Energy Engineering - Heat and Mass Transfer

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FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSA Isabella Dente POLITECNICO DI MILANO  2021-2022 NUMERI DA CONOSCERE E RELAZIONI GENERALI TEMPERATURA DEL SOLE Assimilabile a corpo neroTS= 5800 K Nota: la sezione di irraggiamento è appunto la sezione di una sfera, e non la superficie esterna COSTANTE DI STEFAN-BOLTZMANN σ=5.67 ∗10 −8 LEGGE DI WIEN λmax T=2898 μm K ANGOLO SOLIDO Con 2=superficie su cui arriva la radiazione ω 21=A 2n r2=A 2cosθ 2 r2 dω = senθdθd φ INTERPOLAZIONE LINEARE (TABELLE) y−y 1 y 2−y 1=x−x 1 x 2−x 1 CAMPO DEL VISIBILE 0.4÷0.76μm SCAMBIO RADIATIVO POTERE EMISSIVO MONOCROMATICO E λ= ∫ 02π[sr] I λcosθdω= ∫ 02π dφ ∫ 0π 2 I λcosθsenθdφ Per superficie diffusa: E λ=I λ∫ 02π dφ ∫ 0π 2 cosθsenθdφ=πI λ [W m2 μmsr ] POTERE EMISSIVO PER SUPERFICIE DIFFUSA E=πIe[ W m2sr ] FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 RADIOSITA’ PER SUPERFICIE DIFFUSAJ= πI e+r IRRADIANZA G λ= ∫ 02π[sr] I λi cosθdω POTENZA INTERCETTATA DALLA SUPERFICIE 2 EMESSA DALLA SUPERFICIE 1 ˙Q1→2[W ]= Ie+rA1cos θ1ω21= J1 π A1cos θ1( A2cos θ2 r2 ) θ1= angolo tra radiazione enormale della superficie emettente θ2= angolo tra radiazione enormale della superficie ricevente Ovviamente se avessi avuto delle grandezze monocromatiche [ W m2μm sr ]avrei dovuto moltiplicare anche per λ coerentemente con il fatto che la potenza deve risultare in [W] ENERGIA INTERCETTATA E ANGOLO VARIABILE Nel caso la superficie ruoti, abbiamo che l’angolo θ2 varia nel tempo, e di conseguenza varierà anche l’energia intercettata in quanto dipendente dal coseno dell’angolo tra la normale alla superficie 2 e la radiazione incidente. Ne risulta che: ΔE=∫0 t Q12dt [J] Ed essendo ˙ θ 2 [rad s ] la velocità di rotazione della superficie avremo che: ˙ θ 2 [rad s ]=dθ 2 dt→dt=dθ 2 ˙ θ 2 Che inserito nell’equazione della potenza: ΔE= ∫ 0t Q 12dt=4 ∫ 0π/2 I eA 1cosθ 1 (A 2cosθ 2 r2 )dθ 2 ˙ θ 2 IRRADIANZA Se devo determinare l’irradianza senza conoscere la distanza tra i corpi: FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 G= ∫ 02π[sr] I icosθdω[W m2 ] Se conosco la distanza tra i corpi e la superficie del corpo irradiante: Gj= Q Aj = IeAicos θi( cos θj L2 )[ W m2] SUPERFICI SELETTIVE EMISSIONE DI BANDA F 0−λ 1=∫ 0λ 1 E λbdλ E b F λ 2−λ 1¿F 0−λ 2−F 0−λ 1 EMISSIVITA’ E’ calcolata rispetto a quella del corpo nero. Si calcola alla T del corpo ε(Tc)= ∫0 ∞ ελ(λ)Eλb(λ,T)dλ Eb Avendo l’emissività spettrale riportata nel grafico posso spezzare l’integrale Ad esempio: ε= ε1∫0 λ1 Eλbdλ +ε2∫λ1 λ2 Eλbdλ +ε3∫λ2 ∞ Eλbdλ Eb = ε1F0−λ1+ε2Fλ1−λ2+ε3Fλ2−∞= ε1F0−λ1+ε2(F¿¿0− λ2− F0−λ1)+ε3(1− F¿¿0− λ2)¿¿ LUNGHEZZA D’ONDA PER LA QUALE LA POTENZA SPETTRALE È MASSIMA Bisogna ricordarsi che per un corpo reale non è detto che λmax calcolata dalla legge di Wien sia effettivamente la lunghezza d’onda alla quale ho la potenza spettrale massima, in quanto ho uno scostamento dallo spettro del corpo nero. Pertanto, posso