Energy Engineering - Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria

Full exam

Parte AEs. 1Es. 2Totale Metodi Analitici e Numerici 26 gennaio 2023Docente:Politecnico di Milano Ingegneria EnergeticaCognome:Nome:Matricola: Parte A. A.1Siau(x, y) =x2 −y2 +xe siaB 3(0 ,1) il disco di raggio 3 centrato nel punto (0,1), cio`e B3(0 ,1) :={(x, y)∈R2 :px 2 + (y−1)2 0 t.c.a(u, u)≥α∥u∥2 per ogniu∈H) e siaFun funzionale lineare continuo suH(cio`e∃C >0 t.c.|F(v)| ≤C∥v∥per ogniv∈H). Allora∃!u∈H t.c.a(u, v) =F(v)∀v∈H. Inoltre, vale la stima di stabilit`a∥u∥ ≤Cα . a3)Verificare l’applicabilit`a del Teorema di Lax-Milgram mettendo in evidenzale costanti di continuit`a e coercivit`a per la forma bilineare, la costante di continuit`a per il funzionale lineare, la stima di stabilit`a della soluzione Soluzione:   Z π 0( u′ v′ + 3uv)dx+u(π)v(π)   ≤   Z π 0( u′ v′ + 3uv)dx   + |u(π)v(π)| ≤(3 +C2 T) ∥u∥ ∥v∥ a(u, u)≥ ∥u∥2 |F(v)| ≤ 1x sin 3 (x) L2 (0,π)+ 8 C T! ∥v∥ Noto che la funzione1x sin3 (x) `eL2 (0, π) in base alla maggiorazione|sin6 (x)| ≤ |x|6 , quindi (senza calcolare l’integrale!) abbiamo la stima 1x sin 3 (x) L2 (0,π)≤ π2 , da cui seguono le costanti richieste. . . 7