Mechanical Engineering - Principi di Ingegneria Elettrica

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Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici ESERCIZIO 1 (8 Punti) Si consideri il circuito con ingressi stazionari indicato in figura. Dati: E1 = 50 V R1 = 3 Ω N1 = 150 E2 = 30 V R2 = 10 Ω N2 = 250 E3 = 40 V R3 = 5 Ω δ1 = δ2 = δ3 = 2 mm R4 = 8 Ω Afe = 10 cm 2 µFe = +  µ0 = 4 ∙10 -7 H/m Si determinino: -I coefficienti di auto e mutua induttanza , e si individuino i morsetti contrassegnati. - Le correnti circolanti nelle due bobine , nel verso indicato in figura, e l’energia accumulata . - La forza agente al traferro δ1 sulla parte centrale (a forma di T) del nucleo , in modulo, direzione e verso. ESERCIZIO 2 (7 Punti) Sia data la rete trifase indicata in figura alimentata alla frequenza f di 50 Hz . Dati: E1 = E 2 = E 3 = 200 V δ1 = (3/ 4)∙π δ2 = π/2 R1 = 50 Ω L1 = 80 mH R2 = 80 Ω L2 = 160 mH C1 = 80 µF L3 = 240 mH Si determinino: - Le potenze attiva e reattiva generate dal generatore di tensione ideale E 1. - La potenza attiva e reattiva elaborate dal lato di rete formato dalla serie R 1-C1. ESERCIZIO 3 (7 punti) Ad un trasformatore monofase di potenza nominale A n = 50 kVA e rapporto di trasformazione k = V1n/V 20 = 6000 V/230 V, f n = 50 Hz, sono connessi al secondario due carichi, C 1 e C 2, alimentati alla tensione V2 = 240 V. In queste condizioni i l carico C1 assorbe una potenza apparente S 1 = 30 kVA con fattore di potenza cos( 1) = 0.85 (rit.) ed il carico C 2 assorbe una corrente I 2 = 85 A con un fattore di potenza cos (2) = 0, 95 (ant .). La prova di corto circuito e la prova a vuoto hanno fornito i seguenti risultati: - Prova di corto circuito: vcc% = 6 % cos( cc) = 0, 3 - Prova a vuoto: io% = 0,7 % po% = 0, 3 % Si determinino la tensione di alimentazione V 1, la corrente I 1 ed il cos( 1) misurati al primario del trasformatore. TEORIA (4 punti + 4 punti) 1. Illustrare il teo rema fondamentale dell’elettrotecnica ed e semplificare , con riferimento ad una rete con almeno due nodi e tre lati , il metodo di Kirchhoff (o tableau sparso) per la soluzione delle reti elettriche . 2. Dedurre, con riferimento ad un circuito serie R -L-C, il teorema di Kennelly -Steinmetz ed illustrare le condizioni necessarie per l’applicabilità del metodo fasoriale all’analisi delle reti elettriche. E1 E2 E3 C1 R2 R1 L3 L2 R1 L1 C1 E2 E3 E1 δ1 δ2 Re N1 N2 d1 d3 d2 R2 R3 E1 R1 R4 E2 E3 x y I1 I2fe A Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici ESERCIZIO 1 %% Soluzione del circuito magnetico Rd = 1 / mu0 * Delta / Afe = 1.5915e+06 L1 = 2/3 * N1^2 / Rd = 9.4248 mH L2 = 2/3 * N2^2 / Rd = 26.1799 mH Lm = 1/3 * N1 * N2 / Rd = 7.8540 mH %% Soluzione del circuito elettrico % Equivalente di Thévenin del bipolo E2 E3, R3, R4 Req1 = ( R3 * R4 ) / ( R3 + R4 ) = 3.0769 Ω Eeq1 = E3 * R3 / ( R3 + R4 ) + E2 = 45.3846 V % Calcolo della corrente entrante al morsetto contrassegnato di avv. 1 VAB = ( E1/R1 + Eeq1/Req1 ) / ( 1/R1 + 1/R2 + 1/Req1 ) = 41.4286 V I1 = ( E1 - VAB ) / R1 = 2.8571 A % Equivalente di Thévenin del bipolo E1 E2, R3, R4 Req2 = ( R1 * R2 ) / ( R1 + R2 ) = 2.3077 Ω Eeq2 = E1 * R2 / ( R1 + R2 ) - E2 = 8.4615 V % Calcolo della corrente entrante al morsetto contrassegnato di avv. 1 VCD = ( E3/R4 + Eeq2/Req2 ) / ( 1/R4 + 1/R3 + 1/Req2 ) = 11.4286 V I2 = ( VCD – E3 ) / R4 = -3.5714 A % Energia immagazzinata W = 1/2 * L1 * I1^2 + 1/2 * L2 * I2^2 + Lm * I1 * I2 = 125.289 mJ %% Calcolo della forza % Soluzione della rete binaodale UPQ = ( N1*I1 / Rd - N2*I2 / Rd ) / ( 3/Rd ) = 440.4762 Asp FI = UPQ / Rd = 276.76 µWb F = FI^2 / ( 2 * mu0 * Afe ) = 30.4765 N Fx = -F = -30.4765 N Fy = 0 N ESERCIZIO 2 %% Definizione della terna di fasori E1 = E = 200 V E2 = E * exp( -1i * delta1 ) = -141 .42 -j141 .42 V E3 = E * exp( 1i * delta2 ) = +j200 V %% Definizione delle impedenze % Il ramo R1 - C1 è in parallelo ad un corto circuito ( P = 0; Q = 0 ) omega = 2 * pi * f = 314.1593 rad/s ZA = R2 + 1i * omega * L2 = 80 + j50.2655 Ω ZB = 1i * omega * L3 = +j75.3982 Ω ZC = 1i * omega * L1 + 1 / ( 1i * omega * C1 ) = -j14.6560 Ω Z12 = ( ZA * ZC ) / ( ZA + ZC ) = 2.2410 -j15.6535 Ω Z13 = ( ZB * R1 ) / ( ZB + R1 ) = 34.7280 + j23.0297 Ω %% Soluzione del circuito I12 = ( E1 - E2 ) / Z12 = -5.7932 +22.6406i I12 = ( E1 - E3 ) / Z13 = 1.3474 - 6.6526i IE1 = I12 + I12 = -4.4458 +15.9880i %% Calcolo delle potenze SE1 = E1 * conj( IE1 ) = -889 .17 -j3197 .6 VA PE1 = real( SE1 ) = -889.1651 W QE1 = imag( SE1 ) = -3197 .6 VAr Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici ESERCIZIO 2 %% Caratterizzazione trafo % Correnti nominali I1n = An / V1n = 8.3333 A I2n = An / V2n = 217.3913 A % Rapporto di trasformazione k = V1n / V2n = 26.0870 % Prova a vuoto lato BT P0 = p0 * An = 150 W I0 1 = i0 * I1 n = 0.0583 A A0 = I0 * V1 n = 350 VA Q0 = sqrt( A0^2 - P0 ^2 ) = 316.2278 VA R0 1 = V1 n^2 / P0 = 240 kΩ X0 1 = V1 n^2 / Q0 = 113. 84 kΩ % Prova in corto circuito lato BT Vcc = vcc * V2n = 13.8000 V Acc = Vcc * I2n = 3000 VA Pcc = Acc * cosficc = 900 W Qcc = sqrt( Acc^2 - Pcc^2 ) = 2861 .8 VAr Rcc = Pcc / (I2n.^2) = 19.0440 mΩ Xcc = Qcc / (I2n.^2) = 60.5561 mΩ %% Soluzione della rete con Boucherot % Sezione del carico AA VA = 240 V PA = SC1 * cosfiC1 + VA * I2 * cosfiC2 = 44 .880 kW QA = SC1 * sin( acos ( cosf iC1)) - VA * I2 * sin( acos (cosfiC2) ) = 9.4336 kVAr AA = sqrt( PA^2 + QA^2 ) = 45.861 kVA IA = AA / VA = 191.0864 A % Soluzione con modello con ramo derivato sul primario e ramo serie sul secondario % Sezione BB (carico + rifasamento + Zcc) IB = IA = 191.0864 A PB = PA + Rcc * IB^2 = 45.575 kW QB = QA + Xcc * IB^2 = 11.645 kVAr AB = sqrt( PB^2 + QB^2 ) = 47.039 kVA VB = AB / IA = 246.1687 V VB_Primario = 6.4218 kV % Sezione CC (carico + rifasamento + Zcc + Z0) VC = VB _Primario = 246.1687 V PC = PB + VC^2 / R0 = 45.747 kW QC = QB + VC^2 / X0 = 12.007 kVAr AC = sqrt( PC^2 + QC^2 ) = 47.297 kVA IC = AC / VB = 7.3650 A cosfiC = PC / AC = 0.9672