Mechanical Engineering - Misure Termiche e Meccaniche

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1 APPUNTI DI MISURE MECCANICHE E TERMICHE Corso del professor Emanuele Zappa (scaglione P -Z) Politecnico di Milano a.a. 2020/21 Appunti a cura di: Giuseppe Raho Carlo Pignagnoli 2 La presente raccolta di appunti delle lezioni è fornita così come elaborata da Giuseppe Raho e Carlo Pignagnoli , con l’intenzione di fornire un supporto allo studio NON sostitutivo alla frequenza delle lezioni e dei laboratori. Sebbene Giuseppe Raho e Carlo Pignagnoli abbiano posto cura nel preparare il documento, potrebbero esservi imprecisioni o omissioni. Ove venissero individuate parti da correggere, si prega di contattare il prof. Zappa via email ([email protected]) segnalando tali parti, in modo da rendere poi disponibile agli studenti una successiva versione corretta. 3 INDICE x Metrologia o Lezione 1 x Espressione incertezza di misura o Lezione 2 o Lezione 3 o Lezione 4 x Sistema Internazionale x Conversione Analogico Digitale o Lezione 5 x Caratteristiche statiche e Taratura o Lezione 6 o Lezione 7 x Estensimetria o Lezione 8 o Lezione 9 x Misure di spostamento o Lezione 10 o Lezione 11 o Lezione 12 x Analisi di Fourier x Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura o Lezione 13 o Lezione 14 o Lezione 15 x Accelerometri e sismometri o Lezione 16 o Lezione 17 x Misure attraverso sistemi di visione o Lezione 18 o Lezione 19 x Misure di massa e forza x Misure di temperatura o Lezione 20 o Lezione 21 x Termografia all’infrarosso o Lezione 22 x Misure di pressione o Lezione 2 3 4 LEZIONE 1 - 24/02 METROLOGIA A livello industriale e quotidiano esistono tantissimi tipi di misure, come sensori e così via. Un oggetto quotidiano in cui sono presenti molti sensori è lo smartphone , ad esempio ha integrati sensori come quello che regola la luminosità dello schermo, il controllo della temperatura, gli accelerometri, i giroscopi, i sensori di impronte digitali, le telecamere, i barometri, i magnetometri, il touchscreen, GPS, microfono, misure di tempo etc . Ogni qualvolta si installa , realizza o utilizza un sistema di mi sura si deve tenere conto di alcune caratteristiche come l’adeguatezza del sistema di misura al corpo in esame , l’affidabilità dei dati, il costo ragionevole. Per esempio, si vogliono misurare la vibrazione della boccola e lo schiacciamento della sospensione di un carrello ferroviario . Lo schiacciamento della molla della sospensione è legato al peso proprio della struttura e a deformazioni dovut e al moto. Innanzitutto, il campo di misura dello schiacciamento deve essere adeguato. Successivamente bisogna garantire l’accuratezza della misura e riuscire a capire la variazione nel tempo dello schiacciamento. A vagone fermo è possibile utilizzare un metro o calibro. Con il vagone in movimento si devono misurare spostamenti rapidi e valutarli nel tempo . È possibile utilizzare un trasduttore di spostamento . Def : Il trasduttore traduce delle grandezze nella misura del misurando ed è la parte più importante della misura. Delle caratteristiche ragionevoli per le misure di schiacciamento della sospensione sono: x risoluzione di un decimo di millimetro; x portata di almeno 50mm; x in caso di urti bisogna fornire informazioni; x non alterare il fenomeno a causa della presenza del trasduttore; x devo garantire la registrazione della misura per poterla rileggere. Per quanto riguarda la vibrazione del mozzo. In questo caso non si misurano spostamenti ma accelerazioni. In questo caso si ha la necessità di: x misurare accelerazioni tra 1 e 100m/s^2; x misurare frequenze tra 10 e 1000 Hz; x in caso di urti bisogna fornire ugualmente informazioni; x la presenza non deve ostacolare il fenomeno; x necessità di trasmettere l’informazione della misura. Prima , però , è necessario capire cos’è la MISURA. 5 LA MI SURA : La misurazione è un procedimento che ser ve a quantificare le proprietà degli oggetti e degli eventi del mondo reale. Misurare permette di conoscere, di descrivere e, quindi, di controllare nel modo migliore possibile qualsiasi sistema fisico. La scienza delle misure è antica, in quant o misurare è una esigenza vitale dell’uomo. Le misure riescono a: 1. quantificare la proprietà di un oggetto; 2. controllare un processo; 3. au mentare la comprensione fisica di un fenomeno solo parzialmente conosciuto (validare un modello) 4. tarare uno strumento. Attraverso la misura si quantifica una grandezza per mezzo del lo strumento e del la procedura. Grazie alla misura si può controllare un processo come la temperatura di una stanza. Inoltre, è possibile validare un modello. Infine, è necessario tarare lo strumento, grazie alla curva di taratura dopo l’interpretazione delle misure. In accordo alla normativa di riferimento, esistono diverse definizioni. x Misurazione : è l’atto di misurare, cioè l’utilizzo di uno o più strumenti e l’eventuale elaborazione dei dati, al fine di ottenere un risultato numerico che rappresenti la grandezza fisica in esame. x Misura : è il risultato di una misurazione. x Misurando : è il parametro sottoposto a misurazione. x Metrologia : è la disciplina che riguarda la qualità delle misure IL METODO DI MISURAZIONE : I metodi di misurazione possono essere di due tipi: 1. diretto: il valore del misura ndo viene ottenuto leggendo direttamente la grandezza d’interesse , confrontandola con un’altra della stessa specie (omogenea) , scelta come campione. 