Mechanical Engineering - Meccanica Applicata alle Macchine

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1Dimostrazioneposizione,velocità,accelerazionenelPiano ZVELOCITÁ : DobbiamofartendereP( + SH -> P(t)MP(t)ApquindiSt+ ediconseguenzaAP - AOS(t) - **P(t + At)= limt-I I>y L Essendoche1 = 1(t)) - > X15 mmmm Av r e m ocheesaráunacastante ,inquantoAsfareoIM AP ↑ tenderàad essere ugualealvettoreAPP(s) ~ P(a + 18) = V = 5 . E-Quindilavelocitàè un vettoretangentenelpuntosullatraiettoria,dimoduloparialladerivata5dell'ascissecurvilinea . ACCELERAZIONE : Consideriamoanalogalmente a prima . l'accelerazioneèlavariazionedivelocitàZ a 7 · LdR7 = ( +de)Es2 i Iduevettoriappartengonoallostessopiano,detto > yPIANOOSCULATORE. Quindidallecorrelazionitrovochein CENTRODI X CURVATURA do = 1dd - >A dOrapossiamo wave Ta y l o rpertrovareladifferenzadei I ds *didsvettori . (Ilteoremavieneutilizzatoperapprossimarelacurva>deinun puntospecifico conun pianotangente ded+ d = ) + e+ d)- ) = da d-AVEssendocheivettorivelocità sonoruotatidido = & , Alloraladifferenzasará unversoneortogonaleallatraiettoria , dunque : (do =1.do =& a = St+ En 2TEOREMADELMOTIRELATIVIW x =(2)*01= 1-02+ 201 - "¥M · xy()=(P-07x(2)02 ! 7Sorge un problemainquanto nonposse - ⑭ derivarecosìsemplicementedeiversari - u!k)-BLmadevofaredelleconsiderazioni . 01 ↑⑨ u - >X, (2) -LConsideriamou = B-Ozcheè versoneindirezioneX1)UB-02) =B-Essendocheabbiamoconsideratoilsistemadiriferimento sucui giaceilpuntoB comeun corporigido,possoutilizzarelaroto-traslazioneperdire : EB = (0z + w1(B - 02)(w1(B - 02) = EB -0= &k)atMEQUAZIONEDIEquinditroviamo : u POISSONP-01 =Mix) (2)(2)P-02 =Mix)(p - 02) = &(2xk(p) = Mi ↑ Xi(p) +x = u +02-0 =Mi ~Mi) . inQuindideviviamoleposizioniiniziali101 = 102 + 201 -(1)&(1)( ↑ur). 4)x(0)L' u n i c oversaredaderivareèMil in MiXi(p) = unxip) +w1u . x +Mi - quanto sono gli uniciversanichevariano VelocitaVELOCITAus).PVELOCITàDEL rispettoad01neltempoASSOLUTARELATIVADIPCENTRO02CRISPETTOAD02)CRISPETTOADOnYa s s ( P ) = VREL(P)+(w(02)+an(p - 02) "¥ velocitàdiTRASCINAMENTO (1)(1)(2)(2)..). Oraperl'accelerazioneconsideriamoladerivatadi : Mixi(P)Mi(P)Mi =-xi+ w1(p - 02)+- x()1))= = an(p)2)/ri) = M + wu) = Gne(p) + w1Free(p)3) fan(p-ol) = an(P-02) +un(aree(p) + w1(p - 02)) 4)i)=ManCass=EREL(p)+ (a(02) + (n(p - 02) + c1w1(p - a)) +21 Vre(p) "¥accelerazionedi"¥TRASCINAMENTOACCELERAZIONEDiCOROLIS 3.TEOREMADIRIVALSTe n e n d o a menteladefinizionedicarporigido,eladefinizionedivoto-traslazione,possiamodiveche " l'attodimotorigidopianopuòesseresolotraslatorio e rotatorio",esprimendolainquestomodo : de - Odo :· PI dep = de+d&1(p - 0 & da1(p - 0A ->y · ↑ Z·p↑ - d&n(A -0)& Deriviamol'espressionedellaposizioneperottenere : Up = Vo+wn(p - d)Deriviamolavelocitàperottenere : Ap = 20+w1(p - 0)+wnw1(p - d 4AZIONIDIINERZIAPERCORPORIGIDOSfruttiamoilPrincipiodiDalambert ,ovverovedolaleggecomeun'equilibriodiunamassaunsoggettaad una forzaesternafittiziachevienedettaforzad'inerziaparia-ma :FEST- a(P)dmE + (ma) = 0E + Ein - L - &dm- fint a Integrando su tuttoilcorporigidoottengo :~w, iPap=----r(p - b)R8 = 0RISULTANTEEMOMENTO76 f D DITUTTELEFORZE(p-c)M =d&inerziainclusa ↓--> (G - 0Considerandosolamenteleforzed'inerziadEn =- (k)dm↑An = /aspedmMis = ( _ (0 -0) ~ Fa(p)dm]Riscrivoa(P)secondoroto-traslazionecarporigidodettatadaRivalsa(p) = &G + (1(p - 6) + wn(w - (p - 6)sostituiamonell'equazionedellarisultantedelleforzed'inerzia -- farppau = ga((du + (1) (p - 6)1dV + ww-((p - 6(a(plpdV = goMtot ->Rin =- @oMotOrasfruttiamol'equazionedeimomentid'inerziaA = -(0 - a) + (p - b)-a(m)pd = -lo-drapdr-a-fo -d + ( - d) - (in(p - b) + w-z - (- )sd70 == ((6 - d) nin)(p - 6)(dr+( - 0)na-1) (p - bar) - ( -(p - 6) n(an(p - b)+anan(p - a)pa Orastudiamoseparatamentel'ultimaparte :2SEMPLICEMENTE1(P - G)n(an(p - G)) = Mzlp - 62c = /p - G ->RISOLVOPRODOTTOVETTORALE Definendo /adm = JpaMomentod'inerziapolareBARCENTRICO -f (P - 6)n(n(p - b))pdV =- ( - /p - 612pdV =- /P-Gdm = -T&(p-6)n(wncon(p-)) = d -> PERCHÉRISOLVENDOPRODOTTOVETTORESCOPROCHESONODUEVETTORIPARALLELI-> M = -(6-onMot+Ji & TEOREMADIHUYGENS-STEINERy5 = /rdm dm = pd)inr == x + yz D Y ----&dm& f Yg ----------&w !>X5j = (k2 + y4)dm =-xdm+ fy'dm = 5y + 5x6IXJo = / ,/" + y'di08XG* = (((xo +x)2+ (ys + y))dmC - - 2y . = f(x +y2)dm + ( - ( + yz)dm + 2x)xdm + ydmVPERCHEMOMENTISTATICIRISPETTOAssIBARCENTRICIJo = Jo + Moloo1 & RICERCADELCentrodiMASSAConsideriamo un puntoGtalepercui: Zi(Pi-G) 1 Mig = * ->IPOTESIz1 · D Sfruttiamoilpuntodiriferimento"o"perscrivere: (Pi - 0) = (P - 6)+( - 0 x >yAllorapossoscrivereMo = Zi(Pi-6)Mig = 0&DunqueArd = Ei(Pi-6)~Mig +[i(6-0) ~ MigEi(Pi-0)Mig = [i( - 0)1 MigHofattoTr a n s i t a r eMi Eilpi-Minq = Zilo-dMingperchéscalare-> g non fapartedella -sommatoriaesipuòelidere. =i(Pi-d) Mi = (6-oMTor( - c) = [i(pi - d)Mi> -d = Vi MTOTQuindil'ipotesicheilmomentod'inerziadelprimoordinesuGèuguale a Q , ÈVERIFICATA! 7ENERGIACINETICA(teoremadi König) L' e n e r g i acineticadiunpuntoénormalmentedefinitacome: Ec = E voPar = Epppd Consideriamocasodimotoroto-traslatoriousandoG come riferimento-p = 16 + w1(p - 6)Ec = Ef( +01(p - b) . (1+wn(p-)pdV 9* Ec = 10 - ko(pdr + 16 .-((p - GpdV+ 1wv/(p - G)pdV . Vo+ 1wfIP-ad Ec = EMic + 16 . Ec+ 1JW . W &BILANCIOdiPOTENZAeTEOREMAENERGIACINETICA----Scriviamorisultantedelleforze,perscriverepotenza : ↑ -- ↑ i & Pi-IImigi = ZuEir + Esfie -Er & ↑ *Sis IMiditi = ZrEinki + EsSist ↑ ! ↑ 85z ↑ Wi+WExt + Win = 0 - We = d ↑↑↑ · S Potremmoincluderefanzed'inerzianelbilancioperWF = Q , però&S&S notiamoche :----S"¥ mini) = MidikiQuinditroveremoquestavariantedelbilanciodipotenze : Wext+Wint = EPeruncorporigidoespandiamoladefinizionedienergiacineticachediventerà &E MotoWin = d ⑳ EQUAZIONIdiLAGRANGELeequazionidiLagrangepermettonodiscrivereleequazionidimotodelsistemasostituendoilcalcolodelleLagrangianedialcmeforzeconilcalcolodellederivatedialcunequantitàenergetiche . ·inn =- - Qu+Qinik =O1FORMAEQUAZIONEQu = DILAGRANGEQu = -Qin ,kUnaforzasidiceConservativaquandoillavorofattodaquestaper uno spestamentodelsistemada una configurazionefinale e iniziale,dipendesolodalleconfigurazionidipartenza e diarrivo,enon dalpercorso . ConsideriamoEapplicatainP . Seeconservativa2 = U(y)d2 = E . de = ExdX + Fydy = du = + + Fx = Perconservativitàdiunafanzadevevalere& - - Affinchépossaesisterefunzionepotenzialechesoddisfiilestema : Perinteresseingegneristicoconsideriamol'energiapotenziale : V = -y - & = Otteniamo : + componenteLagrangianaforzaconservatese =