Mechanical Engineering - Misure Termiche e Meccaniche

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1 Appunti di Misure Meccaniche e Termiche 1. Analisi del Processo della Misurazione ....................................................................................... 3 Misurazione .................................................................................................................................. 3 Parametro ..................................................................................................................................... 3 Modello Matematico .................................................................................................................... 3 Misura (UNI 4546)....................................................................................................................... 4 Stato del Sistema .......................................................................................................................... 4 Incertezza ..................................................................................................................................... 4 Incertezza Intrinseca .................................................................................................................... 5 Unita’ di Misura ........................................................................................................................... 5 Compatibilita’ .............................................................................................................................. 5 Scopi per cui si Esegue una Misura ............................................................................................. 5 Caratteristiche dei Campioni ........................................................................................................ 6 Sistema di Unita’ di Misura ......................................................................................................... 6 2. Elaborazione Statistica dei Dati ................................................................................................... 7 Distribuzione Gaussiana (o normale) ......................................................................................... 10 Analisi Campionaria (Deviazione Standard della Media) ......................................................... 10 Distribuzione t di Student .......................................................................................................... 11 Esclusione dei Valori Meno Probabili ....................................................................................... 11 Criterio di Chauvenet ................................................................................................................. 11 Verifica dell’ipotesi di distribuzione normale dei dati ............................................................... 12 Confronto Grafico ...................................................................................................................... 13 Grafico di Probabilità Normale .................................................................................................. 13 Test del 2c ................................................................................................................................ 13 Analisi di Regressione ............................................................................................................... 14 3. Valutazione dell’Incertezza ........................................................................................................ 17 Incertezza di Tipo A ................................................................................................................... 18 Incertezza di Tipo B ................................................................................................................... 19 Incertezza Combinata ................................................................................................................. 19 Incertezza Estesa ........................................................................................................................ 20 Modalità di Indicazione dell’Incertezza ..................................................................................... 20 4. Taratura Statica .......................................................................................................................... 24 Errore di Risoluzione ................................................................................................................. 26 Errore di Zero ............................................................................................................................. 26 Errore di Deriva ......................................................................................................................... 26 Errore d’Isteresi .......................................................................................................................... 