2. indirett o: la misura è ottenuta leggendo due o più grandezze non omogenee , ma legate funzionalmente al valo re del misurando . Per poter utilizzare questo metodo è necessario conoscere a priori le relazioni che legano le grandezze. Le seconde sono più diffuse. Un esempio è misurare la velocità di un veicolo con due trasduttori. I metodi di misurazione possono essere realizzati per deviazione o per azzeramento. Nel prim o caso, la misura è in relazione allo spostamento di un indice di uno strumento o con un altro tipo di segnale in uscita. La seconda è ottenuta confrontando la misura del misurando con altre grandezze ad esso omogenee. Nella realizzazione di una misura si ha bis ogno anche di un modus operandi in quanto una misura costa e di conseguenza bisogna essere precisi e attenti . Per questo motivo ci si affid a alle norme. La norma non è altro che un modello , cioè un insieme organico di relazioni tra valori di parametri, des crivente le interazioni e/o l’evoluzione dei sistemi . Una cosa da ricordare è che anche un modello molto generale non ha validità assoluta ma solo relativa, ovvero per un limitato campo di valori dei parametri che definiscono lo stato del sistema. GRAND EZZE PRINCIPALI E DISTURBI : Si definiscono grandezze di disturbo quelle grandezze che influiscono sulla misura. Un esempio di grandezza di disturbo è la temperatura che per un metallo induce una dilatazione. Altre grandezze di disturbo sono l’umidità o (co n conseguenze meno evidenti) campi elettrici o magnetici. Le misure inoltre possono essere statiche (non cambiano) o dinamiche (sono legate al tempo e c’è la necessità di traduttori che controllino la misura nel tempo ). 6 METROLOGIA : Un problema dell’internazionalizzazione è che vi è la necessità di confrontare i risultati nel mercato mondiale. Per questo motivo esistono delle regole che fissino delle tolleranze , delle norme e la conversione tra grandezze passando da un paese all’altro . La metrologia definisce le unità di misura, realizza l’insieme dei campioni e descrive la grandezza. Infine, studia i metodi di misurazione con stima dell’incertezza. L’incertezza è il grado di approssimazione della misura. L’incertezza va contenuta qua nto più possibile. Secondo la Direttiva Europea: "norma" è la specifica tecnica approvata da un organismo riconosciuto a svolgere attività normativa per applicazione ripetuta o continua, la cui osservanza non sia obbligatoria e che appartenga ad una del le seguenti categorie: x norma internazionale (ISO) x norma europea (EN) x norma nazionale (UNI) Le norme, quindi, sono documenti che definiscono le caratteristiche (dimensionali, prestazionali, ambientali, di sicurezza, di organizzazione ecc.) di un prodott o, processo o servizio, secondo lo stato dell'arte . 7 LEZIONE 2 - 25/02 ESPRESSIONE INCERTEZZA DI MISURA INCERTEZZA DI MISURA: L’incertezza rappresenta il possibile errore dovuto alla misurazione di una grandezza fisica. Quando si effettu a una misura, si ott iene un ’informazione costituita da: x Numero; x Incertezza (con il livello di confidenza secondo GUM , "Guide to the expression of Uncertainty in Measurement" ); x Unità di misura; Strettamente legate alle misure sono le cifre significative , che sono rappresentative de ll’approssimazione con cui si sceglie di rappresentare una grandezza. L’errore di arrotondamento deve essere GF 5∙10 -n dove n è il numero di cifre significative utilizzando la notazione scientifica. Più cifre significative si utilizzano più la precisione della misura è alta. Esempio: 5,236 (4 cifre signifi cative), 0,005 (1 cifra significativa, poiché gli zeri a sinistra n on vengono conteggiati), 5000 è una rappresentazione incerta perché per definire il numero di cifre significative devo ricorrere alla notazione scientifica nel caso in cui ci interessano solo le decine, le centinaia e le migliaia L’arrotondamento segue la regola generale: da 0 a 4 si arrotonda per difetto , da 5 a 9 si arrotonda per eccesso . INCERTEZZA : è un numero associato al risultato di una misurazione che esprime la dispersione di valori che posso no essere ragionevolmente attribuiti al misurando. L’a pproccio classico all’incertezza, nel passato, era associato all’ errore cioè la differenza tra valore vero e lettura. L’errore non è comodo poiché il valore vero non è noto , per cui non è possibile calcolare l’errore. L’errore non è praticamente conoscibile. L’errore, infatti, veniva diviso in due parti: parte casual e, cioè dovuto a