Energy Engineering - Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria

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Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 26/1/2023 ˆ Non si possono consultare libri, note, ed ogni altro materiale o persone durante l'esame ad eccezione delle funzioni Matlab fornite. ˆRisolvere i seguenti esercizi con l'ausilio di Matlab. ˆLa durata del compito e di 90 minuti. ˆQuesto esame ha 3 domande, per un totale di 30/30 punti. ˆSvolgere gli esercizi su fogli protocollo, indicando: nome, cognome, codice persona e data ˆPer ciascun esercizio consegnare su webeep un le nominato, ad esempio, \eser- cizio1.m" con il codice Matlab sviluppato. ˆPer utilizzare le funzioni Matlab sviluppate durante il corso, e necessario aggiun- gere la cartella con il comandoaddpath functions2022.Esercizio 1 (punti 10) Si consideri il seguente problema di Cauchy y0 (t) =2y(t) + 4t+ 4;0< t1; y(0) = 2: (a)(3 punti) Si calcoli un'approssimazione della soluzione all'istantet= 1 utilizzando il metodo di Eulero all'indietro (euleroindietro.m ) con passo di discretizzazione h= 0:04 e si riporti il valore della soluzione all'istantet= 1 informat long. Sapendo che la soluzione esatta ey(t) =e 2t + 2t+ 1, si calcoli l'errore all'istante t= 1 e lo si riporti informat long. [M] (b)(3 punti) Si ripeta il punto precedente con diversi valori del passo di discretizzazioneh= 0:02 eh= 0:01 e si rappresentino gli errori per i tre valori dihin un graco in scala logaritmica. [M] (c)(4 punti) Dopo aver richiamato la denizione di convergenza, si richiami la stimadi convergenza per il metodo considerato e la si confronti con i risultati numerici ottenuti. [T+M] Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 26/1/2023 Esercizio 2 (punti 10) Si tracci il graco della funzionef(x) =ex +1 cos(x) + 2 nell'intervalloI= [0;2]. (a)(3 punti) Dopo aver vericato che il metodo di bisezione puo essere utilizzato perapprossimare lo zero della funzione nell'intervallo considerato, si calcoli una ap- prossimazione dello zero mediante la funzionebisez.m, con una tolleranza di 10 8 a partire dall'intervalloI= [0;2]. Si riporti l'approssimazione calcolata e il numero di iterazioni eettuate. [T+M] (b)(3 punti) Si presenti il metodo di Newton per approssimare lo zero di una funzione,se ne fornisca un'interpretazione graca e si riportino le condizioni sucienti a garantirne la convergenza quadratica. [T] (c)(4 punti) Si utilizzi il metodo di Newton (newton.m) per approssimazione lo zero di f, con una tolleranza di 10 8 e un valore inizialex 0= 1. Si riporti l'approssimazione calcolata e il numero di iterazioni eettuate. Si confrontino e giustichino i risultati rispetto a quelli ottenuti con il metodo di bisezione. [M]Page 2 Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria - A.A. 2021/2022 - 26/1/2023 Esercizio 3 (punti 10) (a)(3 punti) SiaA2Rn n una generica matrice. Dopo avere introdotto la denizione di fattorizzazioneLUdella matriceA, si derivi la soluzione del sistema lineare Ax=b, conx,b2Rn , sfruttando esplicitamente tale fattorizzazione. [T] (b)(3 punti) Data la matrice A=2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 41 0 :2 0:1 1 0:2 0:1 1 0:2 .... ... .. 0:1 1 0:2 0:1 1 0:2 0:1 13 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 52 R50 50 ;(1) utilizzando la fattorizzazione LU e i comandifwsub.mebksub.m, si risolva il sistema lineareAx=b, conbtale che la soluzione esatta risultix ex= [1 ;2; :::;50]T 2R50 . Calcolare e riportare la norma 2 dell'errore associato e commentare il risultato cos ottenuto. [M] (c)(4 punti) Fornire le condizioni i) solo sucienti e ii) necessarie e sucienti pergarantire l'esistenza e l'unicita della fattorizzazioneLUdi una generica matrice A2Rn n , senza dovere ricorrere alla tecnica del pivoting e vericare che la fattor- izzazione della matriceAesiste ed e unica. [T+M]Page 3