Mechanical Engineering - Misure Termiche e Meccaniche

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Esercizi II prova in itinere e I I appello ( 06 /0 7/2022 ) Esercizio 1 (II parziale e appello) Un segnale analogico con la seguente espressi one analitica Ġ(ߖ)ි Ͻ− Ϻ܊߅ėě (Ѐϼ ˔܊ߖ+ ˔ Ϻ)+ ϻ܊ߕđĖ (Ϻ˔܊ϽϽ ܊ߖ− ˔ ϻ)+ ϻ܊߅ėě (Ϻ˔܊Ͽϸ ܊ߖ) viene processato con un filtro analogico la cui funzione di risposta in frequenza è rappresentata in figura. Il seg nale ߛ஻(ߖ) in uscita dal filtro viene s uccessivamente campionato con un convertitore AD che impiega una frequenza di campionamento pari a 40 Hz . Si richiede di: a) Rappresentare lo spettro del segnale analogico originale b) Rappresentare lo spettro del segnale a valle del filtro c) Rappresentare lo spettro del segnale digitale ottenuto dalla conversione AD d) Spiegare se ed eventualmente come, nel caso sp ecifico proposto, è possibile ricostruire lo spettro corretto del segnale ߛ஻(ߖ) noto lo spettro del segnale campionato. NB. La fase del filtro è lineare rispetto alla frequenza e crea uno sfasamento di un giro in 100 Hz. Soluzione Il segnale analogico or iginale è formato da quattro componenti, una costante e tre armoniche . Per le componenti armoniche i procede riarrangiando l’espressione in “forma canonica” del tipo ީ ߅ߑߕ (Ϻ˔߈܊ߖ+ ˚): −Ϻ܊߅ߑߕ (Ѐϼ ˔܊ߖ+ ˔ Ϻ)ි Ϻ܊߅ߑߕ (Ϻ˔܊ϼϺ ܊ߖ+ ˔ Ϻ− ˔)ි Ϻ܊߅ߑߕ (Ϻ˔܊ϼϺ ܊ߖ− ˔ Ϻ) ϻ܊ߕߋߐ (Ϻ˔܊ϽϽ ܊ߖ− ˔ ϻ− ˔)ි ϻ܊߅ߑߕ (Ϻ˔܊ϽϽ ܊ߖ− ˔ ϻ− ˔ Ϻ)ි ϻ܊߅ߑߕ ෲϺ˔܊ϽϽ ܊ߖ− Ͻ˔ Ͼ෶ Il segnale analitico è allora: Ġ(ߖ)ි Ͻ− Ϻ܊߅ėě (Ϻ˔܊ϼϺ ܊ߖ− ˔ Ϻ)+ ϻ܊߅ߑߕ ෲϺ˔܊ϽϽ ܊ߖ− Ͻ˔ Ͼ෶+ ϻ܊߅ėě (Ϻ˔܊Ͽϸ ܊ߖ) Si possono ora ricavare le informazioni su ampiezza e fase necessarie per rappresentare lo spettro: Segnale analitic o originale Componente f [Hz] A ॖ[п] 1 0 5 0 2 42 2 -90 3 55 3 -150 4 70 3 0 Il segnale originale viene quindi processato dal filtro , che azzera l’ampiezza delle componenti minori di 40Hz e maggiori di 60Hz . Le componenti tra 40 e 60Hz sono invece amplificate di un fattore 2. Il filtro introduce inoltre un ritardo di fa se proporzionale alla frequenza dell’armonica . Dal grafico è possibile ottenere il coefficiente di proporzionalità tra ritardo e frequenza: ˚௒ි −ϻϾϸп Ϲϸϸ ްߜ ܊߈ි −ϻɪϾ[пʆްߜ ]܊߈ Si calcola quindi il ritardo per la seconda e la terza componente (la prima e l’ultima vengono azzerate, quindi la fase non è più significativa) . Il comportamento del filtro è riassunto nella seguente tabella: FRF del filtro Componente f [Hz] ʇࣺʇ ୔ࣺ[°] 1 0 0 - 2 42 2 -151.2 3 55 2 -198 4 70 0 - Ricordando la definizione di FRF si ottiene quindi lo spettro del segnale filtrato: ʇY஻ʇි ʇHʇ܊ʇXʇ ˚ౘϹි ˚ే+ ˚౗ Segnale in uscita dal filtro Componente f [Hz] A ॖ[п] 1 0 0 - 2 42 4 -241.2 3 55 6 -348 4 70 0 - Il segnale in uscita dal filtro è quindi campionato con una frequenza di campionamento di 40 Hz. Le armoniche di frequenza maggiore di ߈్ි ߈౬ʆϺි Ϻϸ ްߜ si troveranno in aliasing. Nel caso specifico sia la seconda che la terza componete si trovano in aliasing . Le frequenze apparenti visibili nel segnale campionato si ricavano