Mechanical Engineering - Principi di Ingegneria Elettrica

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©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici ESERCIZIO 1 (7 Punti) Sia data la rete trifase di figura funzionate a 50 Hz. Dati: E 1 = E 2 = E 3 = 150 V Sfasamenti in figura A = 5 A Sfasamenti in figura R = 10 Ω X C = 15 Ω X L = 25 Ω Si determinino la potenza attiva, reattiva e apparente generate da E 1. ESERCIZIO 2 (8 Punti) Sia data la rete inizialmente in regime stazionario ed alimentata da generatori stazionari indicata in Figura. All’istante t = 0 si chiude l’interruttore S. Dati: E 1 = 10 V R 1 = 20 Ω R 4 = 40 Ω E 2 = 40 V R 2 = 8 Ω R 5 = 40 Ω A 1 = 4 A R 3 = 12 Ω C = 250 µF Determinare l’andamento nel tempo della corrente i(t), inclusa la costante di tempo. ESERCIZIO 3 (7 Punti) Sia dato un trasformatore caratterizzato dai seguenti dati: Potenza nominale: A n = 30 kVA Rapporto di trasformazione: k = V 1n/V 20 = 15 kV/230 V Risultati della prova a vuoto (svolta a frequenza nominale): Corrente: i 0% = 0.5 % Fattore di potenza: cos(ϕ 0) = 0.3 (rit) Risultati della prova in corto circuito (svolta a frequenza nominale): Tensione: v cc% = 4 % Fattore di potenza: cos(ϕ cc) = 0.6 (rit) Questo trasformatore alimenta, a frequenza nominale, un carico caratterizzato dai seguenti valori: Tensione al secondario: V 2 = 210 V Corrente al secondario: I 2 = 50 A cosϕ al secondario: cos(ϕ 2) = 0.9 Determinare tensione, corrente e fattore di potenza ai morsetti del primario nelle condizioni di funzionamento a carico qui sopra riportate. TEORIA (4 punti + 4 punti) 1. Si illustrino il teorema di Thevenin e il teorema di Norton. 2. Potenze in regime sinusoidale. Si illustri il teorema di Boucherot. Re π/2 E1 2π/3 π/2 A E3 E2 E2 XL XC R E1 XC E3 A R XL XC R R R1 R2 R3 R4 R5 C A1 E1 E2 S i(t) ©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici ESERCIZIO 1 %% Definizione delle impedenze E1 = 150 V E2 = 150 * exp( -1i * 2 * pi / 3 ) = -75 -j129.90 V E3 = 150 * exp( 1i * pi / 2 ) = j150 V A = -5 A ZC = -1i * XC = -j15 Ω ZL = 1i * XL = j25 Ω %% Soluzione della rete Eeq = -A * ZC = -j75 V Zeq = R + ZC = 10 -j15 Ω VOA = (E1/ZC+E2/(R+ZL)+E3/R) / (1/ZC+1/(R+ZL)+1/R) = 14.496 + j222.58 V VOB = (E1/R+E2/ZC+E3/ZL+Eeq/Zeq) / (1/R+1/ZC+1/ZL+1/Zeq) = 169.58 – 150.31 V IE1A = ( E1 - VOA ) / ZC = 14.8386 + j9.0336 A IE1B = ( E1 - VOB ) / R = -1.9580 + j15.0315 A IE1 = IE1A + IE1B = 12.8806 +j24.0651 A %% Potenze SE1 = E1 * conj( IE1 ) = 1.9321 - j3.6098 kVA PE1 = real( SE1 ) = 1.9321 kW QE1 = imag( SE1 ) = -3.6098 kVAr AE1 = abs( SE1 ) = 4.0943 kVA ESERCIZIO 2 %% Soluzione a t = 0- VR1_0m = ( A1 + E2 / ( R2 + R3 ) ) / ( 1 / R1 + 1 / ( R2 + R3 ) )\ = 60 V I_0m = ( E2 - VR1_0m ) / ( R2 + R3 ) = -1 A VR3_0m = I_0m * R3 = -12 V VC_0m = VR1_0m + VR3_0m = 48 V %% Soluzione a t = 0+ VC_0p = VC_0m = 48 V I_0p = ( E2 - VC_0p ) / R2 = -1 A %% Soluzione a t = +inf I_inf = ( E2 - E1 ) / ( R2 + R3 ) = 1.5 A VC_inf = E1 + R3 * I_inf = 28 V %% Costante di tempo Req = ( R2 * R3 ) / ( R2 + R3 ) = 4.8 Ω tau = Req * C = 1.2 ms ©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici ESERCIZIO 3 %% Caratterizzazione trafo % Correnti nominali I1n = An / V1n = 2 A I2n = An / V2n = 130.4348 A % Rapporto di trasformazione k = V1n / V2n = 65.2174 % Prova a vuoto lato BT I0 = i0 * I2n = 0.6522 A A0 = I0 * V2n = 150 VA P0 = A0 * cosfi0 = 45 W Q0 = sqrt( A0.^2 - P0.^2 ) = 143.0909 VAr R0 = V2n^2 / P0 = 1175.6 Ω X0 = V2n^2 / Q0 = 369.6951 Ω % Prova in corto circuito lato BT Vcc = vcc * V2n = 9.2000 V Acc = Vcc * I2n = 1200 VA Pcc = Acc * cosficc = 720 W Qcc = sqrt( Acc.^2 - Pcc.^2 ) = 960 VAr Rcc = Pcc / I2n^2 = 42.3200 mΩ Xcc = Qcc / I2n^2 = 56.4267 mΩ % Riporto dei valori lato AT (non necessari per le soluzioni proposte)\ R0_1 = k^2 * R0 = 5 MΩ X0_1 = k^2 * X0 = 1.5724 MΩ Rcc_1 = k^2 * Rcc = 180 Ω Xcc_1 = k^2 * Xcc = 240 Ω %% Soluzione della rete con Boucherot % Sezione del carico AA VA = Vc = 210 V IA = Ic = 50 A AA = VA * IA = 10.5 kVA PA = AA * cosfic = 9.45 kW QA = sqrt( AA^2 - PA^2 ) = 4.5768 kVAr % Soluzione con modello a gamma (ramo derivato a monte) % Sezione BB (carico + Zcc) IB = IA = 50 A PB = PA + Rcc * IB^2 = 9.5558 kW QB = QA + Xcc * IB^2 = 4.7179 kVA AB = sqrt( PB^2 + QB^2 ) = 10.657 kVA VB = AB / IA = 213.1403 V % Sezione CC (carico + Zcc + Z0) VC = VB = 213.1403 V PC = PB + VC^2 / R0 = 9.5944 kW QC = QB + VC^2 / X0 = 4.8408 kVAr AC = sqrt( PC^2 + QC^2 ) = 10.746 kVA IC = AC / VB = 50.4197 A cosfiC = PC / AC = 0.8928 ©Prof. Alberto Dolara – All rights reserverd Principi di Ing. Elettrica - Allievi Meccanici % Sezione DD (lato AT del trasformatore) % potenze e cosfi in D sono uguali a quelli in C: il trasformatore ideale % non altera le potenze VD = k * VC = 13.900 kV ID = IC /k = 0.7731 A % Soluzione con modello a gamma rovesciata (ramo derivato a valle) % Sezione BB (carico + Z0) VB = VA = 210 V PB = PA + VB^2 / R0 = 9.4875 kW QB = QA + VB^2 / X0 = 4.6961 kVAr AB = sqrt( PB^2 + QB^2 ) = 10.586 kVA IB = AB / VB = 50.4102 A % Sezione CC (carico + Zcc + Z0) IC = IB = 50.4102 A PC = PB + Rcc * IC^2 = 9.5951 kW QC = QB + Xcc * IC^2 = 4.8395 kVAr AC = sqrt( PC^2 + QC^2 ) = 10.746 kVA VC = AC / IC = 213.1798 V % Sezione DD (lato AT del trasformatore) % potenze e cosfi in D sono uguali a quelli in C: il trasformatore ideal\ e % non altera le potenze VD = k * VC = 13.903 kV ID = IC /k = 0.7730 A