Mechanical Engineering - Principi di Ingegneria Elettrica

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Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici ESERCIZIO 1 (7 Pun ti) Sia data la rete inizialmente in regime stazionario indicata in Figura. All’istante t = 0 si apre l’interruttore S. E1 = 25 V E2 = 20 V A = 10 A R1 = 10 Ω R2 = 15 Ω R3 = 12 Ω R4 = 6 Ω R5 = 10 Ω R6 = 5 Ω C = 700 µF Si determini l’espressione nel tempo della corrente i(t) (inclusa la costante di tempo) nell’intervallo [0 -; + ∞) e se ne rappresenti l’andamento qualitativo. ESERCIZIO 2 (7 Punti) Sia data la rete indicata in Figura alimentata in reg ime altern ato sinusoidale alla frequenza f di 50 Hz. Dati: R1 = 50 Ω R2 = 20 Ω L1 = 250 mH L2 = 100 mH C1 = 800 µF C2 = 1 mF Si determini l’espressione fasoriale e l’espressione nel tempo della corrente i(t) . ESERCIZIO 3 (8 Punti) Sia data la rete indicata in Figura alimentata in regime stazionario. Dati: E1 = 6 0 V N1 = 100 R1 = 10 E2 = 3 0 V N2 = 200 R2 = 8 Ω E3 = 4 0 V δ1 = 4 mm R3 = 6 Ω δ2 = 2 mm R4 = 10 Ω Afe = 8 cm ² R5 = 6 Ω R6 = 5 Ω µ0 = 4 ∙π∙10 -7 H/m R7 = 10 Ω Si determinino i parametri di auto e mutua induttanza (compresi i morsetti contrassegnati), l’energia accumulata ed il modulo dell’induzione al traferro δ1 identificato dal simbolo (▪). Domande di teoria (4 Punti + 4 Punti ) 1. Teoremi di Thevenin e Norton . Enunciato e dimostrazioni . 2. Modello semplificato del trasformatore monofase . Significato fisico degli elementi circuitali. Illustrare le prove per la determinazione dei parametri. 2 50 sin( 2 ( /) ) t et     1 2 5 cos( () / 3) t at     2 2 3 cos( () / 4) t at     E1 d1 d2 d2 d1 ( ) E2 E3 R1 R2 R3 N2 N1 R4 R5 R6 R7fe A R1 S E1 C R2 R5 A R4 R3 i(t) R6 E2 C1 i(t) R1 L1 L2 C2 R2E 1 A 2 A Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici ESERCIZIO 1 %% Soluzione del circuito a t = 0 - % Preprocessing Equivalente Thevenin generatore reale I ( A, R5 ) Eeq_0m = A * R5 = 100 V Req_0m = R5 = 10 Ω % Variabile di rete VAB_0m = ( Eeq_0m/(Req_0m+R2) -E2/R3 ) / ( 1/(Req_0m+R2)+1/R3+1/R4 ) = 8.0460 V I_0m = ( VAB_0m + E2 ) / R3 = 2.3372 A % Variabile di stato VR2_0m = ( VAB_0m - Eeq_0m ) * R2 / ( R2 + Req_0m ) = -55.1724 V VC_0m = VR2_0m + E1 = -30.1724 V %% Soluzione a t = 0+ VC_0p = VC_0m = -30.1724 V % Preprocessing: Equivalente Thevenin generatore reale I ( A, R5, R6 ) Eeq_0p = A * ( R5 + R6 ) = 150 V Req_0p = R5 + R6 = 15 Ω % Preprocessing: Equivalente di thevenin di E1, R1, R2 e C ETH = ( E1 - VC_0p ) * R2 / ( R1 + R2 ) = 33.1034 V RTH = ( R1 * R2 ) / ( R1 + R2 ) = 6 Ω % Variabile di rete: disaccoppiamento e analisi di rete binodale VAB_0 p = ((Eeq_0p -ETH)/(Req_0m+RTH) -E2/R3)/(1/(Req_0m+RTH)+1/R3+1/R4 ) = 13.1034 V I_0p = ( VAB_0p + E2 ) / R3 = 2.7586 A %% Soluzione a t = +inf % Preprocessing: Equivalente Thevenin generatore reale I ( A, R5, R6 ) % identico a quanto calcolato in t = 0+ % Preprocessing: Stessa topologia di rete studiata in t = 0 - % Variabile di rete VAB_inf = ( Eeq_0p/(Req_0p+R2) -E2/R3 ) / ( 1/(Req_0p+R2)+1/R3+ 1/R4 ) = 11.7647 V I_inf = ( VAB_inf + E2 ) / R3 ) = 