Energy Engineering - Fondamenti di Meccanica Teorica e Applicata

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FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Allievi energetici AA.2017-2018 prova del 06-02-2018Esercizio 1 Il sistema rappresentato in gura, posto nel piano verticale, e composto da un glifo incernierato a terra nel puntoO, di baricentroG, lunghezzaL, massaM Ge momento d'inerzia baricentricoJ G. Nel glifo scorre, in assenza di attrito, un corsoio di baricentroA, massaM Ae momento d'inerzia J A, che si muove su una guida orizzontale. Al baricentroAe incernierata un'astaAB, priva di massa, collegata inBad una massaM B, che striscia su un piano verticale: il contatto massa-piano verticale e caratterizzato da un coeciente di attrito dinamicof d. All'estremita del glifo e applicata una forzaFparallela al piano orizzontale. Ipotizzando nota la velocita angolare_ del glifo e considerando nulla la sua ac- celerazione angolare si richiede di determinare: 1.1) il vettore velocita e il vettore accelerazione del puntoB; 1.2) il valore della forzaFtale da garantire il moto; 1.3) le reazioni vincolari nella cernieraO. Esercizio 2Il sistema in gura rappresenta un'automobile che procede in discesa lungo un piano inclinato, con vincoli di puro rotolamento tra ruote e pi- ano. SianoMla massa totale del ve- icolo (comprese le ruote) mentrem r eJla massa ed il momento di in- erzia di ciascuna delle quattro ruote di raggioR. Si consideri una resistenza al rotolamento fra le ruote del veicolo ed il piano inclinato pari af v. Il moto e garantito da un motore Mdi caratteristica assegnataC m= C m0 K !2 m. Il sistema di trasmissione a valle del motore e costituito da due trasmissioni in serieT 1e T 2. La prima di rapporto 1e rendimenti  d1,  r1, la seconda di rapporto  2e rendimenti  d2,  r2. Gli alberi in uscita dalla seconda trasmissione, collegati alle due ruote posteriori, hanno la medes- ima velocita angolare. Un rimorchio di massame collegato tramite un asta priva di massa incernierata inAed inBcon un'inclinazione ssarispetto al piano inclinato. La resistenza a rotolamento delle ruote del rimorchio sono trascurabili. Discutendo la condizione di moto ove necessario e sapendo che tan()> f vsi richiede di determinare: 2.1) la velocitavdi discesa a regime. Annullando la coppia motrice (C m= 0), determinare: 2.2) l'accelerazioneaallo spunto del veicolo; 2.3) il tempo di arresto dell'automobile nota la coppia frenanteC Fcostante da applicare alle ruote posteriori sapendo che la velocia iniziale e quella di regime; 2.4) la verica di aderenza sulle ruote motrici nelle condizioni al punto 2:2. M v R, mr , J m
 AB T1 Jm T2 M R, m r , J R, m r , J R, mr , J FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Allievi energetici AA.2017-2018 prova del 06-02-20181 Soluzione esercizio 1 1.1vettore velocita e il vettore accelerazione del puntoBFigure 1: Chiusura vettoriale Prima chiusura vettoriale: siaaei il segmentoOH,bei il segmentoH Aecei il segmentoOA, con ,, riferiti all'orizzontale verso destra. L'equazione di chiusura diventa: aei +bei =cei (1) che derivata: _ bei = _cei + _ cei ( +=2) (2) dove _ ~ k=_ ~ k. Derivando ulteriormente si ottiene bei = cei + 2 _ _ cei ( +=2) +  