Energy Engineering - Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria

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Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 11/7/2022 ˆ Non si possono consultare libri, note, ed ogni altro materiale o persone durante l'esame ad eccezione delle funzioni Matlab fornite. ˆRisolvere i seguenti esercizi con l'ausilio di Matlab. ˆLa durata del compito e di 90 minuti. ˆQuesto esame ha 3 domande, per un totale di 30/30 punti. ˆSvolgere gli esercizi su fogli protocollo, indicando: nome, cognome, codice persona e data ˆPer ciascun esercizio consegnare su webeep un le nominato, ad esempio, \eser- cizio1.m" con il codice Matlab sviluppato. ˆPer utilizzare le funzioni Matlab sviluppate durante il corso, e necessario aggiun- gere la cartella con il comandoaddpath functions2022.Esercizio 1 (punti 10) Si consideri il seguente problema: determinarex2Rn tale che Ax=b doveA2Rn n e la matrice dei coecienti di Hilbert di ordinen. In Matlab tale matrice si puo costruire con il comandohilb. Il vettoreb2Rn e tale che la soluzione e data da il vettorex i= 1 per ogni i= 1; : : : ; n. (a)(3 punti) Si calcoli la soluzione del problema pern= [5;10;20] utilizzando la fat- torizzazione LU e i metodi di sostituzione in avanti e indietro. Per ciascun valore di n, si riporti il numero di condizionamento della matrice e l'errore commesso. [M] Soluzione.Ecco un possibile script c l cc l o s e a l l c l e a r a l l a d d p a t h f u n c t i o n s 2 0 2 1 e r r = [ ] ;c o n d A = [ ] ; f o rn = [ 5 , 1 0 , 2 0 ]A = h i l b ( n ) ; Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 11/7/2022 c o n d A = [ c o n d A , c o n d ( A ) ] ; b = A * o n e s ( n , 1 ) ; [ L , U , P ] = l u ( A ) ; y = f w s u b ( L , P * b ) ; x = b k s u b ( U , y ) ;e r r = [ e r r , n o r m ( x - o n e s ( n , 1 ) ) ] ; e n dc o n d A e r r Il condizionamento della matrice e gli errori commessi sono i seguentic o n d A = 4 . 7 6 6 1 e + 0 5 1 . 6 0 2 5 e + 1 3 2 . 1 0 6 5 e + 1 8 e r r =2 . 7 0 5 3 e - 1 1 5 . 2 7 9 4 e - 0 5 1 5 0 . 7 7 6 5(b)(3 punti) Si introduca il concetto di condizionamento di una matrice e se ne discuta l'importanza sulla stabilita della risoluzione di un sistema lineare con il metodo di eliminazione di Gauss. Si commentino i risultati ottenuti al punto precedente. [T] Soluzione.Vogliamo capire quanto dipende la soluzione calcolataxda pos- sibili perturbazioni dei dati. Vorremmo calcolare il cosiddetto sistema originale invece risolviamo un sistema perturbato, ovvero Ax=bin realta risolvo !(A+A)(x+x) =b+b; doveAe una matrice che perturba la matrice originaleA, analogamenteb perturba il termine noto originalebex+xe la soluzione del problema per- turbato data dalla soluzione del problema originale e da un contributoxche rappresenta la perturbazione. Nell'ipotesi in cui l'errore commesso e solo al termine noto, ovvero seA= 0, allora l'errore relativo che viene commesso nella risoluzione del problema con il metodo di eliminazione di Gauss e dato da kxkk xk cond(A)k bkk bk; dove cond(A) e il numero di condizionamento della matriceAche, per matriciPage 2 Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 11/7/2022 simmetriche e denite positive, e calcolabile come cond(A) = max( A) min( A): Diciamo cheAe ben condizionata se cond(A)1, mentreAe mal condizion- ata se cond(A)1. In quest'ultimo caso, possiamo concludere che a piccole perturbazioni del termine noto, ovvero perkbkpiccolo, si possono avere grandi errori sulla soluzione, ovverokxkgrande. Il condizionamento di una matrice e quindi un elemento fondamentale per poter valutare l'accuratezza della soluzione numerica ottenuta.