Energy Engineering - Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria

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Parte AEs. 1Es. 2Totale Metodi Analitici e Numerici 17 febbraio 2023Docente:Politecnico di Milano Ingegneria EnergeticaCognome:Nome:Matricola: Parte A. A.1Si consideri il seguente problema di Neumann per l’equazione di Laplace:     − ∆u(x, y) = 0 (x, y)∈(0, π)2 , −u y( x,0) =α, u y( x,1) = 1x∈(0, π), −u x(0 , y) =−1, u x(1 , y) = 2y∈(0, π). Per quale valore diα∈Rtale problema ammette soluzione? Motivare brevemente la risposta. Soluzione:La condizione di compatibilit`a per il problema di Neumann stabilisce che il flusso totale uscente dal dominio deve eguagliare il contributo delle sorgenti esogene. In questo caso non ci sono sorgenti e quindi il flusso totale uscente deve essere nullo, cio`e: α+ 1−1 + 2 = 0 che implicaα=−2 A.2La seguente forma a(u, v) =Z 1 0( u′ v′ + 3uv)dx+v(0)−2u(0) `e bilineare? Motivare adeguatamente la risposta.Soluzione:No, talea(·,·) non `e bilineare. Infatti, si verifica abbastanza facilmente che a(u 1+ u 2, v ) =Z 1 0 (u 1+ u 2)′ v′ +3(u 1+ u 2) v
dx+v(0)−2(u 1+ u 2)(0) ̸ =a(u 1, v )+a(u 2, v ) essendo il terminev(0) lineare solo rispetto alla variabilev. Analogo discorso si pu`o fare sulla variabilevin relazione al termine−2u(0). 1 A.3 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) =( 1−x2 per|x|0. a)Determinare una soluzione tramite il metodo di separazione delle variabili.Sono richieste in particolare: a1)l’impostazione e i passaggi principali del metodo di separazione delle variabili a2)l’espressione della candidata soluzione con i coefficienti di Fourier ancora incogniti; Soluzione: u(x, t) = 1−x++ ∞ X k=1b ke− k2 π2 t sin(kπx) 3 a 3)le formule per il calcolo dei coefficienti di Fourier, i coefficienti stessi e l’espressione della soluzione. Soluzione:Deve essere +∞ X k=1b ksin( kπx) = 2x−1 e quindi considerando il prolungamento dispari di 2x−1 abbiamo bk= 2Z 1 0(2 x−1) sin(kπx)dx=( 0 sek`e dispari −4kπ se k`e pari ottenendo quindi u(x, t) = 1−x++ ∞ X k=1,kdispari− 4kπ e − k2 π2 t sin(kπx)k =2n = 1−x−2π + ∞ X n=11n e − 4n2 π2 t sin(2nπx) 4 b)Trovare la soluzione a regime e fornire un’interpretazione fisica della soluzione trovata. Soluzione:La sbarra del modello non scambia calore con l’esterno, ma `e soggetta all’azione di due termostati situati agli estremi. Per tempi infiniti l’effetto della condi- zione iniziale tender`a a scomparire, mentre sopravviver`a solamente l’effetto diffusivo dei termostati agli estremi, portando la sbarra in situazione di equilibrio con la tem- peratura che segue l’andamento lineare 1−xdall’estremo sinistrou(0) = 1 all’estremo destrou(1) = 0. 5 B.2 Dato il problema ( − ex u′ (x)
′ + 3ex u(x) = 0, x∈(0,1), u′ (0) = 1u(1) = 0 a)dimostrare esistenza e unicit`a di soluzione debole tramite il teorema di Lax–Milgram.In particolare: a1)Ricavare la formulazione debole riportando il procedimento per ottenerla, giustificando tutti i passaggi e le scelte e mettendo in evidenzala forma bilineare, il funzionale lineare e lo spazio funzionale. Soluzione: a(u, v) =Z 1 0e x u′ (x)v′ (x)dx+Z 1 03 ex u(x)v(x)dx F(v) =−v(0) spazio funzionaleH1 0,b(0 ,1) 6 a 2)Enunciare con precisione del Teorema di Lax-Milgram specificando bene tutte le ipotesi. Soluzione:SiaHspazio di Hilbert (generico). Siaa(u, v) una forma bilineare continua (cio`e∃M >0 t.c.|a(u, v)| ≤M∥u∥∥v∥per ogniu, v∈H) e coerciva (cio`e∃α >0 t.c.a(u, u)≥α∥u∥2 per ogniu∈H) e siaFun funzionale lineare continuo suH(cio`e∃C >0 t.c.|F(v)| ≤C∥v∥per ogniv∈H). Allora∃!u∈H t.c.a(u, v) =F(v)∀v∈H. Inoltre, vale la stima di stabilit`a∥u∥ ≤Cα . a3)Verificare l’applicabilit`a del Teorema di Lax-Milgram mettendo in evidenzale costanti di continuit`a e coercivit`a per la forma bilineare, la costante di continuit`a per il funzionale lineare, la stima di stabilit`a della soluzione Soluzione:   Z 1 0( ex u′ (x)v′ (x) + 3ex u(x)v(x))dx   ≤   Z 1 0( eu′ v′ + 3euv)dx    ≤   Z 1 0( eu′ v′ +euv)dx   +   Z 1 02 euv dx   ≤ 3e∥u∥ ∥v∥ a(u, u)≥ ∥u∥2 |F(v)| ≤C T∥ v∥ da cui seguono le costanti richieste. . . 7