cei ( +=2) + _ 2 cei ( +) (3) dove  ~ k= ~ k= 0. Seconda chiusura vettoriale: siadei il segmentoK A,f ei' il segmentoABerei il segmentoK B, con,',riferiti all'orizzontale verso destra. L'equazione di chiusura diventa dei +f ei' =rei (4) che derivata _ dei + _'f ei ('+=2) = _rei (5) dove_ d=_ b. Derivando ulteriormente si ottiene  dei + 'f ei ('+=2) = rei (6) dove d= b. I vettori velocita ed accelerazione del puntoBsono rispettivamente~v B= _ rei e~a B=  rei .H K FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Allievi energetici AA.2017-2018 prova del 06-02-20181.2 valore della forzaFtale da garantire il moto L'energia cinetica dell'intero sistema eEc=12 M G~v G ~v G+12 J G~! G ~! G+12 M A~v A ~v A+12 M B~v B ~v B(7) Applicando quindi il teorema dell'energia cinetica il termine di potenza delle forze attive e WA=~ F~v F+ M G~g ~v G+ M B~g ~v B(8) mentre il termine di potenza delle forze reattive e dato dal solo contributo dell'attrito dinamico WR=~ T~v B(9) Si ottiene quindi la seguente equazione F vF x M Ggv Gy M Bgv B T v B= M G~v G ~a G+ M A~v A ~a A+ M B~v B ~a B(10) che si semplica in F vF x M Ggv Gy M Bgv B T v B= M Av Aa A+ M Bv Ba B(11) I vettori velocita ed accelerazione del puntoGsi ottengono come segue ~vG=~ _ ^(GO) = _ ~ k^(GOcos ~ i+GOsin ~ j) =v Gx~ i+v Gy~ j(12) ~aG= _ 2 (GO) =a Gx~ i+a Gy~ j(13) mentre la velocita del punto di applicazione della forzaFe ~vF=~ _ ^(FO) = _ ~ k^(F Ocos ~ i+F Osin ~ j) =v F x~ i+v F y~ j(14) Il modulo della reazione~ Te pari af Dj~ Nj. Per ricavare la reazione~ Nbisogna isolare la slitta mettendo in evidenza tutte le azioni che agiscono su di essa come mostrato in gura 2. La biellaABessendo scarica trasmette solo azione assiale pari aS.Figure 2: Azioni agenti su slitta e glifoMB g N T MB aB M S MG(aGy+g) MG aGx VO HO NA S FM A g MA aA FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Allievi energetici AA.2017-2018 prova del 06-02-2018L'equilibrio lungo la verticale della sola slitta restituisce TM B( g+a B) + Scos'= 0 (15) mentre l'equilibrio lungo l'orizzontaleN+Ssin'= 0 (16) Dall'equazione 11 si ricava la forza richiesta F=M Ggv Gy+ M Bgv B+ T v B+ M Av Aa A+ M Bv Ba Bv F x(17) 1.3reazioni vincolari nella cernieraO Facendo riferimento alla gura 2 e considerando il solo sotto-sistema glifo, e possibile determinare le reazioniH Oe V Otramite le 2 equazioni indipendenti di equilibrio alla traslazione. HO+ Scos('+)M Ga Gx M Aa A F= 0 (18) VO+ N A+ Ssin('+)M G( a Gy+ g)M Ag = 0 (19) La reazioneN Ae ottenibile imponendo l'equilibrio dei momenti rispetto al punto O(cerniera a terra). 2 Soluzione esercizio 2 2.1la velocitavdi discesa a regime I legami cinematici sono i seguenti: velocita angolare delle ruote!r=  1 2! m=  ! m(20) velocita algolare dell'albero motore!m=v R (21) Al ne di applicare il bilancio di potenze bisogna determinare il tipo di moto. Considerando il lato uti- lizzatore si ha Wu= m~g~v+M ~g~v(2N A+ 2 N P) f vv (22) Per determinare l'entita della delle reazioni normali al piano inclinato bisogna considerare due sotto- sitemi: la sola automobile ed il solo rimorchio. Considerando quest'ultimo si hanno gli equilibri 2(N Ar+ N Pr) mgcosSsin= 0 (23) e2(T Ar+ T Pr) mgsin+Scos= 0 (24) doveSe l'unica azione assiale