calcolare alle varie lunghezze d’onda quale sia la potenza spettrale Eλ(λ,T)=ελ(λ)Eλb(λ,T)= ελ(λ)Iλb(λ,T)π Dove I λb(λ,T) è calcolato dalla tabella conoscendo λ∗T TRASMITTANZA Si calcola alla T della sorgente τ(Ts)= ∫0 ∞ τλGλdλ ∫0 ∞ Gλdλ FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 Se la sorgente è un corpo nero, vale Gλ(λ)= Eλb(Ts) con s=sorgente. Da cui: τ=∫ 0∞ τ λE λb(T s)dλ E b(T s) Avendo il coefficiente di trasmissione spettrale (su grafico) posso spezzare l’integrale e procedere come per l’emissività ASSORBANZA Si calcola alla T della sorgente α(Ts)= ∫0 ∞ αλGλdλ ∫0 ∞ Gλdλ = ∫0 ∞ αλEλb(Ts)dλ Eb(Ts) Ho tante assorbanze quante sono le sorgenti ASSORBANZA/EMISSIVITA’ MONOCROMATICA Se la radiazione è diffusa o se l’emettitore è diffuso αλ= ελ SUPERFICIE GRIGIA O CAVITA’ ISOTERMA α= ε TRASMITTANZA/EMISSIVITA’/ASSORBANZA MONOCROMATICA α λ+ρ λ+τ λ=1 SUPERFICIE OPACA α λ+ρ λ=1 FLUSSO RADIANTE MONOCROMATICO In questo caso avrò un flusso q λ'' che mi modifica l’espressione dell’irradianza G λ=q λ'' cosθ i [W m2 μm ] G=cosθ i∫ 0∞ q λ'' dλ [W m2 ] RADIOSITA’ J=ρG+E I e+r=J π Esercizio 11 esercitazione 2 FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 Se ho per esempio 2 sorgenti e mi si chiede l’irradianza di una delle 2, sarà opportuno effettuare un bilancio sull’oggetto in questione. L’assorbanza dell’oggetto rispetto alla sorgente incognita può essere nota conoscendo l’assorbanza monocromatica dell’oggetto e la lunghezza d’onda della sorgente, osservando lo spettro. FATTORI DI VISTA LASTRA PIANAFii= 0 SUPERFICIE CONVESSA Fii= 0 RELAZIONI UTILI Somma: ∑ Fij=1→ F11+F12+..+F1n=1 Reciprocità: AiFij= AjFji Simmetria: Ad esempio in un cilindro F23= F21 Inoltre, nel caso di cilindri e altre geometrie abbiamo delle tabelle che ci aiutano a determinare i fattori di vista. Superfici fittizie: FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 Abbiamo bisogno di lavorare con delle cavità e quindi se non le abbiamo creiamo una superficie fittizia METODO DELLE STRINGHE PROBLEMI A 2 SUPERFICI Si utilizza il metodo delle resistenzeQ12= Eb1− Eb2 Rtot = σ(T14−T24) Rtot RESISTENZA E-J REJ= 1−εi Aiεi [m−2] RESISTENZA i-j R ij=1 F ijA i=R ji Coi fattori di vista calcolati come visto in precedenza POTENZA ASSORBITA In questo caso, avendo un certo Q emesso da una sorgente, e intercettato da una superficie B, avrò: Q α,SUN=Q Eα SUN Con α(TSUN ) calcolata conoscendo lo spettro per la superficie B Se poi avessi calore scambiato anche in altri modi (vedi esercizio 4 esercitazione 3) allora dovrei considerare i vari contributi singolarmente e poi effettuare un bilancio per calcolare il calore assorbito dalla superficie. FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 IPOTESI DI CORPO NERO Devo alla fine verificare la mia ipotesi e lo faccio una volta che conosco la temperatura della superficie, e conoscendo lo spettro, utilizzando l’ipotesi di superficie diffusa che nei nostri casi è sempre valida. λTS→ F0λ αλ= ελ (vedi esercizio 3,5 esercitazione 3) PROBLEMI