(c)(4 punti) Si ripeta il primo punto utilizzando il metodo del gradiente coniugato. Si imposti come massimo numero di iterazioni 100 e come tolleranza 10 12 . Si riporti l'errore ottenuto e il numero di iterazioni eettuate. Si commentino i risultati ottenuti in base alla teoria, sapendo che la condizione di convergenza nella funzione gradconje basata sul residuo. [M+T] Soluzione.Ecco un possibile script %e r r = [ ] ;i t e r A = [ ] ; f o rn = [ 5 , 1 0 , 2 0 ] A = h i l b ( n ) ; b = A * o n e s ( n , 1 ) ; [ x , i t e r ] = g r a d c o n j ( A , b , z e r o s ( n , 1 ) , 1 e 2 , 1 e - 1 2 ) ;i t e r A = [ i t e r A , i t e r ] ; e r r = [ e r r , n o r m ( x - o n e s ( n , 1 ) ) ] ; e n di t e r A e r r Il numero di iterazioni eettuate e l'errore calcolato sono le seguentii t e r A = 7 1 3 1 8 e r r =2 . 6 9 8 3 e - 1 2 1 . 6 0 2 6 e - 0 4 1 . 0 7 4 3 e - 0 4Page 3 Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 11/7/2022 Sia A2Rn n una matrice simmetrica e denita positiva, allora il metodo del gradiente coniugato converge alla soluzione del sistemaAx=b, per ognix0 2 Rn in al piuniterazioni. Inoltre, vale la stima ek A2 ck1 + c2 k e0 Adove c=pcond( A)1p cond( A) + 1: Il numero di iterazioni, rispetto alla dimensione delle matrici, risulta piuttosto alto e vicino adnsintomo appunto che il condizionamento delle matrici e molto alto.Page 4 Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 11/7/2022 Esercizio 2 (punti 10) Si vuole interpolare la funzionefcos denita f(x) =e cos( x)e x + sin(x) sull'intervallo [1;1]. (a)(3 punti) Si calcolino le interpolanti Lagrangiane di gradon= 5;10;20 della fun- zionefsu nodi equispaziati nell'intervallo [1;1]. Si rappresenti il graco della funzione e delle interpolanti Lagrangiane e si valuti, per ciascun grado, l'errore di interpolazione in norma innito sull'intervallo considerato. [M] Soluzione.Ecco un possibile script c l o s e a l l c l e a r a l l c l c a = - 1 ; b = 1 ;x _ v a l = l i n s p a c e ( a , b , 1 0 0 0 ) ; f = @ ( x ) ( e x p ( c o s ( p i * x ) ) ) . / ( e x p ( - x ) + s i n ( p i * x ) ) ;f _ v a l = f ( x _ v a l ) ; e r r = [ ] ; N = [ 5 , 1 0 , 2 0 ] ;f o rn = Nx _ n o d = l i n s p a c e ( a , b , n + 1 ) ; p o l y = p o l y f i t ( x _ n o d , f ( x _ n o d ) , n ) ; p o l y _ v a l = p o l y v a l ( p o l y , x _ v a l ) ; e r r = [ e r r m a x ( a b s ( p o l y _ v a l - f _ v a l ) ) ] ; p l o t ( x _ v a l , p o l y _ v a l ) h o l d o n e n d e r r p l o t ( x _ v a l , f _ v a l )l e g e n d ( " 5 " , " 1 0 " , " 2 0 " , " f u n " ) g r i d o ns a v e a s ( g c f , " e s 2 _ l a g r . p n g " ) L'errore ottenuto all'aumentare del grado di interpolazione e il seguentePage 5 Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 11/7/2022 e r r = 1 . 4 8 6 4 1 . 0 4 0 2 5 . 9 5 5 9 La soluzione ottenuta e riportata nel seguente graco(b)(3 punti) Si ripeta il punto precedente considerando le interpolanti Lagrangiane di gradon= 5;10;20 su nodi di Chebyshev{Gauss{Lobatto. [M] Soluzione.Ecco un possibile script f i g u r e e r r = [ ] ; f o rn = Nk = [ 0 : n ] ; t = - c o s ( p i * k / n ) ;x _ n o d = ( a + b ) / 2 + ( ( b - a ) / 2 ) * t ; p o l y = p o l y f i t ( x _ n o d , f ( x _ n o d ) , n ) ;p o l y _ v a l = p o l y v a l ( p o l y , x _ v a l ) ; e r r = [ e r r m a x ( a b s ( p o l y _ v a l - f _ v a l ) ) ] ; p l o t ( x _ v a l , p o l y _ v a l ) h o l d o n e n d e r r p l o t ( x _ v a l , f _ v a l )l e g e n d ( " 5 " , " 1 0 " , " 2 0 " , " f u n " ) g r i d o ns a v e a s ( g c f , " e s 2 _ c g l . p n g " ) L'errore ottenuto all'aumentare del grado di interpolazione e il seguentee r r =Page 6 Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 11/7/2022 0 . 