trasmessa dall'astaAB. Considerando il solo sottosistema ruota del rimorchio e imponendo l'equilibrio alla rotazione rispetto al centro ruota, si ottieneT= 0. Quindi S=mg sincos (25) L'equilibrio lungo la direzione perpendicolare al piano inclinato della sola automobile e2(N A+ N P) M gcos+Ssin= 0 (26) L'espressione della potenza lato utilizzatore a regime diventa Wur= [ M g(sincosf v) + mgsin(1 + tan f v)] v(27) FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Allievi energetici AA.2017-2018 prova del 06-02-2018che e positiva per tan  > f v. Di conseguensa il moto e retrogrado ed e possibile scrivere il seguente bilancio di potenzeRW ur+ W mr= 0 (28) in cuiW mr=~ Cm ~! me  R=  R1 R2. Il bilancio diventaC m! m+  R[ M g(sincosf v) + mgsin(1 + tan f v)] ! m R = 0 (29) che unita all'equazione caratteristica del motore permette di calcolare la velocita a regime. Annullando la coppia motrice (C m= 0 ), determinare: 2.2l'accelerazioneaallo spunto del veicolo L'energia cinetica del lato utilizzatore eEcu=12 M ~v ~v+12 m~v ~v+ 412 J ~! r ~! r=12 ( m+M+JR 2) v2 =12 m  uv2 (30) mentre al lato motore si haEcm=12 J m~! m ~! m(31) Per valutare il tipo di moto si applica un bilancio di potenze lato motore Wm= dE cmdt = J m! m_ ! m< 0 (32) quindi il moto e retrogrado. Il bilancio e del tipoRW u+ W m= 0 (33) dove Wu= [ M g(sincosf v) + mgsin(1 + tan f v) mR_ ! mtan  f v] ! m R m u2 R2 !m_ ! m(34) sapendo che in questa condizioneS=mg sinmacos (35) E' quindi possibile ricavare l'accelerazione richiesta _ ! m= R[ M g(sincosf v) + mgsin(1 + tan f v)]  RJ m+ m u2 R2 +mR2 2 tan f v(36) 2.3il tempo di arresto dell'automobile nota la coppia frenanteC Fcostante da applicare alle ruote posteriori sapendo che la velocia iniziale e quella di regime Per stabilire nuovamente il tipo di moto si applica il bilancio di potenze lato motoreWmf= dE cmdt = J m! m_ ! m> 0 (37) quindi il moto e diretto ed e possibile scrivereDW mf+ W uf= 0 (38) dove D=  D1 D2e Wuf= [ M g(sincosf v) + mgsin(1 + tan f v) mR_ ! mtan  f v] ! m R 2C F ! m m u2 R2 !m_ ! m (39) FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Allievi energetici AA.2017-2018 prova del 06-02-2018L'accelerazione del veicolo e quindi _ ! m=[ M g(sincosf v) + mgsin(1 + tan f v)]  R2C F DJ m+ m u2 R2 +mR2 2 tan f v(40) mentre il tempo di arresto, essendo _! m< 0 e costante t=! mregime_ ! m(41) 2.4la verica di aderenza sulle ruote motrici nelle condizioni al punto2:2Figure 3: Azioni che agiscono sulla ruota motrice Per vericare l'aderenza sulle ruote motrici e necessario isolare una ruota e mettere in evidenza le azioni che agiscono su di essa nella condizione di utilizzo. Con riferimento alla gura 3 e possibile scrivere i seguenti equilibri alla ruota Npu +T pR +J_ ! r+ C J= 0 (42) Np+ Vm rg cos= 0 (43) Tp+ H+m rg sinm ra = 0 (44) doveC Je la coppia agente sull'albero utilizzatore determinabile con un bilancio di potenze CJ= J m_ ! r2  r2(45) Il sistema di equazioni necessita un ulteriore equazione per essere risolto (N p, T p, H,V). Imponendo l'equilibrio alla rotazione della sola automobile (senza rimorchio) rispetto al punto di contatto della ruota anteriore e possibile ricavare la reazioneN pagente sulla ruota posteriore. L'aderenza e vericata sej~ Tpj