A 3 SUPERFICI Si utilizza il metodo delle resistenze a triangolo. In questo caso converrà scrivere i bilanci sui singoli nodi e avrò come incognite le J i Scelgo arbitrariamente i versi dei flussi e rimango coerente. Se il segno alla fine mi viene negativo vuol dire che la potenza è diretta in senso opposto a quanto avevo ipotizzato (come a elettrotecnica) Q 1=Q 12+Q 13 Q2+Q12=Q23 E b1−J 1 R 1=J 1−J 2 R 12+J 1−J 3 R 13 Eb2− J2 R2 +J1− J2 R12 = J2− J3 R23 Ho 2 equazioni in 2 incognite, risolvo, e poi calcolo Q 1 e Q2 Bilancio sul nodo 3: Q 23+Q 13=Q 3 J2−J3 R23 +J1− J3 R13 =Q3 Verifico infine che sia valido il bilancio totale: Q 1+Q 2=Q 3 (sempre coi segni coerenti a quanto ipotizzato). FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 Attenzione: se non riesco a risolvere guardando solo cosa succede all’interno della cavità, provo a rivolgermi all’esterno (vedi esercizio 5 esercitazione 4) UNA DELLE SUPERFICI È ADIABATICA In questo caso è possibile ridurre il sistema di resistenze utilizzando serie e paralleloR132 = R13+R32 R 12' = (1 R 132+1 R 12 )−1 Q12= Eb1− Eb2 R1+R12'+R2 EQUAZIONE DI FOURIER ρc PDT Dt=k∇2 T+σ RICHIAMI MATEMATICI EQUAZIONE DEL SECONDO ORDINE OMOGENEA d2 θ dx2−v αdθ dx−m2 θ=0 ay''−by − c=0 aλ 2−bλ −c=0 λ 1,2=b± √b2 +4ac 2a y=C 1eλ 1x +C 2eλ 2x SOSTITUZIONE STANDARD θ=T−T ∞ FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 NUMERI ADIMENSIONALI E PARAMETRIα= k ρcP[ m2 s ] ν= μ ρ[ m2 s ] Pr = ν α Sc = ν D ℜ=ρv ∞x μ=v ∞x ν Gr=gβΔTx3 ν2 Ra=GrPr Nu=hx k Sh = hmx D Bi = hLc k = hV Ak Bi¿= hL k Fo=αt L2 Gr=gβΔTx3 ν2 Ra=GrPr FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 MODELLI MODELLO DI VARIAZIONE LUNGO LE ALETTE MODELLO DI VARIAZIONE DI TEMPERATURA LUNGO X L’effetto di trascinamento non sempre è trascurabile ed è espresso dalla portata entalpica La velocità di trascinamento critica tale per cui non è più possibile trascurare il termine di portata entalpica è ricercabile confrontando i due modelli con o senza, e imponendone l’uguaglianza, che di fatto si traduce in un’uguaglianza delle due espressioni di λ (vedi esercizio 2 esercitazione 7) La condizione di trascinamento trascurabile risulterà quindi la seguente:v≪ mα L’equazione tipica che viene fuori è del tipo: θ=C 1exp (λ 1x )+C 2exp⁡(λ 2x) ATTENZIONE: se λ1→ ∞ allora eλ1L→ ∞ e pertanto deve essere C1=0 FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 RESISTENZE CONDUTTIVE 1D Q=ΔT R tot LASTRA PIANA R k=s kA CILINDRICA R cil=ln(R e R i ) 2πkL SFERICA R sfera=1 4πk (1 R i−1 R e ) PROFILI DI TEMPERATURA Q=ΔT R A pari Q, per R↑ ΔT↑ Dove ho isolamento/parete adiabatica, la derivata è piatta (T costante) dT dx=0 Svolgo il profilo solamente nello strato con la generazione di potenza, e al di fuori applico il metodo delle resistenze elettriche Condizioni al contorno, quali mettere? Conviene mettere delle condizioni che poi mi permettano di utilizzare, ad esempio, la continuità dei flussi per ricavare l’incognita. 