Energy Engineering - Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria

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Parte AEs. 1Es. 2Totale Metodi Analitici e Numerici 31 Agosto 2022Docente:Politecnico di Milano Ingegneria EnergeticaCognome:Nome:Matricola: Parte A. A.1Dato il seguente problema di Cauchy-Dirichlet, trovare la soluzione a regime, motivando brevemente la risposta:8 > < > :u t u xx= 0 x2(0;1); t2(0;+1); u(0; t) =1; u(1; t) = 1t2(0;+1); u(x;0) =x2 x+ 1x2(0;1): Soluzione:Il modello descrive la diusione del calore in una sbarra omogenea e isotropa che non ha interazioni con l'ambiente esterno (sorgente esterna di calore nulla:f(x) = 0), ai cui estremi sono applicati due termostati che tengono la temperatura costante nel tempo: nell'estremox= 0 temperatura costante pari a1 e nell'estremox= 1 temperatura costante pari a 1. La sbarra dunque risentira solo di due eetti: l'eetto diusivo della condizione iniziale che tendera a scomparire per tempi lunghi e l'azione dei termostati agli estremi che e costante nel tempo. Dunque l'eetto diusivo portera per tempi lunghi ad una soluzione lineare stazionaria pari au(x; t) = 2x1. A.2La funzione f(x) =13 px eL2 (0;1)? Motivare adeguatamentela risposta. Soluzione:Lo spazioL2 (0;1) e lo spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato Lebesgue{ integrabile. In particolare, a questo spazio appartengono tutte le funzioni che hanno il quadrato Riemann{integrabile in senso improprio, come la funzione data. Infatti, il quadrato difinx= 0 e un innito di ordine23 > 1, mentre fuori da un intorno destro dix= 0 e limitata. Ne segue chef2 e Riemann{integrabile in senso improprio sull'intervallo (0;1) e quindif2L2 (0;1). 1 A.3 Date f(x) =( e 2x x >0 0x 0 e2 x x 0 t.c.ja(u; v)j Mkukkvkper ogniu; v2H) e coerciva (cioe9 >0 t.c.a(u; u)kuk2 per ogniu2H) e siaFun funzionale lineare continuo suH(cioe9C >0 t.c.jF(v)j Ckvkper ogniv2H). Allora9!u2H t.c.a(u; v) =F(v)8v2H: Inoltre, vale la stima di stabilitakuk C . a3)Vericare l'applicabilita del Teorema di Lax-Milgram mettendo in evidenzale costanti di continuita e coercivita per la forma bilineare, la costante di continuita per il funzionale lineare, la stima di stabilita della soluzione Soluzione:   Z 1 03 u0 v0 + 2uv      Z 1 0u 0 v0   +   Z 1 02 u0 v0 + 2uv    3kuk kvk a(u; u)2kuk2 jF(v)j  12 + x L2 (0;1)+ 6 C T! kvk : : : 7