variazioni non prevedibili o casuali, e parte sistematica , che avviene quando si ha una grandezza d’influenza che produce un effetto identi ficato in un errore sistematico, che può essere praticamente corretto . Un errore sistematico è un errore costante che si ripete invariato nel tempo. Un esempio di errore sistematico potrebbe essere uno strumento di misura mal tarato, che quindi in ogni let tura dà un valore discostato dal vero di una quantità costante. La differenza tra casuale e sistematica è che la sistematica può essere corretta , la casuale no. L’errore sistematico è quello meno gravoso perché può essere compensato; viceversa , quello ran dom ico , essendo tutte le volte diverso, è quello più pericoloso . In questi casi la componente random ica può essere compensata solo effettuando la media. L’incertezza, invece, parte dal presupposto che non si conosce il valore vero e si può solo affermare che esso si trova all’interno di un intervallo di valori, con un certo livello di probabilità. Anche nell’incertezza non scompaiono gli effetti di casualità e sistematicità. Anche se i n pratica ci si riferisce solo alla componente casuale dando per scontato che l’effetto sistematico venga bilanciato a priori. Se, invece, la variabile sistematica è ignota essa viene considerata nella stima. L’accuratezza è adesso quello che in passato era l’errore. Rappresenta un concetto qualitativo/compar ativo , infatti, essa definisce l’accordo tra il risultato di una misura e il valore vero del misurando. OSSERVAZIONI: 1. Solo le definizioni hanno incertezza nulla; 2. L’incertezza di una misurazione non può essere ridotta a piacimento: esistono dei limiti a q uesto processo; 3. Spesso le prestazioni degli strumenti e dei campioni sono esuberanti rispetto ai requisiti necessari per la misura. 8 Le fonti dell’incertezza nella misurazione sono numerose e le più comuni sono: x Non costanza dello stato del sistema tra le misurazioni ( ad esempio la misura di lunghezza d i un oggetto che subisce dilatazione termica); x L'incompleta definizione del sistema; x La presenza di effetti strumentali (anche il sistema di misura ha una incertezza intrinseca); Le fonti di incertezza sono sia sul misurando che sullo strumento. Essendo passati dal concetto di errore a quello di intervallo con stima, si deve sostituire il concetto di uguaglianza con quello di compatibilità. Questo perché non si stanno trattando più valori esatti ma intervalli di valori. Due misure sono compatibili se esiste un punto /elemento in comune tra i due intervalli delle rispettive misure dello stesso parametro nello stesso stato . Nello stesso stato , molte volte , significa nelle stesse condizioni chimico -fisiche. Non si può parlare di compatibilità tra misure che sono state effettuate a T diverse o ad altitudine diversa (dove g è different e che a livello del mare). Quando la compatibilità non è verificabile per via di misure in condizioni diverse, una soluzione è effettuare la compensazione , vale a dire riportare tutte le misure nelle stesse condizioni mediante compensazioni a posteriori , altrimenti non è possibile parlare di compatibilità. Tra più misure l’importante è trovare un punto in comune tra tutti gli intervalli . Una caratteristica importante della compatibilità è che è una proprietà NON transi tiva, a differenza dell’uguaglianza. L’incertezza tipo, o standard , è la dispersione dei valori attribuiti al misurando. VALUTAZIONE DELL’INCERTEZZA : Nella valutazione dell’incertezza si riconoscono due categorie: A e B. Lo scopo della classificazione è quello di indicare le due diverse modalità di valutazione delle componenti dell’incertezza. Entrambe le categorie sono basate su distribuzioni di probabilità . L’incertezza tipo A è un metodo di valutazion e dell’incertezza per mezzo di analisi statistica di serie di osservazioni. È ottenuta dalla densità di probabilità d i una distribuzione di frequenza osservata. L’incertezza ha una distribuzione che viene osservata sperimentalmente. Solitamente si prende il misur ando, lo si misura tante volte e si elaborano i valori ottenuti, calcolando la deviazione standard. La deviazione standard di questa distribuzione di valori diventa l’incertezza di categoria A. Si parla di frequenza osservata poiché non è ipotizzata, ma basata su misure. 9 L’incertezza ti po B è ottenuta da una densità di probabilità ipotizzata sulla base del grado di credenza nel verificarsi di un evento (probabilità soggettiva). Data una serie di valori, è possibile calcolarne la media campionaria e la deviazione standard campionaria: IA@E= ?=I LEKJ =NE=: : $= � T� �� 0 @A RE=VEKJA OP=J@=N@ ?