1)Determino il profilo di T 2)Determino il flusso 3)Applico la continuità dei flussi esprimendola in funzione di una sola variabile 4)Risolvo ESEMPIO LASTRA PIANA Strato B con generazione di potenza, strato A adiabatico e strato C senza generazione di potenza. Svolgerò il profilo nello strato B T(x)= −σ k x2 2+c1x+c2 Noti:  T e FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2  σ Conducibilità A e B Spessori A e B Incognite: T1  T2 Q Condizioni al contorno: 1)Temperatura all’interfaccia B/C x= sB→ T=T2 2)Derivata piatta data dall’adiabaticità dello strato A (q=0): x=0→dT dx=0 In questo modo ho ricavato il profilo e sarà funzione di T 2 Posso quindi applicare la continuità dei flussi all’interfaccia B/C: qB(sB)= T2−Te R In questo modo posso ricavare T2, Q, nonché T1 dal profilo di temperatura. Conviene quindi prima occuparsi dei flussi e da questi capire quale temperatura conviene mettere come condizione al contorno. ATTENZIONE: per disegnare i profili, controllare sempre come varia la derivata con x o r. Se la derivata aumenta, ho concavità verso il basso, mentre, se diminuisce, ho concavità verso l’alto. PIANO Dove ho isolamento/parete adiabatica, la derivata è piatta dT dx=0 Se ho generazione di potenza, avrò un profilo parabolico. Senza generazione ho un profilo piatto FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 CILINDRICO ∇2 T=1 rd dr(rdT dr ) Profilo concavo verso l’alto Possibile condizione al contorno: simmetria r=0→dT dr=0 Con generazione di potenza diventa concavo verso il basso! SFERICO ∇2 T=1 r2d dr (r2dT dr ) Possibile condizione al contorno: simmetria r=0→dT dr=0 Con generazione di potenza diventa concavo verso il basso! (Derivata aumenta) FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 RAGGIO CRITICO dR tot dr=0 d2 R tot dr2>0→minimo ALETTE NUMERO DI BIOT Posso ricondurmi a un caso 1D purchè sia valida la seguente condizione: h ks 2≪1 h km≪1 Questo numero è detto numero di Biòth km =√ h k s 2 Con s spessore dell’aletta ALETTE A SUPERFICIE INFINITA Condizione di aletta a superficie infinita: mL>2.65 m= √ hP kAc L lunghezza dell’aletta E quindi risulterà un profilo del tipo: θ=θ 0∙e−mx Th (mL )→1 Flusso: Q= km Acθ0 Efficienza della singola aletta: η f=1 mL ALETTA ADIABATICA θ=θ0 Ch [m(L− x)] Ch (mL ) FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 Q= √hPk Acθ0Th (mL )=mk ACθ0Th (mL ) ηf= Qfin Qmax = Th (mL ) mLALETTA GENERICA Si utilizza la forma analitica (tabelle) oppure i grafici POTENZA COMPLESSIVA DISSIPATA DA UN’ALETTA Calcolo la potenza alla radice e la potenza a fine aletta e ne faccio la differenza in modo da calcolare la potenza dissipata Q=Q (0 )−Q(L) EFFICIENZA GLOBALE DI ALETTA η 0=1−NA f A tot (1−η f )=Q tot Q tot,max⁡(η f=1) È data dal rapporto tra potenza scambiata e quella scambiabile se ηf=1 Dove l’area di scambio data dall’applicazione delle alette è data sia dalla superficie interessata dalle alette che da quella base: A scambio=N(η fA ¿¿f+A b)¿ A max=A tot=N(A f+A b) Da cui posso calcolare Q Qtot= hAtotθ0∙η0= θ0 RAL E individuare una