9 8 9 6 0 . 1 6 9 7 0 . 0 0 4 4 La soluzione ottenuta e riportata nel seguente graco(c)(4 punti) Si riportino le proprieta di convergenza dell'interpolante Lagrangiana e si commentino i risultati ottenuti rispetto alla teoria. [T] Soluzione.In generale non e detto che vale il seguente lim n!1max x2Ij E nf (x)j= lim n!1max x2Ij f(x) n( x)j !0 essendo nun polinomio di grado nche interpola la funzionef. Se consideriamo infatti per l'interpolazione Lagrangiana  nf  ne f 1 max i=0;:::;n  f (x i) e f(x i)  max x2I    n X i=0L i( x)     L'ultimo termine non dipendete dafma solo dai valori deiL inei nodi x i, e detta costante di Lebesgue che, per nodi equispaziati, e data da n= max x2I    n X i=0L i( x)    2 n +1en log(n+ ) ed tende a diventare un numero molto grande perncrescente. Tuttavia, il valore di ndipende dal posizionamento dei nodi e se scegliessi i nodi detti di Chebychev-Gauss-Lobatto la costante di Lebesgue non crescerebbe cos veloce- mente ottenendo quindi un'interpolazione stabile. I graci riportati nei punti precedenti mostrano esattamente questo fenomeno.Page 7 Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 11/7/2022 Esercizio 3 (punti 10) Si consideri il seguente problema dierenziale non lineare8 > < > :mx 00 (t) =F(x(t)) x0 (0) = 1 x(0) = 0t 2[0; T) dovex(t) e la posizione tempo dipendente eFe una forza non lineare che assume la seguente forma F(x) =x x3 ; assumiamo i seguenti valori per i dati del problemam= 1,= 5,==12 eT= 4. (a)(5 punti) Si riscriva il problema come un sistema dierenziale del prim'ordine. Siapplichi il metodo di Eulero in avanti per risolvere il problema per un numero di intervalli pari aN= [5;20;80]. [T+M] Soluzione.Per trasformare il problema del second'ordine in un sistema del prim'ordine possiamo porre y0= xey 1= x0 possiamo quindi riscrivere il problema nel seguente modo(y0 0= y 1 y0 1= 1m ( y 0  y3 0) Ecco un possibile scriptc l o s e a l l c l e a r a l l c l c a d d p a t h f u n c t i o n s 2 0 2 1 m = 1 ;a l p h a = 5 ; b e t a = 0 * p i / 1 2 ; T = 4 ; N = [ 5 , 1 0 , 2 0 , 4 0 , 8 0 ] ; u _ 0 = [ 1 ; 0 ] ; F = @ ( t , u ) [ u ( 2 ) ; - 1 / m * ( a l p h a * u ( 1 ) - b e t a * u ( 1 ) ^ 2 )] ;Page 8 Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 11/7/2022 f o rn = N [ t , u ] = e u l e r o _ a v a n t i ( F , 0 , T , u _ 0 , T / n ) ;p l o t ( t , u ( 1 , : ) ) h o l d o n e n d l e g e n d ( " 1 0 " , " 2 0 " , " 4 0 " , " 8 0 " ) s a v e a s ( g c f , " e s 3 _ e e . p n g " )(b)(3 punti) Si rappresenti gracamente la soluzione ottenuta al punto precedente e si discuta il fenomeno che si osserva alla luce della teoria. [T] Soluzione.La soluzione ottenuta e riportata nel seguente gracoL'assoluta stabilita di uno schema numerico per la risoluzione di un problema di Cauchy e un concetto di stabilita su intervalli illimitati. Il metodo di Eulero in avanti risulta assolutamente stabile solo se prendohsucientemente piccolo, il metodo viene detto condizionatamente assolutamente stabile e deve soddisfare la seguente condizione h