=I LEKJ =NE=: 5= �� (T� F : $)6 �� 0 F 1 N.B. la varianza è il quadrato della deviazione standard. ESEMPIO: consideriamo un gruppo di N persone, misuriamo di ciascuno l’altezza e facciamo un istogramma delle occorrenze considerando gli intervalli di altezza. In questo caso la deviazione standard è 0,1. Se ora, però, anziché considerare tutta la popolazione analizzata, la raggruppiamo in gruppetti di persone misura ndone l’altezza media di ogni gruppetto, avremo una variazione nella deviazione standard e anche una variazione di dispersione intorno al valor medio. Se si raggruppa la popolazione in gruppi di 5 persone, si otterranno numeri che rappresentano già, delle medie. Le medie tenderanno ad avvicinarsi alla media complessiva di tutta la popolazione. Tenderà ad esserci una variabilità un po’ più bassa dividendo la popolazione in gruppi rispe tto a considerarla per intero. La curva , infatti, per raggruppamenti maggiori tende ad essere meno dispersa . Al crescere del numero delle persone, tendiamo ad ottenere una curva stretta ed alta, ciò vuol dire che molte medie si avvicinano al 1.70 m (nell’ esempio ). La deviazione standard diminuisce facendo la media di molti campioni, raggruppando cioè la popolazione totale. INCERTEZZA TIPO A: Nell’incertezza tipo A, solitamente si fa riferimento ad una distribuzione Gaussiana dei valori delle misure effettuate , o di una T -Student nel caso di pochi campioni . >

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} � x di una grandezza x che varia casualmente e della quale sono state ottenute n osservazioni indipendenti x k nelle stesse condizioni sperimentali è il valo r medio delle n osservazioni: T�= 1 J � T� � �@5 Le singole osservazioni xk differiscono a causa di variazioni casuali delle grandezze d’influenza, o effetti aleatori. La varianza sperimentale delle osservazioni, che stima la varianza della distribuzione di probabilità di xk, cioè la varianza della popolazione, è data da: R=NE=JV= OLANEIAJ P=HA @AHH= LKLKH=VEKJA : 5�6= 56(T�)= 1 J F 1 � (T� F T�)6 � �@5 O?=N PK PELK OLANEIAJ P=HA @AHH= LKLKH=VEKJA : 5� 10 Questa stima della varianza e la sua radice quadrata positiva (detto scarto tipo sperimentale), caratterizzano la variabilità dei valori osservati X k, cioè la loro dispersione intorno alla media. La radice quadrata della varianza definisce la deviazione st andard (o scar to tipo) . La miglior stima della varianza della media �6(T�)= . � è data da 5�6: R=NE=JV= OLANEIAJ P=HA @AHH= IA@E= : 5�6= 56(T�)= 5�6 J = 56(T�) J O?=N PK PELK OLANEIAJ P=HA @AHH= IA@E= : 5� = 5� �J Questa formula afferma che la deviazione standard della media è pari alla deviazione standard della popolazione divisa per la radice del numero dei campioni n. La statistica parla di deviazione standard della popolazione o della media , l’applicazione al campo delle misure si riferisce all’ incertezza di misure oppure di misure mediate . Sp è l’incertezza associata a tutte le misure (quella appartenente al calibro ad esempio) , S m è l’incertezza delle misure mediate. Al cresc ere della dimensione del campione n, la varianza della media diminuisce. La varianza sperimentale della media 56(T�) e lo scarto tipo sperimentale della media 5(T�) quantificano quanto bene T� stimi il valore atteso �x di x k ed entrambi possono essere adottati come valutazione quantitativa dell’incertezza di T�. LEZIONE 3 - 03/0 3 La misura è data della media e la sua incertezza è lo scarto tipo della media: T= T�± 5� �J= T�± 5� Nell’incertezza tipo A, al crescere del numero di valori utilizzato per stimare la media, diminuisce l’incertezza della media stessa. È chiaro che lo strumento deve essere esente da deviazioni sistematiche che devono essere corrette in fase di taratura. Una valutazione fatta con n piccoli porta a una cattiva stima dello scarto tipo Sp; per tenerne conto in elaborazioni successive si cons erva traccia , assieme all’incertezza tipo , anche del numero di gradi di libertà del campione impiegato per la valutazione, �=n -1, ossia del numero di misure ripetute usate per stimare la media. L’affidabilità di una valutazione fatta con n piccoli è bassa . Quando si effettua una stima di incertezza è indispensabile che si sappia quanti sono i campioni su cui è stata calcolat a. OSSERVAZIONE : incertezza e deviazione standard sono la stessa cosa. L’incertezza è il punto di vista delle misure, mentre la deviaz ione standard è il punto di vista statistico. INCERTEZZA TIPO B : L’incertezza tipo B è un m etodo di valutazione dell’incertezza con mezzi diversi dall’analisi statistica di serie di osservazioni (deviazione standard delle misure ripetute ). Nel caso di inc ertezza tipo B si utilizzano distribuzioni di probabilità ipotizzate , non osservate sperimentalmente. Per una stima x i della grandezza d’ingresso X i che non è stata ottenuta da osservazioni ripetute, la varianza stimata Q6(T�) o l’incertezza tipo Q(T�) sono valutate per mezzo di un “giudizio scientifico” basato su tutte le informazioni disponibili sulla possibile variabilità di Xi. Per comodità le grandezze � �(��) e �(��), calcolate in questo modo, sono chiamate varianza di categoria B e incertezza tipo di categoria B . L’insieme di informazioni può comprendere: x Dati di misurazione precedenti; x Esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà