza condensatori). Essendo l’alimentazione simmetrica diretta si è scelto di posizionare il fasore E1 sull’asse reale. V¢ o o= E 1 jX2 + E 2 R1 + E 3 jX1 1 jX2 +1 R1 +1 jX1 = 56.337-j203.496 V. Le correnti di linea sono I1 = ( E 1-V ¢ o o)/(jX2)= 6.783-j5.455 A, I2 = ( E 2-V ¢ o o)/(R1) = -16.634+j1.297 A, I3 = ( E 3-V ¢ o o)/(jX1)=9.851+j4.158 A. Da cui: Qtot = X2.|I1| 2+X1|I3| 2 = 6.846 kVAR,, Ptot = R1|I2| 2=2.784 kW La capacità C è quindi pari a C = (Qtot-(Ptot tan j))/(3E 22pj )= 0.1205 mF ______________________ Esercizio 5.5 Data la rete trifase di figura, determinare il valore della batteria di condensatori collegati a stella da inserire nella sezione AA affinché il cos j del carico sia pari a 0,9. Figura 5.7 47 R=10 W E1 = E2= E3 = 220 V f = 50 Hz L=10 mH Z1=3+j9 W ______________________ Soluzione E’ necessario calcolare il contributo di potenza attiva e reattiva relativi all’induttanza L e alla resistenza R e quello dovuto al carico Z1. Si calcola la corrente sull’induttore (I2) e sul resistore (I3) sapendo che la tensione tra i centri stella è imposta ed è pari a E1. Di conseguenza si ha: I 2=( E 2 - E 1)/(j wL) =-60.646+j105.042 A e I 3=(E3-E1)/R=-33+j19.053 A. La potenza attiva e reattiva dovute al carico L e R è quindi pari a P=R| I 3|2=14.52 kW e Q=( wL)| I 2|2=46.22 kVAR. Il contributo di potenza attiva e reattiva dovuti al carico Z1 è pari a Pz1=3Re( Z 1)Iz1 2 =4.84 kW e Qz1=3Im( Z 1)Iz1 2 =14.52 kVar dove Iz1=| E 1|/| Z 1|=23.19 A in quanto il carico è equilibrato e le tensioni simmetriche. La potenza attiva e reattiva nella sezione appena prima dei condensatori di rifasamento è pari a: Pa=Pz1+P=19.36 kW e Qa=Qz1+Q=60.74 kVar. La potenza reattiva desiderata e’ pari a Q’=Pa ×tan(f)=9.376 kVar=Qa-3 wCE 2. Da cui si ricava C=1.126 mF ______________________ Esercizio 5.6 Data la rete trifase di figura, determinare il valore della batteria di condensatori collegati a triangolo da inserire nella sezione AA affinché il cos j Figura 5.7 48 del carico sia pari a 0,9. Z1 = 15 + j10 W Z2 = j10 W Z3 = 10 + j 10 W E1 = E2= E3 = 220 V f = 50 Hz ______________________ Soluzione Conviene trasformare le impedenze connesse a triangolo nel loro equivalente a stella Zstella = Z3/3. Si risolve l’equivalente monofase costituito dal generatore E1 con in parallelo l’impedenza Z1 e la serie di Z2 e Zstella. Il generatore di tensione vede una impedenza equivalente pari al parallelo tra la serie di Z2 e Zstella e la Z1. Quindi: Zeq=((Z2+Zstella)Z1)/(Z1+Z2+Zstella)=4.44+j7 W . La corrente erogata dal generatore è pari a I = E1/Zeq=14.03-j22.3 A. La potenza attiva e reattiva erogata dai tre generatori è data da: P= 3Re( E 1×I1 )=9.264 kW e Q= 3Im( E 1×I1)=14.72 kVar. La reattanza dei condensatori da connettere a stella per rifasare il carico è data da Xc_stella =3E 2 /(Q-Ptan j) = 14.18 W . Poiché è richiesto che i condensatori siano collegati a triangolo è necessario ricordare che Xc_triangolo=3Xc_stella = 1/(2 pfC) e quindi: C=1/(2 pf Xctr)=74.86 mF ______________________ Esercizio 5.7 Data la rete trifase di figura, determinare il valore della batteria di Figura 5.9 Zstella E1 Z2 Z1 Figura 5.8 49 condensatori collegati a triangolo da inserire nell a sezione AA affinché il cosj del carico sia pari a 0,9. Z1 = 9 + j27 W R=20 W E1 = E2= E3 = 220 V f = 50 Hz Conviene trasformare il triangolo delle impedenze Z1 nel loro equivalente a stella e risolvere il circuito monofase equivalente. Z1st = Z1/3=3+j9 W . Il circuito monofase equivalente è costituito dal parallelo del generatore E1, dell’impedenza Z1st e di R. Per