Mechanical Engineering - Principi di Ingegneria Elettrica

Full exam

Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici I dati numerici di questo problema dipendono dal PROPRIO codice persona, secondo lo schema seguente: 1 0 A B C X Y Z Esempio: Codice persona = 1 0 1 5 8 9 3 6 → X = 9 Y = 3 Z = 6 ESERCIZIO 1 (8 Punti) Sia data la rete inizialmente in regime stazionario indicata in Figura. All’istante t = 0 si chiude l’interruttore S. DATI: E 1 = (5 + Y) V A = 3 A E 2 = 6 V E 3 = 15 V R 1 = 2 Ω R 4 = 5 Ω R 2 = 4 Ω R 5 = 10 Ω R 3 = 5 Ω C = 130 μF Calcolare: • Il valore della variabile di rete i E3(t) nell’instante precedente all’inizio del transitorio, t = 0 -. • Il valore della variabile di rete i E3(t) nell’instante di inizio del transitorio, t = 0 +. • La costante di tempo del transitorio, τ. • Il valore della variabile di stato v c(t) al termine del transitorio, t = +∞. • La corrente i E3(t) nell’istante di tempo t = 2 ms. 1 0 A B C X Y Z Y è la penultima cifra del proprio codice persona E2 A R3 C R4 R2 E1 R1 R5 S E3 iE3(t) vC(t) Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici SOLUZIONE %% Soluzione del circuito a t = 0 meno VAB_0m = ( E1/R1 + A + E3/R5 ) / ( 1/R1 + 1/(R3+R4) + 1/R5 ) IR4_0m = VAB_0m / ( R3 + R4 ) IR1_0m = ( VAB_0m - E1 ) / R1 VC_0m = E2 + R2 * A + R4 * IR4_0m I3_0m = IR4_0m + IR1_0m - A Y VAB_0m IR4_0m IR1 _0m VC_0m I3_0m 0 10.0000 V 1.0000 A 2.5000 A 23.0000 A 0.5000 A 1 10.7143 V 1.0714 A 2.3571 A 23.3571 A 0.4286 A 2 11.4286 V 1.1429 A 2.2143 A 23.7143 A 0.3571 A 3 12.1429 V 1.2143 A 2.0714 A 24.0714 A 0.2857 A 4 12.8571 V 1.2857 A 1.9286 A 24.4286 A 0.2143 A 5 13.5714 V 1.3571 A 1.7857 A 24.7857 A 0.1429 A 6 14.2857 V 1.4286 A 1.6429 A 25.1429 A 0.0714 A 7 15.0000 V 1.5000 A 1.5000 A 25.5000 A 0.0000 A 8 15.7143 V 1.5714 A 1.3571 A 25.8571 A -0.0714 A 9 16.4286 V 1.6429 A 1.2143 A 26.2143 A -0.1429 A %% Istante t = 0+ - La rete si disaccoppia topologicamente (generatore E3) VC_0p = VC_0m; % Equivalente di Thevenin ai capi di E (morsetti PQ) di R2, R3, R4, E2\ , A, VC VR4 = ( VC_0p - E2 ) * R4 / ( R2 + R4 ) VR3 = A * R3 = -15 V ETH = VR3 + VR4 RTH = R3 + ( R2 * R4 ) / ( R2 + R4 ) = 7.2222 Ω % Corrente di inizio transitorio nei due generatori disaccoppiati IE3_0p = ( E3 - ETH ) / RTH + ( E3 - E1 ) / R1 Y VR4 ETH IE3_0p 0 9.4444 A 24.4444 V 3.6923 A 1 9.6429 A 24.6429 V 3.1648 A 2 9.8413 A 24.8413 V 2.6374 A 3 10.0397 A 25.0397 V 2.1099 A 4 10.2381 A 25.2381 V 1.5824 A 5 10.4365 A 25.4365 V 1.0549 A 6 10.6349 A 25.6349 V 0.5275 A 7 10.8333 A 25.8333 V 0 A 8 11.0317 A 26.0317 V -0.5275 A 9 11.2302 A 26.2302 V -1.0549 A Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici %% Istante t = +inf - La rete si disaccoppia topologicamente (generatore E3) IR4_inf = E3 / ( R3 + R4 ) = 1.5 A IR1_inf = ( E3 - E1 ) / R1 VC_inf = E2 + R2 * A + R4 * IR4_inf = 25.5 V IE3_inf = IR1_inf + IR4_inf - A Y IR1 _inf IE3_inf 0 5.0000 A 3.5000 A 1 4.5000 A 3.0000 A 2 4.0000 A 2.5000 A 3 3.5000 A 2.0000 A 4 3.0000 A 1.5000 A 5 2.5000 A 1.0000 A 6 2.0000 A 0.5000 A 7 1.5000 A 0 A 8 1.0000 A -0.5000 A 9 0.5000 A -1.0000 A %% Costante di tempo Req = R2 + (R3 * R4 ) / ( R3 + R4 ) = 6.5 Ω Tau = C * ReqC = 845 μs %% Corrente nel generatore all'instate t = 2 ms Y IE3_t 0 3.5180 A 1 3.0155 A 2 2.5129 A 3 2.0103 A 4 1.5077 A 5 1.0052 A 6 0.5026 A 7 0 A 8 -0.5026 A 9 -1.0052 A Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici I dati numerici di questo problema dipendono dal PROPRIO codice persona, secondo lo schema seguente: 1 0 A B C X Y Z Esempio: Codice persona = 1 0 1 5 8 9 3 6 → X = 9 Y = 3 Z = 6 ESERCIZIO 2 (7 Punti) Sia data la rete trifase di Figura alimentata dalla terna di tensioni dissimmetrica di cui è riportato il diagramma fasoriale. 1E 2E 3E Re Im E1 E2 E3 W XC R3 Z1 V I 3 4π 3 4π R2 R1 XL R4 π/2 Dati: E1 = 250 V (modulo, fase indicata in figura) R 1 = 50 Ω R 2 = 40 Ω E2 = 200 V (modulo, fase indicata in figura) R 3 = 60 Ω R 4 = 30 Ω E3 = (150 + Z∙10) V (modulo, fase indicata in figura) X L = 30 Ω X C = 20 Ω Z1 = 15 + j10 Ω Calcolare: • Il valore della tensione letta dal wattmetro. • Il valore della corrente letta dal wattmetro. • Il valore indicato dal wattmetro. 1 0 A B C X Y Z Z è l’ultima cifra del proprio codice persona Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici SOLUZIONE % Fasori E1 = 250 V E2 = 200 * exp( -1i * 3/4 * pi ) = -141.42 -j141.42 V E3 = ( 150 + 10 * Z ) * exp( 1i * 3/4 * pi ) Z E3 0 -106.07 +j106.07 V 1 -113.14 +j113.14 V 2 -120.21 +j120.21 V 3 -127.28 +j127.28 V 4 -134.35 +j134.35 V 5 -141.42 +j141.42 V 6 -148.49 +j148.49 V 7 -155.56 +j155.56 V 8 -162.63 +j162.63 V 9 -169.71 +j169.71 V % Equivalente di Thevenin ai capi di Z1 VAO = ( E1/R1 + E2/R2 + E3/R3 ) / ( 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + 1/Z1 ) IZ1 = VAO / Z1 IR4 = E3 / R4 Z VAO IZ1 IR4 0 1.7253 - j15.9031 V -0.4097 - j0.7871 A -3.5355 + j3.5355 A 1 0.4262 - j15.1808 V -0.4474 - j0.7138 A -3.7712 + j3.7712 A 2 -0.8730 - j14.4585 V -0.4852 - j0.6405 A -4.0069 + j4.0069 A 3 -2.1721 - j13.7362 V -0.5229 - j0.5671 A -4.2426 + j4.2426 A 4 -3.4713 - j13.0140 V -0.5606 - j0.4938 A -4.4783 + j4.4783 A 5 -4.7704 - j12.2917 V -0.5984 - j0.4205 A -4.7140 + j4.7140 A 6 -6.0696 - j11.5694 V -0.6361 - j0.3472 A -4.9497 + j4.9497 A 7 -7.3687 - j10.8471 V -0.6739 - j0.2739 A -5.1854 + j5.1854 A 8 -8.6679 - j10.1248 V -0.7116 - j0.2006 A -5.4212 + j5.4212 A 9 -9.9671 - j9.4025 V -0.7493 - j0.1273 A -5.6569 + j5.6569 A % Misure e lettura del wattmetro Iw = -( IZ1 + IR4 ) Vw = -VAO Pw = real( Vw .