dei materiali e strumenti di interesse; x Specifiche tecniche del costruttore; x Dati forniti in certificati di taratura ed altri; 11 x Incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali. L’uso dell’insieme di informazioni disponibili per una valutazione di categoria B dell’incertezza tipo richiede capacità di approfondimento basata sull’esperienza e conoscenze generali. Si osservi che una valutazione di categoria B dell’incertezz a tipo può essere tanto attendibile quanto una di categoria A , soprattutto quando la valutazione di categoria A è basata su di un numero relativamente ridotto di osservazioni statisticamente indipendenti. Tutte le valutazioni tipo B hanno per definizione n umero di gradi di libertà infinito (in pratica si trattano tali valutazioni come se fossero state stimate a partire da un campione di infiniti elementi). Ad esempio, si prenda una bilancia che ha come risoluzione 1 kg. Se si ottiene come risultato della m isura 11 kg, non s i sa se la massa reale sia 11 kg esatti o se sia un qualsiasi valore nell’intervallo 10,5 e 11,5. Tutti i valori in questo intervallo sono equiprobabili, per cui si una distribuzione di probabilità rettangolare. La deviazione standard di tale distribuzione è A/2 �3, cioè il semi intervallo ‘a’ diviso per radice di tre. Calcolando un’incertezza tipo A si potrebbe ridurre la deviazione standard effettuando tante misure . Però visto che qui l’incertezza della misura non è data da fluttuazioni casuali, ma da lla risoluzione dello strumento, questa incertezza non può essere ridotta. Per questo si utilizza l’incertezza tipo B. Ci potrebbero essere anche altri tipi di distribuzioni, ad esempio una distribuzione trapezoidale, la cui deviazione standard � ha una formula differente da quella rettangolare. INCERTEZZA COMBINATA: Nel caso di una misura indiretta che passa attraverso la misurazione di più grandezze, ad esempio l’autovelox che misura la velocità passando per tempo e distanza, bisogna combinare le incertezze delle misure dirette per dichiarare l’incertezza su quella indiretta. ;= B(:5,:6,… :�) . Come le singole incertezze determinano l’incertezza del misurando Y? Si ipotizzi di essere su una montagna con un GPS che indica le coordinate (x,y ) cioè latitudine e longitudine . Si dispone di una funzione Z=f( X,Y) da cui si può ricavare la quota. Se si misur a in modo p oco accurato Y, come va ria la misura di Z, l’affidabilità e l’incertezza della quota? Nella funzione in figura a lato, Z è solo in funzione di X, quindi Z non cambia se cambia Y. Nonostante sia una incertezza combinata, Z dipende solo da X, non da Y. Una misura non corretta di X, cambia il valore di Z. Questo perché la derivata parziale di Z rispetto a Y è zero, mentre la derivata parziale di Z rispetto a X è diversa da zero. Ci possono essere anche altre funzioni in cui Z è funzione sia d i X che di Y , come quella qui a lato. In questo caso l’incertezza di Z è influenzata sia dall’incertezza di X che di Y. Per tener conto di entrambe le componenti si utilizza la legge della propagazione dell’incertezza. La legge di propagazione dell’incertezza è: E= � � l�B �T� p 6 E6(T�) � �@5 Dove la ‘f’ è una funzione che ha lo stesso ruolo di z=z(x,y), cioè lega i parametri in entrata e in uscita , ‘i’ è l’incertezza della misura di f, ‘i(x i)’ è l’incertezza della variabile i -esima della funzione f. Questa vale solo se è possibile fare l’ipotesi che NON ci sia correlazione tra le variabili che considero come ingressi. Nell’atto pratico, è verificata nella stragrande maggioranza dei casi perché è difficile che si verifichi la situazione di covarianza . INCERTEZZA ESTESA : 12 È la grandezza che definisce, intorno al risultato di una misurazione, un intervallo che ci si aspetta comprendere una frazione rilevante della distribuzione di valori ragionevolmente attribuiti al misurando. L’incertezza estesa si ottiene moltiplicando l’ incertezza tipo per un opportuno fattore di copertura (o di ricopertura). Questo influisce chiaramente, quando si parla ad esempio di prodotti importanti, sul costo. Un esempio può essere sul peso che un cavo di ascensore può reggere. In questo caso il fa ttore di copertura è utile per un livello di sicurezza (non si pu ò rischiare di rompere il cavo anche per valori minori della grandezza, compresa di deviazione standard). Lo scopo dell’incertezza estesa è la costruzione di un intervallo di valori che contenga il misurando con la confidenza (cioè probabilità) desiderata . Si noti che il valore del misurando è fisso; la variabile aleatoria sono gli estremi dell’intervallo di m isura . Un livello di confidenza del 95%, ad esempio, significa che nel 95% dei casi la grandezza rientra nell’intervallo dell’incertezza. In caso di incertezza tipo A, come fattori di copertura si utilizza la Gaussiana o la T -Student. In particolare, per la Gaus siana se si richiede un livello di confidenza dello 0,95, vuol dire che rimane lo 0,025 da un lato e dall’altro. In