2.6471 A % Variabile di stato VR2_inf = ( VAB_inf - Eeq_0p ) * R2 / ( R2 + Req_0p ) = -69.1176 V VC_inf = VR2_inf + E1 = -44.1176 V %% Costante di tempo R3456 = ( R3 * R4 ) / ( R3 + R4 ) + R5 + R6 = 19 Ω Req_C = R1 + ( R2 * R3456 ) / ( R 2 + R3456 ) = 18.3824 Ω tau = Req_C * C = 12.8676 ms Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici ESERCIZIO 2 %% Definizione dei fasori E = 50 * exp( 1i * ( +pi/2 -pi/2 ) ) = 50 V A1 = 5 * exp( 1i * ( -pi/3 ) ) = 2.5000 -j4.3301 A A2 = 3 * exp( 1i * ( +pi/4 ) ) = 2.1213 +j 2.1213 A %% Calcolo delle impedenze ZL1 = 1i * omega * L1 = j 78.5398 Ω ZL2 = 1i * omega * L2 = j 31.4159 Ω ZC2 = -1i / ( omega * C2 ) = j 3.1831 Ω ZRC = R1 -1i / ( omega * C1 ) = 50.0000 -j3.9789 Ω %% Soluzione % Equivalente di Thevenin ai capi del corto circuito - Tensione a vuoto % Calcolo di VL1 VL1 = A1 * ZL1 = 340 .09 + j1 96 .35 V % Calcolo di VR2 (semplifico la rete con equivalente della parte a sinistra) Eeq = A1 * ZRC – E = 57 .771 -j226 .45 V Zeq = ZL2 + ZRC = 50.0000 + j27.4371 Ω VA B = ( Eeq/Zeq - A2 ) / ( 1/Zeq + 1/(R2+ZC2) ) = -48.0089 -j95.4511 V VR2 = VAB * R2 / ( R2 + ZC2 ) = -32.007 -j100 .55 V % Tensione a vuoto ETH = VL1 + E + VR2 = 3 58 .08 +j 95 .804 V % Equivalente di Thevenin ai capi del corto circuito - Impedenza equivalente ZTH = ZL1 + ( R2* (ZRC+ZL2+ZC2)) / (R2 +(ZRC+ZL2+ZC2) ) = 14.8982 + j80.3075 Ω % Calcolo della corrente nel corto circuito I = ETH / ZTH = 1.9529 -j4.0966 A i(t) = √2 ∙ 4.5383 ∙ cos( 314.15 ∙ t - 1.1259 ) Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici ESERCIZIO 3 %% Caratterizzazione del mutuo induttore (approccio generale) % Riluttanze dei traferri Rd1 = 1 / mu0 * delta1 / Afe = 3.9789 ∙ 10 6 H-1 Rd2 = 1 / mu0 * delta2 / Afe = 1.9894 ∙ 10 6 H-1 % Calcolo delle autoinduttanze Req1 = Rd1 + ( Rd1 * ( Rd2 + Rd2 ) ) / ( Rd1 + ( Rd2 + Rd2 ) ) = 5.9683 ∙ 10 6 H-1 Req2 = Rd2 + Rd2 + ( Rd1 * Rd1 ) / ( Rd1 + Rd1 ) = 5.9683 ∙ 10 6 H-1 L11 = N1^2 / Req1 = 1.6755 mH L22 = N2^2 / Req2 = 6.7021 mH % Calcolo della mutua induttanza (Ψ 1/I 2 con I 1 = 0) LM = N1 * N2 / ( Req2 * ( Rd1 + Rd1 ) / Rd1 ) = 1.6755 mH % Calcolo della mutua induttanza (Ψ 2/I 1 con I 2 = 0) LM = N1 * N2 / ( Req1 * ( Rd1 + ( Rd2 + Rd2 ) ) / ( Rd2 + Rd2) ) = 1.6755 mH %% Caratterizzazione del mutuo induttore (approccio particolare per nucleo ad M con tre traferri uguali ) Rd = Rd1 = 3.9789 ∙ 10 6 H-1 L11 = N1^2 / ( 3/2 * Rd ) = 1.6755 mH L22 = N2^2 / ( 3/2 * Rd ) = 6.7021 mH LM = N1 * N2 / ( 3 * Rd ) = 1.6755 mH %% Soluzione parte elettrica IR7 = E1 / R7 = 6 A IR6 = ( E1 - E3 ) / R6 = 4 A IR5 = ( E1 - E2 ) / R5 = 5 A R14 = ( R1 * R4 ) / ( R1 + R4 ) = 5 Ω VAB = ( E1/R14 + E2/R2 + E3/R3 ) / ( 1/R14 + 1/R2 + 1/R3 ) = 45.5932 V IR4 = ( E1 - VAB ) / R4 = 1.4407 A IR1 = ( E1 - VAB ) / R1 = 1.4407 A I2 = IR4 + IR5 + IR6 + IR7 = 16.4407 A I1 = I2 + IR1 = 17.8814 A %% Energia Immagazzinata W = 1/2 * L11 * I1^2 + 1/2 * L22 * I2^2 + LM * I1 * I2 = 1.6662 J %% Calcolo dell'induzione al traferro Uab = (N1*I1/Rd1 - N2*I2/(Rd2+Rd2)) / (1/Rd1 + 1/Rd1 +1/(Rd2+Rd2)) = -500 Asp Fi = Uab / Rd1 = 125.66 μWb |B| = |Fi| / Afe = 0.1571 T