resistenza di aletta che può servire in alcuni casi R AL=1 η 0hA tot EFFICACIA ε=Q fin Q 0 Dove rapporto la potenza scambiata in seguito all’applicazione delle alette rispetto a quella scambiabile senza. FATTORI DI FORMA Immaginiamo di avere ad esempio un tubo interrato. In questo caso è necessario utilizzare le tabelle fornite Q= Sk ΔT R k2D=1 Sk Dove k è la conduttività del mezzo frapposto tra le 2 superfici FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 PARAMETRI CONCENTRATI Per poter applicare i parametri concentrati devo verificare il numero di BiotBi = hLc k 0.1 non posso usare parametri concentrati. Userò una soluzione approssimata Fo=αt L2=t¿ >0.2 Fo = αt r2=t¿>0.2 x¿= x L r¿= r R Bi¿ =h ∞L k Bi¿ =h ∞r k L semi-spessore della lastra o spessore (da superficie esterna a flusso nullo). Per sfere e cilindri coincide con r Viene assegnata l’equazione di θ¿ (lastra piana, sfera, cilindro) Bisogna calcolare θ¿ come media integrale θ¿=∫0 1 θ¿dV¿ T= 1 V ∫0 V TdV = 1 L∫0 L Tdx I parametri ζ,C si trovano da tabelle in funzione del numero di Bi¿ θ 0¿ =T (0,t )−T ∞ T i(x,0)−T ∞ Nel caso di cilindri e sfere: FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 θ¿= T(r,t)−T∞ Ti−T∞Nel caso di lastre: θ¿= T(L,t)−T∞ Ti−T∞ I parametri J 0(ζr¿ ) si trovano in tabelle (funzioni di Bessel) ATTENZIONE: calcolatrice impostata in RADIANTI EQUAZIONI FONDAMENTALI SCAMBIO MATERIALE FLUSSO MOLARE n i'' =c iv i¿ =c i (v i¿ −v¿ ) +c iv¿ =J i¿ +c iv¿ =J i¿ +x i(n i'' +n j'' ) Nei seguenti casi il termine convettivo può essere trascurato: Sistema diluito Sistemi con diffusione equimolare contraria nA''=−nB'' Sistemi con moti convettivi trascurabili LEGGE DI FICK JA¿=− DAB ∇CA DIFFUSIVITA’ A DIVERSE TEMPERATURE D 0 D 1=P 0−1 T 03/2 P 1−1 T 13/2 EQUAZIONE DI FICK (EQUAZIONE DI BILANCIO INDEFINITA) Dc i Dt=D∇2 c i+γ i''' [kmol m3 s ] RESISTENZE MATERIALI ni= ΔCi Rm [ kmol s ] Questo vale se non sono presenti reazioni chimiche: n i''' =0 LASTRA PIANA Rl= s D A [ s m3] FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 CILINDRO R cil=ln(R 2/R 1 ) 2πDL [s m3 ] SFERA R sfera=1 4πD (1 R 1−1 R 2 )[s m3 ] SISTEMA BINARIO MEZZO STAZIONARIO DIFFUSIONE LIQUIDO IN GAS Abbiamo un’interfaccia acqua-aria e dell’acqua che diffonde nell’aria: all’interfaccia ho l’equilibrio gas- liquido della specie acqua. Questo mi dice la frazione molare di acqua che passa in fase gas (y i) Legge di Raoult: Py i=P i0 ( T )x i DIFFUSIONE GAS IN LIQUIDO In questo caso considero la diffusione del gas nel liquido e questa è data dalla legge di Henry P yi= H xi ADSORBIMENTO (COEFFICIENTE DI SOLUBILITA’) In questo caso abbiamo un’interfaccia gas-solido e la specie gas che viene adsorbita. La concentrazione che passa lato solido è la seguente cA= PAS Dove S è il prodotto di solubilità PROFILI DI CONCENTRAZIONE Si ottengono integrando l’equazione di Fick con opportune condizioni al contorno CONDIZIONI AL CONTORNO r→ ∞ci= ci,∞ r=0dc i dr=0 r=Rc i=c i,R x=0Ji¿= γi'' Prima cosa da guardare per capire quali possano