Mechanical Engineering - Principi di Ingegneria Elettrica

Full exam

©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici I dati numerici di questo problema dipendono dal PROPRIO codice persona, secondo lo schema seguente: 1 0 A B C X Y Z Esempio: Codice persona = 1 0 1 5 8 9 3 6 → X = 9 Y = 3 Z = 6 ESERCIZIO 1 (8 Punti) Sia data la rete di figura inizialmente in regime stazionario ed alimentata da generatori stazionari. L’istante t = 0 corrisponde alla chiusura dell’interruttore S. DATI: E 1 = 15 V R 1 = 5 Ω E 2 = 20 V R 2 = 10 Ω A 1 = 2 A R 3 = 15 + X Ω A 2 = 4 A R 4 = 4 Ω A 3 = 3 A R 5 = 16 Ω R 6 = 16 Ω L = 600 mH R 7 = 11 Ω Calcolare: • Il valore della tensione v R6(t) nell’istante precedente alla chiusura dell’interruttore S (t = 0 -). • Il valore della tensione v R6(t) nell’istante successivo alla chiusura dell’interruttore S (t = 0 +). • Il valore della tensione v R6(t) al termine del transitorio (t = +∞). • La costante di tempo del transitorio. • Il valore della corrente i(t) nell’istante di tempo t * = 45 ms. 1 0 A B C X Y Z X è la terzultima cifra del proprio codice persona R7 E2 R2 E1 R1 S R3 R4 A2 R5 R6 A1 A3 L i(t) vR6(t) ©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici = SOLUZIONE %% Preprocessing della rete per -inf < t < +inf % Resistenza equivalente dei resistori R5 ed R6 R56 = ( R5 * R6 ) / ( R5 + R6 ) = 8 Ω % Equivalente di Thevenin di E1, R1, E2, R2, A1, E3 Rth = ( R2 * ( R1 + R3 ) ) ./ ( R2 + ( R1 + R3 ) ) I = ( E1 + E2 - A1 * R3 ) ./ ( R1 + R2 + R3 ) Eth = R2 * I - E2 X Rth I Eht 0 6.6667 Ω= 0.1667 A = -18.3333 V = 1= 6.7742 =Ω= 0.0968 A = -19.0323 V = 2= 6.8750 =Ω= 0.0313 A = -19.6875 V = 3= 6.9697 =Ω= -0.0303 A = -20.3030 V = 4= 7.0588 =Ω= -0.0882 A = -20.8824 V = 5= 7.1429 =Ω= -0.1429 A = -21.4286 V = 6= 7.2222 =Ω= -0.1944 A = -21.9444 V = 7= 7.2973 =Ω= -0.2432 A = -22.4324 V = 8= 7.3684 =Ω= -0.2895 A = -22.8947 V = 9= 7.4359 =Ω= -0.3333 A = -23.3333 V = = %% Soluzione del circuito a t = 0- VAB_0m = ( Eth./(Rth+R4+R56) + A2 ) ./ ( 1./(Rth+R4+R56) + 1/R7 ) IL_0m = VAB_0m / R7 VR6_0m = ( VAB_0m - Eth ) * R56 ./ ( R4 + Rth + R56 ) X VAB_0m IL_0m VR6_0m 0 20.8876 V 1.8989 A 16.8090 V 1 20.7129 V 1.8830 A 16.9361 V 2 20.5502 V 1.8682 A 17.0544 V 3 20.3984 V 1.8544 A 17.1648 V 4 20.2564 V 1.8415 A 17.2681 V 5 20.1232 V 1.8294 A 17.3649 V 6 19.9982 V 1.8180 A 17.4559 V 7 19.8805 V 1.8073 A 17.5415 V 8 19.7695 V 1.7972 A 17.6222 V 9 19.6647 V 1.7877 A 17.6984 V %% Soluzione del circuito a t = 0+ IL_0p = IL_0m VAB_0p = ( Eth./(Rth+R56) + A2 - IL_0p ) ./ ( 1./(Rth+R56) ) VR6_0p = ( VAB_0p - Eth ) * R56 ./ ( Rth + R56 ) X IL_0m VAB_0p VR6_0p 0 1.8989 A 12.4831 V 16.8090 V 1 1.8830 A 12.2449 V 16.9361 V 2 1.8682 A 12.0230 V 17.0544 V 3 1.8544 A 11.8160 V 17.1648 V 4 1.8415 A 11.6223 V 17.2681 V 5 1.8294 A 11.4408 V 17.3649 V 6 1.8180 A 11.2702 V 17.4559 V 7 1.8073 A 11.1097 V 17.5415 V 8 1.7972 A 10.9584 V 17.6222 V 9 1.7877 A 10.8155 V 17.6984 V Nota: per LKI, la corrente circolante in R56 a t = 0+ � la stessa che\ circola in t = 0-; per ragioni topologiche la variabile di rete VR6 non ha discontinuit�. ©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici %% Soluzione del circuito a t = +inf VAB_inf = ( Eth./(Rth+R56) + A2 ) ./ ( 1./(Rth+R56) + 1/R7 ) IL_inf = VAB_inf / R7 VR6_inf = ( VAB_inf - Eth ) * R56 ./ ( Rth + R56 ) X VAB_inf IL_inf VR6_inf 0 17.2857 V 1.5714 A 19.4286 V 1 17.0989 V 1.5544 A 19.5645 V 2 16.9251 V 1.5386 A 19.6908 V 3 16.7631 V 1.5239 A 19.8086 V 4 16.6117 V 1.5102 A 19.9187 V 5 16.4699 V 1.4973 A 20.0219 V 6 16.3369 V 1.4852 A 20.1186 V 7 16.2117 V 1.4738 A 20.2097 V 8 16.0938 V 1.4631 A 20.2954 V 9 15.9825 V 1.4530 A 20.3763 V %% Costante di tempo e corrente in t* RthL = Rth + R56 + R7 tau = L ./ RthL i_t = ( IL_0m - IL_inf ) .* exp( -t./tau ) + IL_inf - A3 X RthL tau i_t 0 25.6667 Ω= 23.3766 ms = -1.3808 A = 1= 25.7742 =Ω= 23.2791 ms = -1.3980 A = 2= 25.8750 =Ω= 23.1884 ms = -1.4140 A = 3= 25.9697 =Ω= 23.1039 ms = -1.4290 A = 4= 26.0588 =Ω= 23.0248 ms = -1.4429 A = 5= 26.1429 =Ω= 22.9508 ms = -1.4560 A = 6= 26.2222 =Ω= 22.8814 ms = -1.4683 A = 7= 26.2973 =Ω= 22.8160 ms = -1.4798 A = 8= 26.3684 =Ω= 22.7545 ms = -1.4907 A = 9= 26.4359 =Ω= 22.6964 ms = -1.5009 A = ©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici I dati numerici di questo problema dipendono dal PROPRIO codice persona, secondo lo schema seguente: 1 0 A B C X Y Z Esempio: Codice persona = 1 0 1 5 8 9 3 6 → X = 9 Y = 3 Z = 6 ESERCIZIO 2 (7 Punti) Sia data la rete trifase di figura in regime alternato sinusoidale alla frequenza f = 50 Hz. DATI: E 1 = 300 V ϕ 1 = π/4 E 2 = 150 V ϕ 2 = 3π/4 E 3 = 240 V ϕ 3 = π R 1 = 50 Ω X L1 = 100 Ω R 2 = 30 Ω X L2 = 50 Ω R 3 = 40 Ω X C1 = 40+3∙Z Ω R 4 = 30 Ω X C2 = 20 Ω Calcolare: • L’andamento nel dominio del tempo della corrente i(t). • Il fasore rappresentativo della corrente letta dal wattmetro W. • Il fasore rappresentativo della tensione letta dal wattmetro W. • L’indicazione del Wattmetro. 