27 Rappresentazione degli Errori .................................................................................................... 27 5. Caratteristiche generali della strumentazione ............................................................................ 30 Resistenza agli urti ..................................................................................................................... 30 Classe di protezione dell’involucro ............................................................................................ 30 Ambiente .................................................................................................................................... 30 Accuratezza di uno Strumento ................................................................................................... 31 Utilizzo dello Strumento. ............................................................................................................... 32 Errore di inserzione. ....................................................................................................................... 33 Catene di misura............................................................................................................................. 33 6. Conversione Analogico–Digitale A\D ....................................................................................... 35 2 7. Analisi Spettrale ......................................................................................................................... 41 Rappresentazione Grafica dell’Analisi Spettrale ........................................................................... 43 Spettro in Potenza RMS ............................................................................................................ 45 Disturbo Sinusoidale su un Segnale Costante ............................................................................ 47 Trasformata di Fourier ............................................................................................................... 48 Trasformata Discreta .................................................................................................................. 50 Effetto Finestra ............................................................................................................................... 51 8. Comportamento Dinamico degli Strumenti ............................................................................... 52 Strumenti di Ordine Zero ............................................................................................................... 52 Strumenti del Primo Ordine ........................................................................................................... 52 Taratura Dinamica degli strumenti del I ordine ......................................................................... 56 9. Strumenti del Secondo Ordine ................................................................................................... 58 Ingresso a Gradino ..................................................................................................................... 60 Taratura Dinamica di Strumenti del Secondo Ordine ................................................................ 66 10. Estensimetria .......................................................................................................................... 69 Tipi di Estensimetri .................................................................................................................... 69 Legame tra Deformazione e Variazione di Resistenza .............................................................. 70 Effetti della temperatura sugli estensimetri ............................................................................... 71 Sensibilità trasversale ................................................................................................................. 72 Misurazione Attraverso il Ponte di Wheatstone ............................................................................ 74 Effetto dei Cavi Lunghi.............................................................................................................. 78 Rosette Estensimetriche ............................................................................................................. 80 11. Misure di temperatura ............................................................................................................ 81 Termometri a resistenza ............................................................................................................. 81 Circuiti di lettura ........................................................................................................................ 82 Termocoppie .............................................................................................................................. 