Energy Engineering - Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria

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Metodi Analitici (Ing. energetica), pro. Cerutti, Verzini Appello del 27 agosto 2020 Parte A. A.1 Stabilire se l'eventuale soluzione u del seguente problema di Cauchy-Neumann per l'equazione del calore e unica, motivando a parole la risposta:8 > < > :u t u xx= 0 x2(0;1); t >0 u(x;0) =g(x)x2(0;1); u x(0 ; t) =u x(1 ; t) = 0t >0: A.2 Determinare il minimo sulla chiusura di B della soluzione u del seguente problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace, motivando a parole la risposta: (
u(x; y) = 0 (x; y)2B u(x; y) =y2 1 (x; y)2@ B;dove B=f(x; y) :x2 +y2 0; y(0) = 0; y0 (0) = 1: Si trasformi tale problema mediate la trasformata di Laplace e si riporti l'espressione perY(s) =L[y(t)](s). Parte B. B.1 E dato il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace8 > > < > > :
u(x; y) = 0;(x; y)2(0;1)(0;1); u(0; y) = 0; u(1; y) = 0; y2(0;1); u(x;0) = 0; u(x;1) =18 ( xx2 ); x2(0;1): a)Utilizzando il metodo di separazione delle variabili determinarne una soluzione. B.2 Dopo aver scritto una formulazione debole del problema (u00 (x) =e x2 x2(0;1); u(0) = 0; u0 (1) +u(1) = 1; enunciare il teorema di Lax-Milgram e stabilire l'applicabilita del Teorema di Lax-Milgram e dare una stima della norma della soluzione. 1 丨鼉 ! 0 !({0 터書 〉 言 (1 ( 1|1()114 리그가