calcolare la potenza attiva e reattiva dell’equivalente monofase nella sez. A si può tenere in conto di due contributi: Pr=E1 2/R=2.42 kW, Qr=0 Var, e Pz1st=Re(Z1st)|Iz1| 2=1.613 kW, Qz1st= Im(Z1st)|Iz1| 2 = 4.84 kVar, dove |Iz1|=E1/|Z1st|=23.19 A. La potenza attiva e reattiva nella sez. A sono quindi pari a P=Pr+Pz1st=4.033 kW e Q=Qz1st. I condensatori collegati a stella che consentono di rifasare il carico sono dati da Cst=(Q-Ptan( j))/( wE2)=189.8 mF. Se i condensatori vengono collegati a triangolo come specificato nel testo, si ha: C=Cst/3=63.28 mF 50 51 Capitolo 6. Transitori ___________________________ Esercizio 6.1 Dato il circuito in figura 6.1, sono noti: R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω, V1 = 18 V, V2 = 24 V, I1 = 6 A, C = 3 µF. Determinare alla chiusura di S la tensione v(t) ed il valore assunto per t = 6µs _____________________ Soluzione Conviene semplificare la parte di sinistra del circuito trasformandola nel bipolo equivalente serie; si ottiene allora che: Veq = V2-R2 I1 = -12 V Req = R2 = 6Ω . All’istante t=0 - il condensatore si comporta come un circuito aperto e la tensione ai suoi capi (diretta verso l’alto) è pari a V1, vc 0-=18 V e la tensione richiesta v(0 -) = 0 V. All’istante t = 0 + si sostituisce il condensatore con un generatore di tensione pari a vc 0- e si calcola la tensione richiesta. Si può notare in tal caso che Veq-Req risulta in parallelo ad un generatore di tensione R1 R2 V2 I1 V1 C S v(t) Figura 6.1 R1 Req Veq V1 C S Figura 6.2 52 (vc 0-) e quindi agli effetti esterni equivale al solo ge neratore di tensione. A questo punto v(0 +) = V1-v(0 -)=0V A regime il condensatore si comporta come un circuito aperto, la tensione v( ¥) può essere calcolata osservando che Veq e V1 risultano in serie e con la regola del partitore di tensione si ottiene: v( ¥) = (V1-Veq) R1/(R1+Req) = 12V. Per il calcolo della costante di tempo è necessario calcolare la Geqc vista dei morsetti del condensatore a manovra avvenuta e con la rete resa passiva; risulta quindi che Geqc è pari al parallelo del resistore Req e del resistore R1, Geqc = Geq+G1 = 0.417 S, la costante di tempo τ = C/Geqc = 7.2 µs. Segue che v(t) = -12 e -t/τ +12 V. v(6µs) = 6.785 V ___________________________ Esercizio 6.2 Dato il circuito in figura 6.4, sono noti: R1 = 2 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 5 Ω V1 = 8 V, V2 = 10 V, L = 1 mH. Determinare i(t) e stabilire il suo valore per t = 2τ ______________________ Soluzione La rete è già abbastanza semplificata. Poiché il circuito è regime prima dell’evento, per t=0 - la tensione sull’induttanza è nulla. La corrente nell’induttanza prima dell’evento (corrisponde anche alla corrente richiesta) è sostenuta dai due generatori V1 e V2 (in serie) e limitata dalla serie dei due resistori R1 ed R2. Quindi vale i(0 -) = (V2-V1)/(R1+R2) = 0.4 A. Al fine di risolvere il circuito all’istante t=0 +, l’induttanza può essere sostituita da un R1 Req Veq V1 V(0 -) Figura 6.3 R2 R1 V1 V2 R3 S i(t) L Figura 6.4 53 generatore di corrente is(0 -) = 0.4 A (verso sinistra), che risulta, agli effetti esterni, in parallelo al resistore R3. Trasformando in equivalente serie il parallelo is-R3 si ottiene i(0 +) = (V2+Is ×R3)/(R2+R3) = 1.5 A. A regime il circuito si presenta come parallelo di tre bipoli di tipo serie. La tensione ai loro capi (verso l’alto) si trova trasformandoli in bipoli di tipo parallelo (formula di Millman): V = (V1 ×G1+V2 ×G2)/(G1+G2+G3) = 7.097 V. Quindi i(+∞) = (V2-V)/R2 = 0.9677 A. La costante di tempo τ si ottiene come L/Req, dove Re