84 Termocoppie ad uso industriale ................................................................................................. 87 12. Trasduttori di spostamento relativo ........................................................................................ 88 Potenziometri (trasduttori resistivi) ........................................................................................... 88 LVDT (Linear Variable Differential Transformer). .................................................................. 90 Trasduttori a variazione di induttanza. ....................................................................................... 91 Trasduttori a correnti parassite. .................................................................................................. 92 13. Trasduttori di moto assoluto .................................................................................................. 93 Vibrometri .................................................................................................................................. 93 Accelerometri. ............................................................................................................................ 95 Accelerometri piezoelettrici ....................................................................................................... 96 14. Analisi dei Sistemi a Parametri Concentrati .......................................................................... 99 Grandezze di Portata .................................................................................................................... 100 Grandezze di Sforzo ..................................................................................................................... 100 Applicazione al Caso Meccanico ............................................................................................. 101 Elementi di Tipo Elastico ............................................................................................................. 101 Elementi che Danno Dissipazione di Energia .............................................................................. 103 Elementi Inerziali ......................................................................................................................... 103 Errore di Inserzione ...................................................................................................................... 105 Funzione di Trasferimento Armonica .......................................................................................... 106 3 1. Analisi del Processo della Misurazione M ISURAZIONE Procedimento attraverso il quale si assegnano valori numerici a rappresentazione di grandezze fisiche. Per eseguire una misurazione bisogna prima chiedersi il perché la si esegue, in modo da sapere l’accuratezza richiesta e scegliere il modello e lo strumento più adatti. La conoscenza scientifica è basata su misure; il procedimento in base al quale si sviluppa la conoscenza prevede infatti la verifica sperimentale delle formulazioni teoriche, ossia il fare delle misure. P ARAMETRO È una grandezza fisica che quindi può essere espressa in modo quantitativo. Si tratta di ogni grandezza pertinente a un sistema fisico, alla quale è necessario assegnare valori per descrivere: ➭ il sistema stesso ➭ la sua evoluzione ➭ le sue interazioni con altri sistemi e con l’ambiente Alcuni parametri non possono essere quantificati con uno scalare, come ad es. i vettori, ma devono essere espressi con numeri complessi, matrici e tensori. M ODELLO M ATEMATICO Insieme organico di relazioni tra valori di parametri, descriventi le interazioni e/o la evoluzione dei sistemi. Per misurare è necessario conoscere lo scopo della misura ed elaborare un modello mentale del fenomeno o dell’oggetto; tale modello influenza la scelta dello strumento e la procedura di esecuzione delle misure. Un modello permette : ➭ previsioni sul comportamento del sistema ➭ la verifica della compatibilità tra misure diverse dello stesso parametro ➭ la misura indiretta di una grandezza con misurazioni su altri parametri ➭ la misura di parametri non misurabili con metodo diretto. È possibile pensare a vari tipi di modelli per un oggetto: GEOMETRICO (ingombri, volumi, stabilità dimensionale) CHIMICO-FISICO (omogeneità, iso-ortotropismo, ecc.) STRUTTURALE (deformazione sotto carico, ecc.) ESEMPIO: Nella misurazione di una barretta utilizzo il modello PARALLELEPIPEDO (modello Geometrico). Se dovessi considerare anche altri fattori che influenzano la misura come temperatura e stato di sollecitazione, dovrei aggiungere altri modelli: )E STRUTTURAL ello (mod ) EA N 1(L L) FISICO ello (mod ))t t( 1(L L 0 x0 0 x - =- + = a In definitiva la scelta del modello dipende da quanto accurata voglio che sia la misura. Infatti si può dare un andamento dell’accuratezza in funzione del numero di parametri utilizzati. 