Mechanical Engineering - Principi di Ingegneria Elettrica

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Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici I dati numerici di questo problema dipendono dal PROPRIO codice persona, secondo lo schema seguente: 1 0 A B C X Y Z Esempio: Codice persona = 1 0 1 5 8 9 3 6 → X = 9 Y = 3 Z = 6 ESERCIZIO 1 (8 Punti) Sia data la rete inizialmente in regime stazionario indicata in Figura. All’istante t = 0 si apre l’interruttore S. Dati: E 1 = 15 V R 1 = 10 Ω R 4 = 5 Ω E 2 = Z + 20 V R 2 = 60 Ω R 5 = 5 Ω A = 4 A R 3 = 20 Ω C = 100 µF Z è l’ultima cifra del proprio codice persona. 1 0 A B C X Y Z Calcolare: • il valore della corrente i E2 nell’instante precedente all’inizio del transitorio, i E2(0-); • il valore della corrente i E2 nell’instante di inizio transitorio, i E2(0+); • il valore della corrente i E2 al termine del transitorio, i E2(+∞); • la costante di tempo del circuito, τ; • la potenza erogata dal generatore E 2 nell’istante t * = τ. E1 R1 C R5 R4 R3 A R2 E2 S iE2(t) Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici SOLUZIONE % Preprocessing della rete: equivalente di Thévenin di A, E1, R1 ed R2 ETH = E1 + R1 * A = 55 V RTH = R1 + R3 = 30 Ω % Soluzione a t = 0- Vc_0m = R5 / ( R5 + RTH ) * ( ETH - E2 ) = iE2_0m = E2 / R2 + ( E2 - ETH ) / ( R5 + RTH ) = Z Vc_0m iE2_0m 0 5.0000 V -0.6667 A 1 4.8571 V -0.6214 A 2 4.7143 V -0.5762 A 3 4.5714 V -0.5310 A 4 4.4286 V -0.4857 A 5 4.2857 V -0.4405 A 6 4.1429 V -0.3952 A 7 4.0000 V -0.3500 A 8 3.8571 V -0.3048 A 9 3.7143 V -0.2595 A % Soluzione a t = 0+ Vc_0p = Vc_0m iE2_0p = E2 / R2 + ( E2 + Vc_0p - ETH ) / ( R4 + RTH ) Z Vc_0p iE2_0p 0 5.0000 V -0.5238 A 1 4.8571 V -0.4827 A 2 4.7143 V -0.4415 A 3 4.5714 V -0.4003 A 4 4.4286 V -0.3592 A 5 4.2857 V -0.3180 A 6 4.1429 V -0.2769 A 7 4.0000 V -0.2357 A 8 3.8571 V -0.1946 A 9 3.7143 V -0.1534 A % Soluzione a t = +inf Vc_inf = ETH - E2 iE2_inf = E2 / R2 Z Vc_inf iE2_inf 0 35 V 0.3333 A 1 34 V 0.3500 A 2 33 V 0.3667 A 3 32 V 0.3833 A 4 31 V 0.4000 A 5 30 V 0.4167 A 6 29 V 0.4333 A 7 28 V 0.4500 A 8 27 V 0.4667 A 9 26 V 0.4833 A % Costante di tempo Req = RTH + R4 = 35 Ω tau = Req * C = 3.5 ms Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici % Potenza erogata da E2 iE2_t = ( iE2_0p - iE2_inf ) * exp( -1 ) + iE2_inf = PE2_t = E2 .* iE2_t = Z iE2_ t PE2_t 0 0.0180 A 0.3602 1 0.0437 A 0.9174 2 0.0694 A 1.5259 3 0.0950 A 2.1858 4 0.1207 A 2.8971 5 0.1464 A 3.6597 6 0.1721 A 4.4737 7 0.1977 A 5.3390 8 0.2234 A 6.2556 9 0.2491 A 7.2237 Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici I dati numerici di questo problema dipendono dal PROPRIO codice persona, secondo lo schema seguente: 1 0 A B C X Y Z Esempio: Codice persona = 1 0 1 5 8 9 3 6 → X = 9 Y = 3 Z = 6 ESERCIZIO 2 (7 Punti) Sia data la rete trifase di Figura alimentata dalla terna di tensioni dissimmetrica di cui è riportato il diagramma fasoriale. Dati: E 1 = 200 V R = 10 Ω E 2 = 150 + Y∙10 V X L = 20 Ω E 3 = 250 V X C = 15 Ω Z 1 = 5 + j10 Ω Z 2 = 20 – j15 Ω Y è la penultima cifra del proprio codice persona. 1 0 A B C X Y Z Calcolare: • il valore della tensione letta dal wattmetro; • il valore della corrente letta dal wattmetro; • il valore indicato dal wattmetro. 