* conj(Iw) ) Z Iw Vw Pw 0 3.9452 - j2.7485 A -1.7253 + j15.9031 V -50.5158 W 1 4.2187 - j3.0575 A -0.4262 + j15.1808 V -48.2128 W 2 4.4921 - j3.3665 A 0.8730 + j14.4585 V -44.7528 W 3 4.7655 - j3.6755 A 2.1721 + j13.7362 V -40.1361 W 4 5.0390 - j3.9845 A 3.4713 + j13.0140 V -34.3624 W 5 5.3124 - j4.2935 A 4.7704 + j12.2917 V -27.4319 W 6 5.5859 - j4.6025 A 6.0696 + j11.5694 V -19.3445 W 7 5.8593 - j4.9115 A 7.3687 + j10.8471 V -10.1003 W 8 6.1327 - j5.2206 A 8.6679 + j10.1248 V 0.3008 W 9 6.4062 - j5.5296 A 9.9671 + j9.4025 V 11.8588 W Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici I dati numerici di questo problema dipendono dal PROPRIO codice persona, secondo lo schema seguente: 1 0 A B C X Y Z Esempio: Codice persona = 1 0 1 5 8 9 3 6 → X = 9 Y = 3 Z = 6 ESERCIZIO 3 (7 Punti) Ad un trasformatore monofase con i seguenti dati di targa: - Potenza nominale A n = 90 kVA - Rapporto di trasformazione K = V 1n / V 2n = 400 V / 10 kV - Frequenza nominale f n = 50Hz è connesso un carico che assorbe la corrente I 2 = 5A, è sottoposto alla tensione V 2 = 8.5 kV ed è caratterizzato da un fattore di potenza cos ϕ 2 = 0.8. La prova di corto circuito e la prova a vuoto del trasformatore hanno fornito i seguenti risultati: Prova di corto circuito: - Potenza di corto circuito: P cc% = 5% - Fattore di potenza di corto circuito: cos(ϕ cc) = 0,45 Prova a vuoto: - Potenza a vuoto: P 0% = (0.1 + 0.1∙X) % - Fattore di potenza a vuoto: cos(ϕ 0) = 0,2 Si determinino: • La tensione di alimentazione V 1. • La corrente I 1 assorbita dal primario del trasformatore. • Il fattore di potenza al primario del trasformatore. 1 0 A B C X Y Z X è la terzultima cifra del proprio codice persona Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici SOLUZIONE %% Caratterizzazione trafo % Correnti nominali I1n = An / V1n = 225 A I2n = An / V2n = 9 A % Rapporto di trasformazione k = V1n / V2n = 0.04 % Prova a vuoto lato BT P0 = p0 * An A0 = P0 / cosfi0 Q0 = sqrt( A0.^2 - P0.^2 ) R0 = V1n^2 ./ P0 X0 = V1n^2 ./ Q0 X P0 A0 Q0 R0 X0 0 90 W 450 VA 440.9 VAr 1777 .8 Ω 362.8874 Ω 1 180 W 90 0 VA 881.8 VAr 888 .9 Ω 181.4437 Ω 2 270 W 1350 VA 1322.7 VAr 592 .6 Ω 120.9625 Ω 3 360 W 1800 VA 1763.6 VAr 444 .4 Ω 90.7218 Ω 4 450 W 2250 VA 2204.5 VAr 355 .6 Ω 72.5775 Ω 5 540 W 2700 VA 2645.4 VAr 296 .3 Ω 60.4812 Ω 6 630 W 3150 VA 3086.4 VAr 254 .0 Ω 51.8411 Ω 7 720 W 3600 VA 3527.3 VAr 222 .2 Ω 45.3609 Ω 8 810 W 4050 VA 3968.2 VAr 197 .5 Ω 40.3208 Ω 9 900 W 4500 VA 4409.1 VAr 177 .8 Ω 36.2887 Ω % Prova in corto circuito lato BT Pcc = pcc * An = 4500 W Acc = Pcc / cosficc = 10000 VA Qcc = sqrt( Acc^2 - Pcc^2 ) = 8930.3 VAr Rcc = Pcc / I1n^2 = 88.8889 mΩ Xcc = Qcc / I1n^2 = 176.4007 mΩ % Riporto dei valori in AT (non necessari per le soluzioni proposte) Rcc_AT = Rcc / k^2 = 55.5556 Ω Xcc_AT = Xcc / k^2 = 110.2504 Ω R0_AT = R0 / k^2 X0_AT = X0 / k^2 X R0_AT X0_AT 0 1111.1 kΩ 226.80 kΩ 1 555.6 kΩ 113.40 kΩ 2 370.4 kΩ 75.60 kΩ 3 277.8 kΩ 56.70 kΩ 4 222.2 kΩ 45.36 kΩ 5 185.2 