4 Un modello definisce delle grandezze fondamentali, che nel nostro esempio sono la geometria della barretta, e delle grandezze di disturbo, come temperatura e sollecitazioni. Non essendo possibile rappresentare l’intera realtà fisica, non esiste un modello migliore o peggiore in assoluto, ma solo più o meno efficace per lo scopo della misura. Ogni misura, essendo legata ad un modello, è basata sulla schematizzazione della realtà; è quindi necessario ricordarsi i presupposti per utilizzarla. Qualsiasi modello è valido entro un certo campo di valori dei parametri e per un certo livello di qualità delle misure dei parametri. M ISURA (UNI 4546) L’assegnazione di un valore ad una misura purtroppo non è univoca. 1000 misure di una grandezza possono, in generale, avere 1000 valori diversi. Si definisce allora la misura come un’informazione costituita da: NUMERO+INCERTEZZA+UNITA’ DI MISURA assegnata a rappresentare un parametro in un determinato stato del sistema. STATO DEL SISTEMA Si definisce assegnando una misura a tutti i parametri ( temperatura, umidità, campo magnetico, etc. ) considerati nel modello. I NCERTEZZA Il valore di misura non è univoco, in quanto è impossibile avere una rappresentazione perfetta della realtà fisica tramite un modello, la misura sarà sempre costituita da un intervallo di valori che nel caso ideale dipendono dalle differenze tra il modello utilizzato e la realtà fisica. Per incertezza si intende l’intorno limitato del valore di un parametro, corrispondente agli elementi della fascia di valori assegnatogli come misura. Per convenzione l’intervallo viene indicato tramite il suo valore medio e la sua semiampiezza, quest’ultima è l’incertezza. L’incertezza è sempre positiva mentre gli estremi dell’intervallo si ottengono sommandola o sottraendola al valore medio (=valore di riferimento). ESEMPIO: rilevata la misura di lunghezza l abbiamo: x Figura 1-2 i L L± ® dove i è l’incertezza. Se non è indicata l’incertezza, secondo la definizione data, non si è in presenza di una misura. Nella pratica l’indicazione dell’incertezza viene spesso omessa dove non sia strettamente necessaria (ad es. In rilevazioni di tipo qualitativo) o dove sia sufficiente quella implicita dovuta alla rappresentazione numerica. L’incertezza implicita, scritta come scarto massimo, è ad Figura 1-1 :Accuratezza di una misura 5 esempio per la misura M=90.0 05.0 =i 1 ovvero equivale a M=90 ±0.05. Le cifre decimali decidono l’incertezza è fondamentale quindi siano scelte in accordo con l’accuratezza dello strumento. INCERTEZZA INTRINSECA Consideriamo una barretta di forma come in figura: mi fino a che si utilizzi come modello geometrico il prisma retto avremo un’incertezza intrinseca minima mi indipendente dallo strumento utilizzato. L’esempio illustra come l’incertezza intrinseca dipenda solo dal modello utilizzato e che quindi, cambiando lo strumento si possa ridurre al minimo l’incertezza, ma non al di sotto di quella intrinseca. La riduzione dell’incertezza intrinseca è possibile solo cambiando il modello e la limitazione ultima sarà determinata dal principio di indeterminazione. U NITA ’ DI M ISURA E’ un termine di paragone per confrontare misure della stessa specie. COMPATIBILITA ’ Tra due misure non vale il concetto di uguaglianza per esprimere che rappresentano lo stesso misurando, a causa dell’incertezza si definisce la proprietà di “compatibilità”. Due misure si dicono compatibili se l’intersezione tra i due campi di valori è non nulla. Figura 1-4 SCOPI PER CUI SI ESEGUE UNA M ISURA Gli scopi possono essere: · il controllo di un processo · la taratura di uno strumento · aumentare la comprensione di un fenomeno fisico tramite la verifica sperimentale di modelli teorici. · certificare la conformità di prodotti a requisiti di progetto 1 Se, ad esempio, M = 90.00, i = ± 0.005 Figura 1-3 6 · determinare il corrispettivo nel caso di fornitura di prodotti o servizi per i quali è definito un costo unitario, questo è specificamente l’ambito di cui si interessa la metrologia legale. CARATTERISTICHE DEI CAMPIONI Ogni unità di misura di grandezza fisica deve essere definita tramite un campione o in base a relazioni tra unità di grandezze fondamentali. Il campione è il termine di riferimento nell’ambito delle grandezze della stessa specie. I campioni devono essere: · Accurati: devo riuscire a riprodurre quella quantità con incertezza minima, ossia devo poterlo riprodurre più volte ottenendo sempre lo stesso valore. · Accessibili: devo essere in grado di produrre quel valore e riuscire a misurarlo (ad es. La prima definizione di metro come 1/40000000 del meridiano terrestre è stabile, ma non accessibile; per questo è stata sostituita inizialmente con il campione in platino-iridio). · Riproducibile e universale: in qualunque momento e in qualunque luogo devo riuscire a riprodurre il campione. · Invariabile: deve essere costante nel tempo. Secondo questi requisiti si sono nel tempo evolute le