Mechanical Engineering - Misure Termiche e Meccaniche

Second partial exam

Esercizi II prova in itinere e I appello ( 15/06 /2022 ) – fila A Esercizio 1 (II parziale e appello) Un trasduttore di temperatura ha una FRF descrivibile con la seguente espressione : ʇްʇ(ʹ)ි ߍ фʹ஼˘஼+ Ϲ ٧H (ʹ)ි ĉĚċĜĉĖ (−ʹ˘ ) dove ʹ è la pulsazione dell’input , ߍි Ϲ֡ ౕ пూ è la sensibilità statica e ˘ි ϸɪϹ֡ߕ è la costante di tempo del trasduttore . Il trasduttore è utilizzat o per misurare una temperatura la cui funzione analitica è ޼(ߖ)ි −Ϻ− Ͻ܊ߕߋߐ (Ϻ˔܊ߖ+ ˔ʆϾ)+ ߅ߑߕ (ϻϸ ˔܊ߖ− ˔ʆϺ). La tensione in uscita dal trasduttore viene acquisita con un convertitore AD operante a 20 Hz. Si richiede di rappresentare lo spettro in frequenza (modul o e fase ) del segnale: - di temperatura a nalitic a, prima della misura con la te rmocoppia - di tensione i n uscita dal circuito di condizionamento della termocoppia - di tensione c ampionat a Supponendo infine di avere a disposizione un filtro antialiasing, indicare , motivando la scelta, in quale posizione all’interno della catena di misura è opportuno posizionarlo . Soluzione La funzione analitica della temperatura ޼(ߖ) contiene tre componenti, di cui una costante e due armoniche. Per le componenti armoniche i procede riarrangiando l’espressione in “forma canonica” del tipo ީ ߅ߑߕ (Ϻ˔߈܊ߖ+ ˚): −Ͻߕߋߐ (Ϻ˔܊ߖ+ ˔ Ͼ)ි −Ͻ߅ߑߕ (Ϻ˔܊ߖ+ ˔ Ͼ− ˔ Ϻ)ි Ͻ߅ߑߕ (Ϻ˔܊ߖ+ ˔ Ͼ− ˔ Ϻ+ ˔)ි Ͻ߅ߑߕ ෲϺ˔܊Ϲ܊ߖ+ Ϻ˔ ϻ෶ ߅ߑߕ (ϻϸ ˔܊ߖ− ˔ Ϻ)ි ߅ߑߕ (Ϻ˔܊ϹϽ ܊ߖ− ˔ Ϻ) La funzione analitica è allora : ޼(ߖ)ි −Ϻ+ Ͻ߅ߑߕ ෲϺ˔܊Ϲ܊ߖ+ Ϻ˔ ϻ෶+ ߅ߑߕ (Ϻ˔܊ϹϽ ܊ߖ− ˔ Ϻ) Ricordando che per le componenti costanti il segno negativo si traduce in una fase ιߒߏ ιߒߋ, si ricavano allora direttamente i valori di modulo e fase per le tre componenti: Funzione analitica in input Componente f [Hz] A ॖ[п] 1 0 2 180 2 1 5 120 3 15 1 -90 La temperatura viene misurata con il trasduttore di cui è fornita la FRF: ciascuna componente dello spettro della funzione analitica viene quindi modificata dal trasduttore in accordo con il modulo e la fase della FRF calcolati per la pulsazione del segnal e. FRF del trasduttore Componente f [Hz] ଽ [rad/s] ʇࣺʇ ୔ࣺ[°] 1 0 0 1 0 2 1 6.28 0.85 -32.13 3 15 94.25 0.11 -83.94 Ricordando la definizione di FRF si ottengono il modulo e la fase del segnale in output, ossia nel caso specifico del segnale in tensione in uscita dal trasduttore che modulo e fase della FRF sono definite come: ʇVʇි ʇHʇ܊ʇTʇ ˚ౕි ˚ే+ ˚౓ Segnale in tensione in output del trasduttore Componente f [Hz] A ॖ[п] 1 0 2 180 2 1 4.25 87.87 3 15 0.11 -173.94 Il segnale di tensione viene infine campionato con una frequenza di 20Hz. È quindi necessario valutare se ci sono componenti in aliasing, ricordando che una componente genera aliasing se ߈ౢූ ߈్ි ౟൤ ஼ි Ϲϸ ްߜ . La terza componente (15Hz) si trova quindi in condizione di aliasing : lo spettro del segnale campionato avrà quindi un’armonica