particolare, il livello di confidenza rappresenta la percentuale di area sottesa alla Gaussiana. Il fattore di copertura è il coefficiente associato ad un determinato livello di confidenza con cui si moltiplica la deviazione standard. Generalmente è ricavabile tramite tabelle. I percentili della Gaussiana sono già calcolati: x Il 68% delle letture cade nell’intervallo centra to sul valore medio mu e tra gli estremi mu +/ - sigma x Il 95% delle letture cade nell’intervallo centrato su � e sugli estremi F2� ; x Il 99,7% delle letture cade nell’intervallo centrato su � e di estremi F3�; In caso di incertezza estesa è obbligatorio indicare il livello di confidenza, il fattore di copertura e la distribuzione probabilistica associat a alla misura . Ad esempio: x Misura diretta (incertezza A): 10.0 F 0,5 m; x Misura con espressione dell’incertezza estesa: 10.00 F 0.98 m (L .C. 95%, f .c. 1.96, distribuzione gaussiana); L.C. è il livello di confidenza, f.c. è il fattore di copertura. INCERTEZZA COMBINATA ESTESA : Quando si effettuano misure indirette (ad esempio di velocità), l’incertezza è quella combinata. Una volta fatta quella stima potrebbe essere necessario effettuare un’estensione ad un certo livello di confidenza. Per fare ciò si utilizza l’incertezza combinata estesa. Si consideri i l caso in cui non si abbiano ingressi con incertezza stimata con pochi g radi di libertà. Ciò accade quando uno degli ingressi è stato stimato utilizza ndo poche misure ripetu te. Avere pochi gradi di libertà significa avere una misura poco affidabile e quindi è necess ario tenerne conto nel calcolo dell’incertezza combinata estesa. Così facendo però i calcoli diventano molto complessi e con applicazioni molto rare nel campo ingegneristico. Quindi non si considereranno tali casi e per scelta si ipotizza che: x Per ogni ingresso si ha un ’incertezza stimata con tanti gradi di libertà (incertezza di tipo A); x Avere alcuni ingressi con incertezza tipo B (infiniti gdl); Per calcolare il valore dell’incertezza combinata estesa , si prende il valore dell’incertezza combin ata e la si moltiplica per il fattore di copertura corrispondete al livello di confidenza della gaussiana. Per le ipo tesi fatte, l’utilizzo della Gaussiana per il calcolo del fattore di copertura dell’incertezza combinata fornisce risultati più che accetta bili. 13 Ricapitolando: CONFRONTO T -STUDENT E GAUSSIANA : La Gaussiana ha un’area sottesa maggiore di qualunque T -Student. La T -Student ha una forma similissima alla Gaussiana e cambia la propria forma in base al numero dei gradi di libertà (ricorda che gdl = n-1, dove n è il numero dei campioni analizzati ). Per gdl : L la T -Student tende alla distribuzione gaussiana. La T -Student si uti lizza ogni qualvolta si abbia un ’analisi campiona ria bassa (solitamente per n G20). Confrontando la Gaussiana e la T -Student, solitamente si stabilisce una soglia oltre la quale si utilizza la Gaussiana in quanto essa è molto più comoda della T -Student. Questa soglia non è univoca, il più delle volte è per n = 20. LEZIONE 4 - 04/03 ESPRESSIONE DELL’INCERTEZZA: Normalmente l’incertezza va espressa con una o due cifre significative . Inoltre , nell’espressione della misura il numero di cifre decimali assegnate alla stima deve coincidere con il numero di cifre decimali associate all’incertezza . METODO MONTE CARLO: Un ulteriore metodo per le misure indirette e per l’incertezza combinata è quello di Monte Carlo . Ci possono essere dei casi in cui la legge di propagazione dell’incertezza non è facilmente applicabile, nei casi in cui la derivazione sia difficile o i casi di equazioni non in forma chiusa ma iterative (caso 3 D). Proprio in questi casi si utilizz a il metodo Monte Carlo che permette di stimare l’incertezza. Il metodo è una specie di esperimento numerico ed è usato per trarre stime attraverso simulazioni . Sia Y la grandezza da stimare con ;= B(:5,:6,… :�), il metodo può essere applicato qualsiasi sia la distribuzione di probabilità di X i. Si basa su un algoritmo che genera un ’estrazione casuale di ciascun X i (i= 1... k), basandosi sulle distribuzioni di probabilità che si suppone abbiano le grandezze X i stesse. Per ogni estrazione viene calcolato Y. Ripetendo N volte il processo si ottengono N campioni della variabile Y dai quali 14 si può osservare la distribuzione , calcolandone media e sca rto tipo, quindi determinando la misura e la relativa incertezza. Ad esempio, si ha un parallelepipedo di dimensioni ignote. Le si misurano e ne si calcol a il volume, non conoscendo l’incertezza del volume. Nonostante si possa applicare la propagazione dell’incertezza, si utilizza il metodo Monte Carlo. Sapendo che le misure dei 3 lati sono soggett e a incertezza per via del misuratore, ogni misurazione avr à una variabilità gaussiana . Ripe tendo il calcolo del volume N volte, si otterr à una popolazione di volumi stimati che saranno tutti attorno al valore corretto con variabilità. A questo punto