dal diagramma frequenza reale – apparente (si trascurano la prima e la quarta co mponente, già a 0 in uscita dal filtro) . Il modulo delle due armoniche sarà uguale a quello reale, così come la fase poiché le frequenze cadono su un ramo ascendente del grafico. Lo spettro del segnale campionato sarà quindi: Segnale in uscita dal filtro Componente f [Hz] A ॖ[п] 2 2 4 -241.2 3 15 6 -348 Per rispondere all’ultima richiesta è necessario considerare che la presenza del filtro passa -banda fa si che il campionamento avvenga sempre e solo su armoniche nell’intervallo 40 -60 Hz , portando sempre ad aliasing. Tuttavia, rispetto ad un caso generico in cui l’alias ing non potrebbe essere corretto, la conoscenza del range di frequenza del segnale di parte nza permette di corregge l’effetto dell’aliasing. Tutte le armoniche campionate cadono infatti sul secondo ramo ascendente del diagramma frequenza reale – apparente, rendendo di fatto inverti bile l a relazione tra segnale reale e apparente. Esercizio 2 ( appello) Il funzionamento di un inclinometro è basato sulla misura della componente “trasversale” ߃౭ dell’accelerazione di gravità ߉ (vedi figura). La misura di accelerazione è eseguita con un accelerometro MEMS di fondo scala ±ϹϽ֡ ߏʆߕ஼, la cui incertezza è dichiarata dal produttore pari all’ 1 % del fondo scala con un livello di confidenza del 95% (distribuzione gaussiana) . La misura dell’angolo di inclinazione ˃ è ottenuta mediando 10 campioni di accelerazione. L ‘accelerazione di gravità di ri ferimento è assunta pari a ЁɪЀϹ֡ ߏʆߕ஼ con un’incertezza tipo dello 0.25% del valore nominale. Si richiede di indicare la misura di inclinazione in gradi [°] con un livello di confidenza del 98%, quando la media delle letture dell’accelerometro sia pari a ϹɪϽ֡ߏʆߕ஼. NB. La derivata della funzione ߃ߔ߅ߕߋߐ (ߚ) è pari a ஻ ф஻௅౱಴ Soluzione La relazione che lega l’accelerazione misurata ߃౭ con l’angolo di inclinazione ˃ è la seguente: ߃౭ි ߉܊ߕߋߐ (˃) da cui si ricava il valore di ˃ in funzione dell’accelerazione ߃౭: ˃ි ߃ߔ߅ߕߋߐ ෲ߃౭ ߉෶ È possibile quindi ricavare il valore numero della misura dell’angolo sostituendo i valori medi di accelerazione ߃౭ e ߉ ˃ණි ߃ߔ߅ߕߋߐ (ϹɪϽ֡ߏʆߕ஼ ЁɪЀϹ֡ ߏʆߕ஼)ි ЀɪϿЁϽп L’incertezza sulla misura di ˃ deve essere calcolata combinando le incertezze di ߃౭ e ߉. L’incertezza relativa all’accelerazione di gravità è già nota come incertezza tipo, l’incertezza sull’accelerazione misurata dall’accelerometro va calcolata conside rando che la misura di accel erazione è ottenuta dalla media di n= 10 campioni: ߗౚ൥ි ˖ౚ൥ фߐ Come deviazione standard ˖ౚ൥ si assume l’incertezza dell’accelerometro dichiarata, considerando che il valore dichiarato è esteso con un livello di confidenza de l 95%. Il fattore di copertura per la gaussiana al 97.5% è 1.96 quindi: ˖ౚ൥ි ߗౚ౜౜ ි ߗౚ౜౜ ɧ௃ிЮ ޮޫ௃ிЮ ි ϻϸ֡ ߏʆߕ஼܊ϸɪϸϹ ϹɪЁϾ ි ϸɪϹϽϻ֡ ߏʆߕ஼ Da cui: ߗౚ൥ි ϸɪϹϽϻ֡ ߏʆߕ஼ фϹϸ ි ϸɪϸϼЀ֡ ߏʆߕ஼ Ricordando che la derivata della funzione ߃ߔ߅ߕߋߐ (ߚ) è ஻ ф஻௅౱಴ (dove la funzione arcoseno restituisce il