apparente associata alla terza componente, i cui modulo e fase si ottengo dal digramma frequenza reale -apparente. Poiché la frequenza reale si trova su un ramo discendente del digramma la fase avrà segno opposto rispetto al valore reale. Lo spettro del segnale campionato risulta quindi: Segnale in tensione campionato Componente f [Hz] A ॖ[п] 1 0 2 180 2 1 4.25 87.87 3 5 0.11 173.94 Per ridurre l’effetto dovuto all’aliasing della terza componente è possibile introduttore un filtro passa basso prima (antialiasing) prima del convertitore AD. La catena di misura e acquisizione risulta in questo caso la seguente: Esercizio 2 (appello) La costante elastica di una molla è stimata appendendola verticalmente e applicando al suo estremo libero una massa pari a 1 kg (valore noto con un’ incertezza dell’1% con un L.C. del 95% in ipotesi di distribuzione Gaussiana). L’allungamento dovuto al cari co è misurato mediando 5 letture di un trasduttore di spostamento ottenendo una media campionaria pari a ʥߎණ ි ϺɪϽ֡ߏߏ e una deviazione standard campionaria pari a ޻ం౥ි ϸɪϺ֡ߏߏ . Si richiede di fornire la stima della costante elastica della molla con un li vello di confidenza del 95% esprimendo la misura in unità fondamentali del S.I. N.B. Si assuma l’accelerazione di gravità priva di incertezza . Soluzione Si considera innanzitutto il leg ame tra forza e allungamento di una molla ޮ ි ߍ܊ʥߎ. Nel caso specifico la forza applicata corrisponde al peso della massa, quindi si ottiene l’espressione della costante elastica della molla: ߍි ߏ ܊߉ ʥߎ La stima numerica della costante elastica è immediatamente calcolabile con i dati a disposizione: ēි ߏ ܊߉ ʥߎණ ිි Ϲߍ߉ ܊ЁɪЀϹ ߏʆߕ஼ ϸɪϸϸϺϽĕ ි ϻЁϺϼ֡ēď ʆě஼ L’incertezza sulla stima si calcola combinando le incertezze de lle variabili utilizzate. Si considera quindi innanzitutto l’incertezza tipo delle singole variabili. L’incertezza sulla massa è fornita con un L.C. del 95% in ipot esi di distribuzione gaussiana: si ottiene quindi il fattore di copertura corrispondente e si utilizza per ricavare l’incertezza tipo. ߗ౦ɧ௃ிЮ ි ϸɪϸϹ ܊Ϲēď ි ϸɪϸϹ֡ ēď ޮޫ௃ிЮ ි ϹɪЁϾ ߗ౦ ි ߗ౦ɧ௃ிЮ ޮޫ௃ிЮ ි ϸɪϸϸϽϹ֡ ߍ߉ L’incertezza sul valore di allungamento si ottiene considerando la serie di misure ripetute , stimando la deviazione standard delle medie campionarie: ߗం౥ි ޻ం౥ фߐි ϸɪϸϸϸϺ֡ ߏ фϽ ි ЀɪЁ× Ϲϸ ௅ி֡ߏ Per il calcolo dell’incertezza combinata è necessario calcolare le derivate parziali dell a funzi one rispetto alle singole variabili: тߍ тߏ ි ߉ ʥߎි ЁɪЀϹ ߏʆߕ஼ ϸɪϸϸϺϽ ߏ ි ϻЁϺϼ֡ ߕ௅஼ тߍ тʥߎි − ߏ ܊߉ ʥߎ஼ ි − Ϲߍ߉ ܊ЁɪЀϹ ߏʆߕ஼ ϾɪϺϽ × Ϲϸ ௅ீߏ஼ි −ϹϽϾЁϾϸϸ֡ ߍ߉ ߏߕ஼ L’incertezza tipo della costante elastica della molla si ottiene quindi con l’espressione dell’incertezza com binata: ߗ౤ි ฮෲߗ౦ ܊тߍ тߏ෶ ஼ + ෲߗం౥܊тߍ тʥߎ෶ ஼ ි ห(Ϻϸ ɪϸϹϺϼ֡ ߍ߉ ʆߕ஼)஼+ (−ϹϻЁ ɪϾЁϼ֡ ߍ߉ ʆߕ஼)஼ි ϹϼϹ ɪϹϺ֡ ߍ߉ ʆߕ஼ Poiché è richiesta l’incertezza estensa con un L.C. del 