si può calcolare media e variazione standard d ei volumi. La varia zione standard sarà l’incertezza sulla misura del volume. Il me todo Monte Carlo consiste in una simulazione di misurazione su una misura, per essere capace di calcolare parametri indiretti. Procedura metodo Monte Carlo : x Definizione della grandezza da misurare Y; x Definizione delle grandezze d’ingresso X i da cui dipende la grandezza Y; x Definire il modello che lega le grandezze Xi alla grandezza Y; x Assegnare alle grandezze in ingresso X i una distribuzione di probabilità adeguata. PROPAGAZIONE: x Definizion e di un numero di iterazioni sufficientemente alto (10 6); x L’algoritmo di Monte Carlo ad ogni iterazione seleziona, per ognuna delle grandezze d’ingresso, un valore random tra quelli definiti dalla corrispettiva distribuzione; x Ad ogni iterazione si determi na un valore per la grandezza di uscita Y; x Alla fine delle iterazioni quello che si ottiene è la distribuzione di probabilità della grandezza Y. Una volta ottenuta la distribuzione di probabilità della grandezza Y si può calcolare la stima della media di Y, la stima della deviazione standard di Y, stima del fattore di copertura necessario, dato un determinato valore di confidenza. 15 SISTEMA INTERNAZIONALE Nel sistema internazionale si raccolgono tutte le principali grandezze con le rispettive unità di misura. La misura è una informazione costituita da numero, incertezza (+ livello di confidenza) ed una unità di misura . Le unità di misure sono organizzate in sistemi. Si può associare ad ogni unità di misura una specie, che va intesa come una proprietà stratta, comune a tutte le grandezze considerate omogenee. Il campione è il termine di riferimento nell’ambito delle grandezze della stessa specie. I campioni devono essere accurati, accessibili, riproducibili e invariabili . La tendenza è quella di riferire i campioni alle proprietà atomiche della materia. Tra i sistemi di unità di misura, è possibile definire le grandezze fondamentali (misurabili direttamente) e grandezze derivate , ottenute in base alle relazioni che le legano alle fondamentali. In Italia solo dal 1978 è stato adottato il Sistema Internazionale (SI). I sis temi di unità di misura possono essere: x Non coerenti : un sistema di unità di misura definisce una unità di misura per ciascuna grandezza. x Coerenti o assoluti : un sistema di u.d.m . assoluto definisce in modo indipendente tra loro, solamente alcune u.d.m, che vengono dette fondamentali . Esse vengono scelte in maniera opportuna. Nel S.I. le u.d.m. fondamentali sono 7 e sono quelle che permettono di calcolare con espressioni matematic he tutte le altre; Il sistema di u.d.m. deve essere universale, stabile, accurato, pratico, coerente, uniforme e decimale. Il S.I. è composto da 7 grandezze: lunghezza (metro), tempo (secondi), massa (chilogrammo) , temperatura (Kelvin), inten sità di corre nte elettrica (Ampere), intensità luminosa (candela) e quantità di sostanza (mole). Altre due grandezze supplementari riguardano gli angoli. Il " radiante " è l'angolo piano compreso fra due raggi che, sulla circonferenza del cerchio, intercettano un arco d i lunghezza pari a quella del raggio. Lo "steradiante " è l'angolo solido che, avendo il vertice al centro di una sfera, delimita sulla superficie di questa un'area pari a quella di un quadrato di lato uguale al raggio della sfera. Date le sette grandezze f ondamentali e due supplementari, sono definite le unità deri vate , ottenibili dalle fondamenti per mezzo di una espressione monomia , cioè come prodotto di potenze delle 7 grandezze fondamentali. GRANDEZZE FONDAMENTALI S.I . FINO AL 2019: LUNGHEZZA, [L], ha per unità il metro (m) . È la distanza percorsa nel vuoto della luce nell’intervallo di tempo (1/ 299 ,792 ,458 ) s. TEMPO [T ]: ha per unità il secondo (s), pari a 9192631770 periodi della radiazione emessa nella transizione tra due particolari livelli energetici dell’atomo di cesio -133. MASSA [M ]: ha come unità il chilogrammo, uguale alla massa del campione in platino -iridio conservato a Sèvres e che nelle intenzioni originarie doveva equivalere alla massa di 1 dm^3 di acqua pura a 4°C. Intensità di corrente elettrica, [I], ha per unità l'ampere (A) , corrente costante che percorrendo a regime stazionario due conduttori paralleli rettilinei di lu nghezza infinita, di sezione circolare con diametro trascurabile, posti a distanza di 1 m, nel vuoto produce tra i due conduttori una forza di 2.10 -7 N/m; Temperatura, [ e], ha unità pari al kelvin (K) , determinato fissando a 273,16 K la temperatura del punto triplo dell'acqua sulla scala termo -dinamica delle temperature assolute. Tale scala è realizzata con la Scala Internazionale Pratica delle Temperature (SIPT). Intensità luminosa, [I], ha unità chiamata candela (cd) uguale all'intensit à luminosa in una data direzione di una sorgente che emette una radiazione monocromatica di frequenza 540 1012 Hz e la cui intensità energetica in tale