definizioni delle grandezze fondamentali dei sistemi di unità di misura. Attraverso relazioni fisiche tra le grandezze fondamentali si ottengono, le unità di misura derivate. A esempio si assume come grandezza fondamentale la massa e non la forza peso perché quest’ultima non è universale essendo a parità di massa l’accelerazione di gravità variabile con la posizione sulla superficie terrestre. SISTEMA DI UNITA ’ DI M ISURA Ad un sistema di unità di misura si richiedono le seguenti caratteristiche: · Assoluto: le unità in esso adottate sono invariabili in ogni tempo e riproducibili in ogni luogo · Omogeneo: definisco le unità derivate utilizzando coefficienti adimensionali 2. · Coerente: definisco le unità derivate utilizzando coefficienti unitari 3. · Decimale: i multipli e i sottomultipli li ottengo con potenze di dieci. · Razionalizzato: i fattori irrazionali 2p e 4p appaiono soltanto in formule relative a configurazioni circolari o sferiche e non in formule relative a configurazioni piane. · Completo: qualsiasi grandezza fisica è definibile tramite le grandezze fondamentali (il SI non è completo per le unità di radiazione ionizzante). SISTEMA INTERNAZIONALE: UNITA’ FONDAMENTALI 2 Si consideri la seconda legge della dinamica utilizzata per definire la forza: F = kma. Se la forza, la massa e l’accelerazione sono grandezze di un sistema di unità omogeneo, il fattore k risulta adimensionale. 3 Si consideri la seconda legge della dinamica: F = kma. Se il sistema di unità è coerente allora k = 1, e si ha che la forza unitaria è quella che imprime alla massa unitaria un’accelerazione unitaria. 7 Grandezza nome simbolo Lunghezza metri m Massa chilogrammi kg Tempo secondi s Corrente elettrica ampere A Temperatura kelvin K Quantità di materia mole mol Intensità luminosa candela cd SISTEMA ANGLOSASSONE Lunghezza piedi[ft] 0.3048 m Massa libbra[lbm] 0.4536 kg Tempo secondo[s] stessa unità Nel sistema metrico viene adottata per la temperatura anche la scala relativa CELSIUS, ottenuta dalla temperatura assoluta, attribuendo alla temperatura 273.15 lo zero celsius. La scala celsius era detta anche centigrada perché originalmente derivata assumendo 0°C per punto di ghiaccio dell’acqua e +100°C al punto di ebollizione, tale denominazione tuttavia non è più contemplata nel SI. Nei sistemi anglosassoni la scala utilizzata è quella FAHRENHEIT che attribuisce il valore 32°F al punto di ghiaccio e +212°F al punto di ebollizione dell’acqua. Valgono quindi le seguenti relazioni di conversione: ) 32 t( 9 5 t t 5 9 32 t F C C F- = + = ° ° ° ° ESEMPIO di calcolo di conversione tra unità di misura: Dato il calore specifico espresso come 100 F lb BTU°× , trovarne il valore equivalente in unità SI. Dalla definizione di BTU J 1055 C kgJ 4187 C 9 5 kg 4536 .0 BTU 1= °× װ × = =pc C kgkJ C kgJ F lbBTU ° = × ° × = °×419 100 95 4536 .01055 100 2. Elaborazione Statistica dei Dati Ripetendo più volte la misura di una stessa grandezza generalmente si ottiene una serie di valori diversi. Il valore di una misura è un evento analogo al lancio di un dado, cioè è una variabile detta casuale (o anche aleatoria ) quindi i dati di misura vengono trattati con i metodi propri delle variabili casuali. La misura di conseguenza sarà definita da una certa distribuzione di probabilità. L è il valore medio; ripetendo la misura generalmente si ottiene una distribuzione del tipo in figura. La frequenza è molto alta per il valore centrale e via via decresce allontanandosi da esso. Figura 2-1 8 Per caratterizzare dal punto di vista statistico le misure utilizziamo i concetti di media e varianza che possono essere riferiti ad un campione estratto dalla totalità dei valori possibili, o all’intero insieme dei dati “N” detto universo o popolazione. ∑ ∑ ∑= = = - = ®- = ®= ® N ii N ii N ii x N TIPO SCARTOx N VARIANZAx N MEDIA 12 21 2 21 ) ( 1) ( 1 1 m sm s m sull’universo ∑ ∑ ∑= = = - = ®- - = ®= ® n ii n ii n ii x x n s TIPO SCARTOx x n s VARIANZAx n x MEDIA 12 21 2 21 ) ( 1) ( 1 1 1 sul campione La differenza tra la definizione di scarto tipo del campione e della media serve ad ottenere un parametro che ha come media lo scarto tipo della popolazione da cui viene estratto il campione. I parametri del campione vengono detti “stimatori” dei corrispondenti parametri della popolazione. ESEMPIO: Supponiamo di dover misurare qualche grandezza x e di effettuare la misura 5 volte trovando i seguenti valori: 71, 72, 72, 73, 71 (dove per convenienza abbiamo omesso qualsiasi unità). Ragionevolmente possiamo ritenere la media come miglior stima della grandezza. 