kΩ 37.80 kΩ 6 158.7 kΩ 32.40 kΩ 7 138.9 kΩ 28.35 kΩ 8 123.5 kΩ 25.20 kΩ 9 111.1 kΩ 22.68 kΩ Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici %% Soluzione della rete con Boucherot % Sezione di carico VA = Vout = 8500 V IA = Iout = 5 A AA = Vout * Iout = 42500 VA PA = AA * cosfiOut = 34000 W QA = sqrt( AA^2 - PA^2 ) = 25500 VAr % Riporto in BT VB = VA * k = 340 V IB = IA / k = 125 A PB = PA = 34000 W QB = QA = 25500 VAr AB = AA = 42500 VA %% Modello a gamma in BT % Sezione interna trafo IC = IB = 125 A PC = PB + Rcc * IC^2 = 35389 W QC = QB + Xcc * IC^2 = 28256 VAr AC = sqrt( PC^2 + QC^2 ) = 45286 VA VC = AC / IC = 362.2852 V % Sezione ingresso trafo (BT) VD = VC = 362.2852 V PD = PC + VD^2 ./ R0 QD = QC + VD^2 ./ X0 AD = sqrt( PD.^2 + QD.^2 ) ID = AD ./ VD cosfiD = PD ./ AD X VD PD QD AD ID cosfi D 0 362.2852 V 35463 W 28618 VAr 45570 VA 125.7839 A 0.7782 1 362.2852 V 35537 W 28980 VAr 45855 VA 126.5711 A 0.7750 2 362.2852 V 35610 W 29341 VAr 46141 VA 127.3616 A 0.7718 3 362.2852 V 35684 W 29703 VAr 46429 VA 128.1553 A 0.7686 4 362.2852 V 35758 W 30065 VAr 46717 VA 128.9522 A 0.7654 5 362.2852 V 35832 W 30426 VAr 47007 VA 129.7522 A 0.7623 6 362.2852 V 35906 W 30788 VAr 47298 VA 130.5552 A 0.7591 7 362.2852 V 35980 W 31150 VAr 47590 VA 131.3613 A 0.7560 8 362.2852 V 36053 W 31511 VAr 47883 VA 132.1703 A 0.7529 9 362.2852 V 36127 W 31873 VAr 48177 VA 132.9821 A 0.7499 Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici %% Modello a gamma rovesciata in BT % Sezione interna trafo (BT) VC = VB PC = PB + VC^2 ./ R0 QC = QB + VC^2 ./ X0 AC = sqrt( PC.^2 + QC.^2 ) IC = AC ./ VC X VC PC QC Ac IC 0 340 V 34065 W 25819 VAr 42744 VA 125.7168 A 1 340 V 34130 W 26137 VAr 42988 VA 126.4367 A 2 340 V 34195 W 26456 VAr 43234 VA 127.1597 A 3 340 V 34260 W 26774 VAr 43481 VA 127.8858 A 4 340 V 34325 W 27093 VAr 43729 VA 128.6150 A 5 340 V 34390 W 27411 VAr 43978 VA 129.3470 A 6 340 V 34455 W 27730 VAr 44228 VA 130.0820 A 7 340 V 34520 W 28048 VAr 44479 VA 130.8199 A 8 340 V 34585 W 28367 VAr 44731 VA 131.5605 A 9 340 V 34650 W 28686 VAr 44983 VA 132.3040 A % Sezione ingresso trafo (BT) ID = IC PD = PC + Rcc * ID.^2 QD = QC + Xcc * ID.^2 AD =sqrt( PD.^2 + QD.^2 ) VD = AD ./ ID cosfiD = PD ./ AD X VD PD QD AD ID cosfi D 0 362.4659 V 35470 W 28607 VAr 45568 VA 125.7168 A 0.7784 1 362.6466 V 35551 W 28957 VAr 45852 VA 126.4367 A 0.7753 2 362.8273 V 35632 W 29308 VAr 46137 VA 127.1597 A 0.7723 3 363.0080 V 35714 W 29659 VAr 46424 VA 127.8858 A 0.7693 4 363.1887 V 35796 W 30011 VAr 46712 VA 128.6150 A 0.7663 5 363.3695 V 35877 W 30363 VAr 47001 VA 129.3470 A 0.7633 6 363.5502 V 35959 W 30715 VAr 47291 VA 130.0820 A 0.7604 7 363.7310 V 36041 W 31067 VAr 47583 VA 130.8199 A 0.7574 8 363.9117 V 36124 W 31420 VAr 47876 VA 131.5605 A 0.7545 9 364.0925 V 36206 W 31773 VAr 48171 VA 132.3040 A 0.7516