direzione è di (1/683) W/sr. Quantità di materia, ha per unità la mole (mol) definita come il numero di unità elementari corrispondente al numero di atomi contenuti in 0.012 kg di carbonio C12 16 Accanto alle sette grandezze fondamentali ci sono anche i “ radianti ” per la misura dell’angolo piano e gli “steradianti ” per l’angolo solido. IL NUOVO S .I. Nella nuova organizzazione del SI (in vigore dal 20 maggio 2019) i campioni sono stati sostituiti interamente da i valori esatti di sette costanti fisiche fondamentali. I valori delle costanti (fissi ed esatti per definizione) vengono utilizzati per la rea lizzazione delle unità SI, sia unità di base sia unità derivate. La distinzione tra unità di base e unità derivate non è quindi più significativa metrologicamente. Tale distinzione viene comunque mantenuta per assicurare la continuità con il sistema preced ente, ormai ben consolidato. ULTIME OSSERVAZIONI : Oltre al S.I. esistono anche altri sistemi assoluti come quello anglosassone e quello metrico gravitazionale (Pratico o Tecnico). Per esprimere i multipli o i sottomultipli si utilizzano i prefissi. I prefissi sono deca, etto, kilo, mega, giga, tera, peta, exa. I prefissi dei sottomultipli sono: deci, centi, milli, micro, nano, pico, f.e.m. to, atto. Il simbolo del multiplo o sottomul tiplo può essere elevato ad una potenza positiva o negativa e combinato con altri simboli per creare multipli e sottomultipli di unità di grandezze derivate. Un a scala molto importante è il decibel che viene introdott a per esprimere il rapporto tra due grandezze, generalmente delle potenze P 1 e P 2. Si dice che il dislivello di potenza è: @$ = 10 log 54 �. �-. Spesso P1 è un valore di riferimento fissato da norme. 17 LEZIONE 5 - 10 /0 3 CONVERSIONE ANALOGICO DIGITALE I segnali provenient i dai trasduttori sono continui nel tempo e possono assumere tutti i valori fra un limite inferiore V min e uno superiore V max . Si hanno infiniti valori del segnale in un intervallo T, ciascuno teorica mente caratterizzato da infinite cifre. Segnale analogico: flusso di informazioni disponibili all’utente con continuità nel tempo: può assumere un numero infinit o di valori in un intervallo di tempo, anche infinitesimo . Inoltre il valore assunto è un nume ro reale con infinite cifre significative. Segnale digitale: dato noto e/o disponibile all’utente in forma discreta nel dominio del tempo . I valori assunti sono delle approssimazioni dei numeri reali a dei numeri decimali a cifre significative finite. DOPPIA DISCRETIZZAZIONE: Si effettua un pr ocesso di campionamento , prima discretizzazione (nel tempo) , cioè si sceglie un numero finito di campioni in un intervallo di tempo. Successivamente avviene la conversione del numero reale con infinte cifre significative in un numero decimale con cifre finite , questo avviene approssimando il numero reale al valore finito disponibile più vicino . La conversione A/ D introduce il numero finito di livelli possibili (nei valori ). Questo passaggio è la seconda discretizzazione. La discretizzazione lungo l’asse delle ordinate rappresenta la conversione analogico/digitale in termini di codific a. Questo perché si trasforma il segnale analogico , che generalmente è rappresentato da un valore di tensione reale (infinite cifre significative) , nel segnale digitale, rappresentato da un numero di cifre finito . CONVERTITORI : I sistemi di acquisizione digitale di segnali sono l’interfaccia tra analogic o e digitale. Tali sistemi sono basati su: x Convertitori analogico -digitale (A/D o ADC); x Convertitori digitale -analogico (D/A o DAC); I vantaggi dei sistemi digitali sono molteplici : x una elevata insensibilità ai disturbi del segnale campionato, x bassa incertezza con costi relativamente contenuti, x ripetibilità e riproducibilità, x compatibilità intrinseca coi sistemi di calcolo, x facilità di manipolazione, trasmissione, registr azione, riproduzione. Oggi i segnali digitali sono gestiti molto facilmente, possono essere trasferiti da un punto all’altro nel mondo in pochi ms. Il segnale digitale è meno sensibile ai disturbi poiché nel traferire i file, il segnale ricevuto è il medesimo di quello inviato. Non si ha degradazione del segnale d igitale . 18 Quindi, la conversione A/D è divisa in 2 fasi, corrispondenti alle due fasi di discretizzazione : x Codifica: discretizzazione lungo l’asse verticale; x Campionamento: discretizzazione lungo l’asse orizzontale, cioè ridurre ad un numero finito i campioni in un intervallo di tempo. CONVERSIONE ANALOGIC O DIGITALE (CODIFICA) : ESEMPIO CODI FICA A 2 BIT: Si hanno un valore massimo e minimo e il valore da confrontare V. L’analogica calcola la media V1 tra Vmax e V min . Se V>V 1, l’analogico restituisce 1; a questo punto si hanno due intervalli di valori, quello tra V min e V 1, quello tra V max e V1. Successivamente si suddivide l’intervallo superiore, (tra Vmax e V 1), in due ulteriori intervalli tramite V 2=(Vmax +V 1)/2 . Se V