valore in radianti), s i procede quindi al calcolo delle derivate parziali necessarie per il calcolo dell’incertezza combinata: т˃ тĉ௸ි Ϲ ฮϹ− ෲĉ௸ď෶ ஼ ܊Ϲ ďි ϸɪϹϸϻϹ֡ ĚĉČ֡ ě஼ ĕ т˃ т߉ි Ϲ ฮϹ− ෲ߃౭߉෶ ஼ ܊− ߃౭ ߉஼ි −ϸɪϸϹϽϿϿ֡ ĚĉČ֡ ě஼ ĕ L’incertezza combinata sulla misura dell’angolo risulta quindi: ߗగි ฮෲߗౚ൥ т˃ т߃౭෶ ஼ + ෲߗ௫ т˃ тď෶ ஼ ි ห(ϼɪЁϼЀЀ × Ϲϸ ௅஽֡ߔ߃߆ )஼+ (ϻɪЀϾϿϾ × Ϲϸ ௅ா֡ߔ߃߆ )஼ි ϼɪЁϾ × Ϲϸ ௅஽֡ߔ߃߆ L’incertezza estesa con un livello di confidenza del 98% si ottiene moltiplicando per il fattore di copertura estratto da una gaussiana per una probabilità del 99%: ߗగɧ௃ூЮ ි ߗగ܊ޮޫ௃ூЮ ි ϼɪЁϾ × Ϲϸ ௅஽܊Ϻɪϻϻ ි ϸɪϸϹϹϾ֡ ĚĉČ ි ϸɪϾϾ֡п La misura dell’angolo espressa in gradi è quindi: ˃ි ЀɪЀϸ ± ϸɪϾϾ֡п֡֡ (޴ɪޫɪ֡ЁЀЮ ) Esercizio 3 (app ello) Un tirante in acciaio ( ޭ ි ϺϹϸ֡ ޯ޸߃ , ˑි ϸɪϻ) di sezione circolare ( ߆ි ϹϽ֡ ߏߏ ) è ritenuto un componete critico all’interno di un’infrastruttura civile e il suo stato di tensione deve essere monitorato. Il tirante è quindi strumentato con quattro estensimetri a conduttore metallic o di resistenza nominale ϻϽϸ֡ ʹ. Gli estensimetri sono collegati in un circuito a ponte di Wheatstone (޾஺ි ϺɪϽ֡޾) la cui uscita è amplificata prima di essere acquisita da un convertitore AD di fondo scala ±Ͻ֡޾. Il ponte risulta bilanciato quando la tensione nel tirante è pari al valore nominale di progetto. Sapendo che ai fini del monitoraggio è necessario poter osservare variazioni di tensione nel tirante fino a Ϻϸ֡ ߍ޶ rispetto al valore nominale : a) rappresentare la disposizione dei quattro estensimetri sul tirante e il loro collegamento all’interno del pont e di Wheatstone b) determinare il guadagno dell’amplificatore da impostare per sfruttare al massimo il fondo scala del convertire AD. Soluzione I quattro estensimetri devono essere disposti in modo da misurare le deformazioni assiali del tirante . Per evitare l’annullamento delle deformazioni sui lati contigui, gli estensimetri 1 e 2 (analogamente la coppia 3 e 4) saranno disposti uno in direzione assiale e l’altro in direzione traversale : il secondo misura quindi la deformazione trasversale associata a quella assiale tramite il coefficiente di Poisson ˑ. L’espressione dell o sbilanciamento del ponte risulta essere: ʥ޾౩౨౧౭౞ ි ޾஺ ϼ ෲʥ޺஻ ޺஻ − ʥ޺஼ ޺஼ − ʥ޺஽ ޺஽ + ʥ޺ா ޺ா෶ි ޾஺ ϼ ē(ˈ௥− (−ˑˈౚ)− (−ˑˈౚ)+ ˈౚ)ි ޾஺ ϼ ē܊Ϻ(Ϲ+ ˑ)܊ˈ௥ La deformazione assiale è associata alla variazione di tensione nel tirante attraverso il modulo di Young e la sezione: ˈౚි ˖ ޭ ි ʥޮ ީ܊ޭ ි ϼʥޮ ˔߆஼ޭ da cui: ʥ޾౩౨౧౭౞ ි ޾஺ ϼ ē܊Ϻ(Ϲ+ ˑ)܊ϼʥޮ ˔߆஼ޭ ි ޾஺ē܊Ϻ(Ϲ+ ˑ)܊ ʥޮ ˔߆஼ޭ Poiché è noto il range di tensione del tirante di interesse è possibile calcolare il range di sbilanciamento del ponte: ʥ޾౩౨౧౭౞ ɧ౦ౚ౱ ි ޾஺ēϺ(Ϲ+ ˑ)ʥޮ౦ౚ౱ ˔߆஼ޭ ි ϺɪϽ֡V ܊Ϻ܊Ϻ܊Ϲɪϻ܊ Ϻϸϸϸϸ֡N ˔܊(ϹϽ֡ĕĕ )஼܊ϺϹϸϸϸϸ֡MPĉ ි ϹɪϿϽ × Ϲϸ ௅஽֡V Al fine di sfruttare al massimo il fondo scala del convertitore AD , la ʥ޾౩౨౧౭౞ ɧ౦ౚ౱ amplificata deve corrispondere al la ʥ޾౥౞౭౭ౚ ɧ౦ౚ౱ accettabile dal convertitore: ʥ޾౥౞౭౭ౚ ɧ౦ౚ౱ ි ޯ܊ʥ޾౩౨౧౭౞ ɧ౦ౚ౱ Da cui: ޯ ි ʥ޾౥౞౭౭ౚ ɧ౦ౚ౱ ʥ޾౩౨౧౭౞ ɧ౦ౚ౱ ි Ͻ֡޾ ϹɪϿϽ × Ϲϸ ௅஽֡޾ ි ϺЀϽϿ