essere le condizioni al contorno più opportune sono i dati. Infatti, è inutile imporre una concentrazione di superficie o al centro di una sfera se non si conosce tale concentrazione. Se ho una reazione superficiale (ad esempio in x=0): x=0;Ji¿= γi'' In questo caso la reazione rientra nelle condizioni al contorno e NON nell’equazione indefinita di bilancio. FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 Se ho una geometria simmetrica: r=0;dc i dr=0 Se ho una parete impermeabile alla specie i:x= x¿;dci dx =0 Se conosco la concentrazione esterna a una sfera o alla lastra (in quel caso x): r→ ∞;ci= ci,∞ Tenendo conto che spesso può essere sensato avere una ci,∞=0 Se conosco una concentrazione ad una certa coordinata x= x¿(r=r¿);ci=ci¿ SISTEMI DIFFUSIVI CON FLUSSO AVVETTIVO Esempio: esercizio 8 esercitazione 12 Innanzitutto, occorre verificare che vi sia: ad esempio, se uno dei due flussi è nullo n A'' =J A¿ +x A (n A'' +n B'' ) =−cDdx A dx+x An A'' nA''(1− xA)=−cD dxA dx ∫0 L nA''dx = ∫xA,0 xA,L − cD dxA 1− xA Sapendo che n A'' =0 ossia la specie A non può accumularsi nel volume di controllo. EVAPORAZIONE ACCOMPAGNATA DA CONVEZIONE E ANALOGIA DI LEWIS (S.S.) Ho una certa quantità di acqua che evapora. La portata che evapora sarà data da una differenza di concentrazione tra il pelo libero dell’acqua e l’aria circostante, e quindi data da un moto di tipo diffusivo. Il calore disperso dal pelo libero sarà quindi dato sia dal contributo di scambio termico che dal contributo dato dalla diffusione. Q ev=m outΔh ev=h mA (ρ A,S−ρ A,∞ )Δh ev Qc=hA (TS−T∞) Q=Q c+Q ev FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 Se non conosco il coefficiente di scambio convettivo materiale posso ricavarlo da quello termico tramite analogia di Lewis ¿=Sc Pr=ν/D ν/α=α D Sh x=Nu x(¿)1 3 h mx D=hx k (¿)1/3 →h m=hD k (¿)1/3 USO DI TABELLE TERMODINAMICHE PER CONVEZIONE Calcolo innanzitutto la temperatura alla quale devono essere valutate le proprietà del fluido, e si calcola tipicamente come media tra la temperatura superficiale dell’oggetto e la temperatura T∞ T f=T w+T ∞ 2 ARIA Le tabelle fornite contengono proprietà calcolate a pressione atmosferica. Se necessario, interpolare. Inoltre, α,ρ,ν dipendono dalla pressione. Pertanto, per riportarmi alla pressione desiderata: ν ν atm= (μ ρ ) μ ρ atm=P atm P α αatm = Patm P FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 CONVEZIONE FORZATA PER OGGETTI LAMBITI DA UN FLUIDO (LASTRA PIANA) Il coefficiente di scambio decresce con x nel flusso laminare, poi subisce un aumento in transizione, fino ad arrivare a un massimo turbolento, per poi decrescere ulteriormente. Re CRITICO Re cr=5e5 TEMPERATURA IMPOSTA MISURA MEDIA REGIME LAMINARE Nu=0.664Re0.5 Pr1/3 REGIME MISTO Nu=(0.037Re0.8 −871 )Pr1/3 TEMPERATURA IMPOSTA MISURA LOCALE REGIME LAMINARE Nu =0.332 Re0.5 Pr 1/3 FLUSSO IMPOSTO MISURA LOCALE Può essere utile nel caso in cui si debba calcolare il flusso nella situazione alla lunghezza più critica, per esempio alla