1E 2E 3E 34π 2π Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici SOLUZIONE % Fasori E1 = 200 V E2 = ( 150 + Y * 10 ) * -1i = Y E2 0 -150 i V 1 -160i V 2 -17 0i V 3 -18 0i V 4 -19 0i V 5 -20 0i V 6 -21 0i V 7 -22 0i V 8 -23 0i V 9 -24 0i V E3 = 250 * exp( 1i * 3/4 * pi ) = -176.78 + j176.78 V % Impedenze del carico trifase ZA = R - 1i * XC = 10 – 15i Ω ZB = R + 1i * XL = 10 + 20i Ω % Tensione tra i due centri stella VAB = ( E1/ZA + E2/ZB + E3/R ) / ( 1/ZA + 1/ZB + 1/R + 1/Z1 ) = Y VAB 0 -122.08 +78.07i V 1 -123.55 +76.45i V 2 -125.02 +74.83i V 3 -126.49 +73.22i V 4 -127.96 +71.60i V 5 -129.43 +69.98i V 6 -130.90 +68.36i V 7 -132.37 +66.75i V 8 -133.84 +65.13i V 9 -135.31 +63.51i V % Tensione ai capi del wattmetro Vw = ( E1 - VAB ) * ( -1i * XC / ZA ) Y Vw 0 186 .95 -202 .70i V 1 188 .71 -202 .26i V 2 190 .48 -201 .82i V 3 192 .24 -201 .38i V 4 194 .00 -200 .94i V 5 195 .77 -200 .49i V 6 197 .53 -200 .05i V 7 199 .30 -199 .61i V 8 201 .06 -199 .17i V 9 202 .83 -198 .73i V Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici % Corrente nel wattmetro Iw = -( VAB/Z1 + E3/Z2 ) Y Iw 0 8.5371 -14.3034i A 1 8.7253 -14.3563i A 2 8.9135 -14.4092i A 3 9.1018 -14.4622i A 4 9.2900 -14.5151i A 5 9.4782 -14.5681i A 6 9.6665 -14.6210i A 7 9.8547 -14.6740i A 8 10.0430 -14.7269i A 9 10.2312 -14.7798i A % Lettura del wattmetro Pw = real( Vw .* conj(Iw) ) Y Pw 0 4.4953 kW 1 4.5503 kW 2 4.6059 kW 3 4.6621 kW 4 4.7189 kW 5 4.7764 kW 6 4.8344 kW 7 4.8931 kW 8 4.9524 kW 9 5.0124 kW Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici I dati numerici di questo problema dipendono dal PROPRIO codice persona, secondo lo schema seguente: 1 0 A B C X Y Z Esempio: Codice persona = 1 0 1 5 8 9 3 6 → X = 9 Y = 3 Z = 6 ESERCIZIO 3 (7 Punti) Sia data la rete indicata in Figura alimentata in regime stazionario. Dati: E = 40 V N 1 = 50 R 1 = 2 Ω A = 5 A N 2 = 80 R 2 = 5 Ω δ 1 = 2 mm R 3 = 10 + X Ω δ 2 = 3 mm R 4 = 6 Ω A fe = 15 cm² R 5 = 6 Ω R 6 = 3 Ω µ0 = 4∙π∙10 -7 H/m X è la terzultima cifra del proprio codice persona. 1 0 A B C X Y Z Calcolare: • la mutua induttanza; • la corrente circolante nell’avvolgimento di N 1 spire; • la corrente circolante nell’avvolgimento di N 2 spire; • l’energia complessivamente accumulata nei traferri del nucleo magnetico. Afe µfe=∞ N1 N2 δ1 δ1 δ2 E R1 R4 R5 A R2 R3 R6 Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici SOLUZIONE % Soluzione circuito magnetico Rd1 = 1/mu0 * delta1 / Afe = 1.0610∙10 6 H -1 Rd2 = 1/mu0 * delta2 / Afe = 1.5915∙10 6 H -1 Req1 = Rd1 + ( Rd1 * Rd2 ) / ( Rd1 + Rd2 ) = 1.6977∙10 6 H -1 Req2 = Rd1 + ( Rd1 * Rd2 ) / ( Rd1 + Rd2 ) = 1.6977∙10 6 H -1 L11 = N1^2 / Req1 = 1.4726 mH L22 = N2^2 / Req2 = 3.7699 mH LM = N1 * N2 /( Req1 * ( Rd1 + Rd2 ) / Rd2 ) = 1.4137 mH % Soluzione circuito elettrico VAB = ( E/R1 + A ) ./ ( 1/R1 + 1./R3 + 1/R4 + 1/(R5+R6) ) = X VAB 0 28.4810 V 1 28.7791 V 2 29.0323 V 3 29.2500 V 4 29.4393 V 5 29.6053 V 6 29.7521 V 7 29.8828 V 8 30.0000 V 9 30.1056 V I1 = VAB / R4 = X I1 0 4.7468 A 1 4.7965 A 2 4.8387 A 3 4.8750 A 4 4.9065 A 5 4.9342 A 6 4.9587 A 7 4.9805 A 8 5.0000 A 9 5.0176 A I2 = VAB / ( R5 + R6 ) = X I2 0 3.1646 A 1 3.1977 A 2 3.2258 A 3 3.2500 A 4 3.2710 A 5 3.2895 A 6 3.3058 A 7 3.3203 A 8 3.3333 A 9 3.3451 A Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici W = 1/2 * L11 * I1.^2 + 1/2 * L22 * I2.^2 - LM * I1 .* I2 = Y W 0 14.2313 mJ 1 14.5307 mJ 2 14.7875 mJ 3 15.0102 mJ 4 15.2050 mJ 5 15.3770 mJ 6 15.5299 mJ 7 15.6667 mJ 8 15.7898 mJ 9 15.9012 mJ