Energy Engineering - Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria

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Paerte AEs. 1Es. 2Totale Metodi Analitici e Numerici 22 Giugno 2022Docente:Politecnico di Milano Ingegneria EnergeticaCognome:Nome:Matricola: Parte A. A.1Siauuna funzione armonica suB=f(x; y) :x2 +y2 0l'integrale generale e dato daX(x) =c 1ex +c 2e x . Al loraX0 (x) =c 1ex c 2e x , da cui (X0 (0) =(c 1 c 2) = 0 X0 (1) =(c 1e c 2e  ) = 0 e quindic 1= c 2= 0 . Se= 0l'integrale generale e dato daX(x) =c 1x +c 2. Al lora X0 (x) =c 1, da cui c 1= 0 e quindiX(x) =c. Se=2 0 t.c.ja(u; v)j Mkukkvkper ogniu; v2H) e coerciva (cioe9 >0t.c.a(u; u)kuk2 per ogniu2H) e siaFun funzionale lineare continuo suH(cioe9C >0t.c.jF(v)j  Ckvkper ogniv2H). Al lora9!u2Ht.c. a(u; v) =F(v)8v2H: Inoltre, vale la stima di stabilitakuk C . a3)Vericare l'applicabilita del Teorema di Lax-Milgram mettendo in evidenzale costanti di continuita e coercivita per la forma bilineare, la costante di continuita per il funzionale lineare, la stima di stabilita della soluzione ja(u; v)j=   u (0)v(0) +Z 2 0( u0 v0 + 2uv)    j u(0)v(0)j+ 2kuk H1 kvk H1 (C T2 + 2)kuk H1 kvk H1 a(u; u) =u(0)2 +Z 2 0 (u0 )2 + 2u2
Z 2 0 (u0 )2 +u2
=kuk2 H1 jF(v)j=    Z 2 014 pj 1xjv (x)dx2v(0)        Z 2 014 pj 1xjv (x)dx    + 2 jv(0)j  14 pj 1xj L2 |{z} k vk L2 + 2C Tk vk H1 2 |{z}k vk H1 + 2C Tk vk H1 ; ottendendo quindiM=C T2 + 2,= 1,C= 2 + 2C Te la conseguente stima di stabilita kvk H1 2 + 2C T. 7 b)Tale soluzione debole e anche soluzione classica? Motivare la risposta. La soluzione debole di cui abbiamo mostrato l'esistenza non puo essere anche soluzione clas- sica. Se lo fosse, sarebbe una funzione di classeC2 (0;2), in particolare continua con derivata continua su(0;2). Di conseguenza, la funzioneu00 + 2usarebbe a sua volta continua su (0;2), mentre in questo caso eu00 (x) + 2u(x) =14 pj 1xj, cioe uguale a una funzione non prolungabile con continuita su(0;2). 8