distanza maggiore dove il flusso laminare determina il coefficiente di scambio minimo, se devo raffreddare (vedi esercizio 4 esercitazione 14). Il coefficiente di scambio risultante non coinciderà quindi con il coefficiente medio di scambio, ma in questo caso sarebbe minore. REGIME LAMINARE FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 Nu =0.453 Re0.5 Pr 1/3CONVEZIONE FORZATA PER CILINDRI INVESTITI TRASVERSALMENTE DA UN FLUIDO N uD=CR eDmPr 1/3 N uD=0.3 +… f(ℜ ,Pr ) CONVEZIONE FORZATA PER SFERE INVESTITE TASVERSALMENTE DA UN FLUIDO Calcolo le proprietà a T∞ e poi correggo utilizzando il fattore correlato alla viscosità calcolata alla T di superficie Nu D=2+…f(ℜ,Pr) CONVEZIONE FORZATA PER CILINDRI NON CIRCOLARI Nu =C RemPr 1/3 FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 CONVEZIONE FORZATA INTERNA A UN TUBO Re CRITICOℜ=2300 DIMENSIONE CARATTERISTICA Diametro idraulico D H=4A P TEMPERATURA IMPOSTA REGIME LAMINARE N uD=3.66 FLUSSO IMPOSTO REGIME LAMINARE N uD= 4.36 MOTO TURBOLENTO ℜ>10000 N uD=0.023 ReD0.8 Pr 1/3 FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 N uD=0.023 ReD0.8 Pr n n=0.3 tubo raffreddato n=0.4 tubo riscaldatoALTRE CORRELAZIONI Potrebbe venir fornita una correlazione legata al fattore di attrito POTENZA DISPERSA Q= mcPΔT INTEGRAZIONE SU LUNGHEZZA L Ricorda che se non conosci la temperatura di parete ma quella esterna, devi associarti al coefficiente di scambio termico globale U. Nel caso di raffreddamento: mh (x)−mh (x+dx )−U (T−T∞)Pdx =0 Questa integrazione è correlata ai coefficienti di scambio medi riguardanti l’intera lunghezza del tubo. TEMPERATURA DI MISCELAMENTO ADIABATICO Tb=∫ ρcPu(x,y)T(x,y)dA ∫ ρcPu(x,y)dA = ∫ ρcPu(x,y)T(x,y)dy ∫ ρcPu(x,y)dy Si trasforma in un integrale singolo poiché T e u non variano lungo la coordinata z e dA = d(zy )= zdy Quindi h: h=−kdT/dy T w−T b PERDITE DI CARICO Fτ= τπDL F P=ΔPπD2 4 F P=F τ→ΔP=4τL D cf= f 4= τ 1 2ρu2→ τ= 1 2ρu2cf= f 8ρu2 ΔP=4f 8ρu2L D = f 2ρu2L D Con f che dipende dal flusso FATTORE D’ATTRITO MOTO LAMINARE FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 f=64 ℜ FATTORE D’ATTRITO MOTO TURBOLENTOf=0.184 ReD−0.2 COEFFICIENTE DI SCAMBIO TERMICO GLOBALE Q=UAΔT mln=UAΔT 1−ΔT 2 ln (ΔT 1 ΔT 2 ) 1 UA = Rtot= 1 h¿A¿ +ln ⁡(De/Di) 2πkL + 1 heAe[ K W ] METODO ε− NUT NTU = UA Cmin C¿= Cmin Cmax ε=Q Q max=f (NTU,C¿ ) Q=εC minΔT max Ad esempio, se il fluido freddo è quello a capacità minima, sarà questo a poter raggiungere la temperatura dell’altro fluido per superficie di scambio tendente a infinito; quindi, la differenza di temperatura massima è data dalla temperatura che il fluido a capacità minima raggiungerebbe se avesse a disposizione una superficie infinita di scambio N TUBI ˙m=ρuAN=ρuπD2 4N ℜ=4 ˙m/N πDμ CONVEZIONE NATURALE LASTRA PIANA VERTICALE Ra CRITICO Ra L=109 MOTO LAMINARE N uL=0.55 RaL0.25 FORMULARIO DI SCAMBIO TERMICO E DI MASSAISABELLA DENTE2 MOTO TURBOLENTON uL=0.13 RaL0.33 CONVEZIONE NATURALE LASTRA ORIZZONTALE L=A s P SUPERIORE CALDA N uL=0.54 RaL1/410 4