95% si ottiene il fattore di copertura corrispondente per una distribuzione gaussiana e si impiega per il calcolo: ޮޫ௃ிЮ ි ϹɪЁϾ ߗ౤ɧ௃ிЮ ි ߗ౤܊ޮޫ௃ிЮ ි ϺϿϾ ɪϾϸ ߍ߉ ʆߕ஼ L’espressione della stima della costante elastica si definisce impiegando due cifre significative per l’espressione dell’incertezza: ߍි (ϻɪЁϺ ± ϸɪϺЀ )× Ϲϸ ஽֡෪ߍ߉ ߕ஼෮֡֡(޴ɪޫɪЁϽЮ ) Esercizio 3 (appello) Una barra in acciaio ( ޭ ි ϺϹϸ ቷϸϸϸ ޵޸߃ , ޿౟ි ϺϽ ߏߏ஽) è strumentata con due estensimetri (޺ ි ϹϺϸ ʹ) a conduttore metallico disposti come mostrato in figura. È noto che le due sezioni estensimetrate sono ad una distanza ޴ි Ϲϸϸ ߏߏ . Gli estensimetri sono collegati in un circuito a ponte di Wheatstone condizionato da una centralina che introduce un guadagno incognito sullo sbilanciamento. Al fine di ricavare tale guadagno viene eseguita una procedura di calibrazione con resist enza di shunt ( ޺౬ౡ౮౧౭ ි Ϲϸ ēʹ) in parallelo al lato 1 del ponte, ottenendo uno sbilanciamento pari a ʥ޾౥౞౭౭ౚ౬ౡ౮౧౭ ි −ϻɪϿϹ֡ V. La tensione di alimentazione della centralina è nota e pari a ޾஺ි ϺɪϽ֡޾ɪ Si richiede di: - Indicare la posizione degli estensimetri all’interno del ponte di Wheatstone che permetta di calcolare il carico applicato ޮ conoscendo la lettura a valle della ce ntralina - Calcolare il guadagno ޯ introdotto dalla centralina - Calcolare la tensione letta sulla centralina in caso in cui il carico applicato sia ޮ ි ϻϸϸ ޶ Soluzione È possibile scrive le deformazioni dei punti di misura considerando il momento flettent e agente sulla sezione : ˈ஻ි ౌൗɧ൒ ౄ܊ౖൗි ౅܊ౚ ౄ܊ౖൗ ˈ஼ි ౌൗɧ൓ ౄ܊ౖൗි ౅܊౛ ౄ܊ౖൗ Poiché i valori ߃ e ߄ non sono noti ma è nota ޴ි ߃− ߄, è necessario usare una configurazione di estensimetri che permetta di esprimere la lettura della centralina in funzione di ޴. L’estensimetr o 2 sarà allora posizionato su un lato contigu o rispetto all’estensimetro 1, in modo che il loro contributo si sot tragga. La configurazione del ponte di Wheatstone sarà la seguente , con 3 e 4 due resistenze di completamento : La lettura della centralina risulta quindi: ޾౥౞౭౭ౚ ි G޾஺ ϼ ē(ˈ஻− ˈ஼)ි G޾஺ ϼ ē ޮ ޭ޿౟ (߃− ߄)ි G޾஺ ϼ ē ޮ ޭ޿౟L Il guadagno ޯ della centralina si ottiene considerando l’espressione della lettura della centralina in funzione delle variazioni di resistenza: ޾౥౞౭౭ౚ ි ޯ޾஺ ϼ ෲʥ޺஻ ޺஻ − ʥ޺஼ ޺஼෶ Si calcola quindi la variazione di resistenza sul lato 1 dovuto all’inserimento della resistenza di shunt: ޺ʆʆි ෲϹ ޺஻+ Ϲ ޺౬ౡ౮౧౭ ෶ි ޺஻޺౬ౡ౮౧౭ ޺஻+ ޺౬ౡ౮౧౭ ි ϹϺϸ ʹ܊Ϲϸϸϸϸ ʹ ϹϺϸ ʹ+ Ϲϸϸϸϸ ʹ ි ϹϹЀ ɪϽϿϿ ʹ ʥ޺஻ි ޺ʆʆ− ޺஻ි −ϹɪϼϺϻ֡ ʹ Dall’espressione della lettura di tensione a valle della centralina si ottiene il guadagno: ޾౥౞౭౭ౚ ි ޯ޾஺ ϼ ܊ʥ޺஻ ޺஻ آ ֡֡G ි ϼ޾౥౞౭౭ౚ౬ౡ౮౧౭ ޾஺ ޺ౢ ʥ޺ౢි ϼ܊−ϻɪϿϹ ޾ ϺɪϽ޾ ϹϺϸ ʹ −ϹɪϼϺϻʹ ි Ͻϸϸ ɪϽЀ Ponendo quindi Fි ϻϸϸ֡ ޶e ricordando che ߍි Ϻ per estensimetri metallici si ottiene la lettura della centralina in condizione di trave carica: ޾౥౞౭౭ౚ ි G޾஺ ϼ ē ޮ ޭ޿౟Lි ϻɪϽЀ֡V