1 0 A B C X Y Z Z è l’ultima cifra del proprio codice persona XL2 1E 2E 3E 1E 2E 3E ©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici = SOLUZIONE %% Fasori rappresentativi dei generatori E1 = 300 V E2 = 150 * exp( 1i*pi/4 ) = 106.07 +j106.07 V E3 = 240 * exp( -1i*3*pi/4 ) = -169.71 -j169.71 V %% Terna di correnti nei carichi monofase IR1 = E1 / R1 = 6 A IXC1 = E2 ./ ( -1i*XC1 ) = IXL1 = E3 / ( 1i*XL1 ) = -1.6971 +j1.6971 A Z IXC1 0 -2.6517 +j2.6517 A 1 -2.4667 + j2.4667 A 2 -2.3058 + j2.3058 A 3 -2.1646 + j2.1646 A 4 -2.0397 + j2.0397 A 5 -1.9285 + j1.9285 A 6 -1.8287 + j1.8287 A 7 -1.7388 + j1.7388 A 8 -1.6573 + j1.6573 A 9 -1.5831 + j1.5831 A %% Corrente nella fase 2 del carico trifase Z2 = R3 + ( 1i*XL2 * (-1i*XC2) ) / ( 1i*XL2 -1i*XC2 ) = 40.0000 -j33.3333 Ω VAB = ( E1/R2 + E2/Z2 + E3/R4 ) / ( 1/R2 + 1/Z2 + 1/R4 ) = 50.2295 -j41.8251 V IZ2 = ( E2 - VAB ) / Z2 = -0.9945 +j2.8685 A %% Corrente i(t) I = IXC1 + IZ2 Z I i(t) 0 -3.6462 + j5.5202 A i(t)=9.3559∙cos(314.15∙t+2.1545) = 1= -3.4612 + j5.3352 A = i(t)=8.9937∙cos(314.15∙t+2.1463) = 2= -3.3003 + j5.1743 A = i(t)=8.6793∙cos(314.15∙t+2.1386) = P= -3.1591 + j5.0331 A = i(t)=8.4039∙cos(314.15∙t+2.1313) = 4= -3.0342 + j4.9082 A = i(t)=8.1606∙cos(314.15∙t+2.1245) = 5= -2.9230 + j4.7970 A = i(t)=7.9442∙cos(314.15∙t+2.1181) = 6= -2.8232 + j4.6972 A = i(t)=7.7505∙cos(314.15∙t+2.1120) = 7= -2.7333 + j4.6073 A = i(t)=7.5760∙cos(314.15∙t+2.1062) = 8= -2.6518 + j4.5258 A = i(t)=7.4182∙cos(314.15∙t+2.1008) = V= -2.5776 + j4.4516 A = i(t)=7.2747∙cos(314.15∙t+2.0957) = = ©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici %% Lettura del wattmetro VW = -VAB = -50.2295 +j41.8251 V IW = IR1 + IXC1 + IXL1 P = real( VW * conj( IW ) ) Z IW P 0 1.6513 +j4.3487 A 98.9415 W 1 1.8363 +j4.1637 A 81.9115 W 2 1.9972 +j4.0028 A 67.1028 W 3 2.1383 +j3.8617 A 54.1074 W 4 2.2632 +j3.7368 A 42.6115 W 5 2.3745 +j3.6255 A 32.3697 W 6 2.4742 +j3.5258 A 23.1874 W 7 2.5642 +j3.4358 A 14.9083 W 8 2.6457 +j3.3543 A 7.4053 W 9 2.7199 +j3.2801 A 0.5742 W ©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici I dati numerici di questo problema dipendono dal PROPRIO codice persona, secondo lo schema seguente: 1 0 A B C X Y Z Esempio: Codice persona = 1 0 1 5 8 9 3 6 → X = 9 Y = 3 Z = 6 ESERCIZIO 3 (7 Punti) Siano dati il circuito magnetico e la rete alimentata da generatori stazionari di figura. DATI: E 1 = 40 V R 1 = 10 Ω E 2 = 20 + Y V R 2 = 5 Ω A = 2 A R 3 = 8 Ω R 4 = 2 Ω δ 1 = 2 mm N 1 = 200 δ 2 = 1 mm N 2 = 100 δ 3 = 5 mm A Fe = 8 cm² μ 0 = 4∙π∙10 -7 H/m Calcolare: • Il valore dell’autoinduttanza associata all’avvolgimento di N 1 spire, L 11. • Il valore dell’autoinduttanza associata all’avvolgimento di N 2 spire, L 22. • Il valore della mutua induttanza, M. • Il valore della corrente che circola nell’avvolgimento di N 1 spire. • Il valore della corrente che circola nell’avvolgimento di N 2 spire. • Il valore della forza complessiva (modulo, direzione e verso) agente sulla parte di circuito magnetico indicata dal simbolo (▪). 1 0 A B C X Y Z Y è la penultima cifra del proprio codice persona N2 feA ©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici = SOLUZIONE %% Caratterizzazione circuito magnetico Rd1 = 1/mu0 * delta1 / Afe = 1.9894∙10 6 H -1 Rd2 = 1/mu0 * delta2 / Afe = 9.9472∙10 5 H -1 Rd3 = 1/mu0 * delta3 / Afe = 4.9736∙10 6 H -1 Rc = Rd1/2 + Rd2 = 1.9894∙10 6 H -1 % Calcolo delle autoinduttanze ReqN1 = Rc = 1.9894∙10 6 H -1 ReqN2 = Rc * Rd3 / ( Rc + Rd3 ) = 1.4210∙10 6 H -1 L11 = N1^2 / ReqN1 = 20.1062 mH L22 = N2^2 / ReqN2 = 7.0372 mH % Calcolo della mutua induttanza (attivo N1 e valuto flusso in N2) M = N1 * N2 / ReqN1 = 10.0531 mH % Calcolo della mutua induttanza (attivo N2 e valuto flusso in N1) M = N1 * N2 / ( ReqN2 * ( ( Rd3 + Rc ) / Rd3 ) ) = 10.0531 mH %% Circuito elettrico % Equivalente di Thevenin di E2, R3, A ed R4 ETH = E2 + R3 * A RTH = R3 = 8 Ω % Soluzione del circuito e correnti entranti ai morsetti contrassegnati VAB = ( E1/R2 - ETH/RTH ) + ( 1/R1 + 1/R2 + 1/RTH ) IN1 = -VAB / R1 IN2 = ( ETH + VAB ) / RTH Y ETH VAB IN1 IN2 0 36 V 8.2353 V -0.8235 A 5.5294 A 1 37 V 7.9412 V -0.7941 A 5.6176 A 2 38 V 7.6471 V -0.7647 A 5.7059 A 3 39 V 7.3529 V -0.7353 A 5.7941 A 4 40 V 7.0588 V -0.7059 A 5.8824 A 5 41 V 6.7647 V -0.6765 A 5.9706 A 6 42 V 6.4706 V -0.6471 A 6.0588 A 7 43 V 6.1765 V -0.6176 A 6.1471 A 8 44 V 5.8824 V -0.5882 A 6.2353 A 9 45 V 5.5882 V -0.5588 A 6.3235 A %% Circuito magnetico e calcolo delle forze % Flusso nella parte centrale del nucleo FIc = ( N2*IN2 + N1*IN1 ) / Rc % Flusso al traferro delta2 FI2 = FIc / 2 % Flusso ai traferri delta1 FI1 = FIc / 2 % Forza (unica componente lungo l'asse y) Fy = 2 * ( FI1.^2 / ( 2 * mu0 * Afe ) ) - FIc.^2 / ( 2 * mu0 * Afe ) Y FIc FI 1 = FI2 Fy 0 195.1483 μWb 97.5742 μWb -9.4704 N 1 202.5403 μWb 101.2702 μWb -10.2015 N 2 209.9323 μWb 104.9662 μWb -10.9597 N 3 217.3243 μWb 108.6621 μWb -11.7451 N 4 224.7163 μWb 112.3581 μWb -12.5577 N 5 232.1083 μWb 116.0541 μWb -13.3974 N 6 239.5002 μWb 119.7501 μWb -14.2644 N 7 246.8922 μWb 123.4461 μWb -15.1585 N 8 254.2842 μWb 127.1421 μWb -16.0797 N 9 261.6762 μWb 130.8381 μWb -17.0282 N