8.71 571 73 72 72 71 x= + + + + = La deviazione standard delle misure nx ,..., x 1 è una stima della incertezze medie delle misure nx ,..., x 1 . PROVA VALORE DEVIAZIONE ( x x d i i- = ) 1 71 -0.8 2 72 0.2 3 72 0.2 4 73 1.2 5 71 -0.8 Per stimare l’attendibilità media delle misure 5 1x ,..., x potremmo naturalmente provare a fare la media delle deviazioni d . Tuttavia essa è nulla. Elevando al quadrato tutte le deviazioni si ottengono valori sempre positivi, la varianza è la media di questi scostamenti al quadrato. Facendo la radice quadrata del risultato otteniamo una grandezza con le stesse unità di misura di x ∑ - = ∑ = = =n 1i2 i n 1i2 i X )x x( N1 )d( N1 s Per ottenere una curva di distribuzione devo raggruppare i dati. La forma di raggruppamento più comune è quella per classi di intervallo di appartenenza. Il numero dei dati che appartengono ad una determinata classe J si chiama frequenza della classe e viene indicato con f j Per formare le distribuzioni di frequenze si può operare nel modo seguente: 1. determinare il più grande e il più piccolo numero tra i dati e trovare il campo di variazione facendo la differenza tra i due valori 9 2. dividere il campo di variazione in un numero K di classi: K x x xmin max - = D 3. determinare il numero di osservazioni che cadono all’interno di ciascuna classe, cioè trovare le frequenze delle classi: xj x x x ) j( x se j classe alla x min i min i D + < £ D - + Î1 Si definisce come frequenza relativa percentuale della classe il parametro: n f fi i,p 100= La probabilità di ottenere la misura all’interno dell’intervallo che definisce la classe i-esima vale: n f lim pi n¥® = La rappresentazione della distribuzione di probabilità può essere fatta con l’ istogramma della frequenza o con il poligono della frequenza. Un istogramma consiste di un insieme di rettangoli aventi: · base sull’asse orizzontale, con centro sul valore centrale e lunghezza uguale all’ampiezza della classe · aree proporzionali alle frequenze delle classi. Un poligono di frequenza è un grafico lineare delle frequenze delle classi passante per i valori centrali delle classi stesse. Può essere ottenuto unendo i punti di mezzo dei lati superiori dei rettangoli di un istogramma. Un diagramma di tipo diverso si ottiene rappresentando le frequenze cumulate. Per frequenza cumulata si intende la frequenza totale di tutti i valori inferiori al confine superiore di una data classe che includa anche la classe considerata. ESEMPIO: consideriamo la massa di 100 persone. Massa (kg) Numero persone 60-62 5 63-65 18 66-68 42 69-71 27 72-74 8 La frequenza cumulata corrispondente alla massa 68 è 5+18+42=65, e ciò significa che 65 persone hanno una massa inferiore a 68.5 kg. 10 DISTRIBUZIONE GAUSSIANA (O NORMALE ) La distribuzione di Gauss avrà questo andamento: m = media della distribuzione s = scarto tipo della distribuzione 2 22 2 1 s m p s /) x( e )x(f -- = L’area delimitata dalla curva vale 1 essendo la probabilità cumulata su tutti i valori possibili. L’area sotto la curva compresa tra due valori x = a e x = b con a100 posso utilizzare una distribuzione di tipo normale per rappresentare la distribuzione di probabilità delle medie riferita ad s/ Ön, migliorando l’approssimazione al crescere di n. Per campioni di ampiezza n ® > ® < = m m m s 11 ESCLUSIONE DEI VALORI M ENO PROBABILI Talvolta accade che una misura in una serie di misure sembra essere in disaccordo stridente con tutte le altre. Compito dello sperimentatore è decidere se la misura anomala è risultata da qualche errore e deve per tanto essere rigettata, oppure se è una misura che deve essere usata con tutte le altre. Se tale decisione fosse totalmente soggettiva, si incorrerebbe fondamentalmente in due rischi: Lo sperimentatore potrebbe essere accusato di “prefissare” i suoi dati. Ci sarebbe la possibilità che il risultato anomalo possa riflettere qualche importante effetto. Infatti, molte importanti scoperte scientifiche sono apparse all’inizio come misure anomale che sembravano errori. Abbiamo quindi bisogno di qualche criterio per rigettare un risultato sospetto. Il Criterio di Chauvenet da’ la possibilità di formulare un giudizio di accettazione dei dati in base a considerazioni di tipo statistico. CRITERIO DI CHAUVENET In una serie di n dati sperimentali, se alcuni valori presentano uno scostamento dal valore medio che ha probabilità di verificarsi inferiore di n2 1, allora quei valori devono essere scartati. Vediamone l’applicazione ad un problema generale: facciamo N misure della stessa grandezza x x 1, x 2, …, x N calcoliamo poi xe s. Se una misura sembra essere sospetta, calcoliamo s x x s i i- = cioè il numero di deviazioni standard di cui x i differisce dalla media. Data una probabilità n2 1 1 p - = si determina z dalla tabella in modo che ( ) 2 1 p z F+ = 5. Se z s i> allora si scarta il dato. Per chiarire meglio il significato di questo criterio, analizziamo graficamente il problema. Consideriamo la gaussiana in figura. Vengono scartati metà dati a destra e metà a sinistra della campana perché a noi non interessa che i dati siano distanti in senso positivo o negativo dalla media, ma devono essere scartati perché distanti in senso assoluto. 5 ( ) n4 1 1 21 n2 1 1 21 p zF- = + - = + = Figura 2-3 12 Se andiamo su un grafico di probabilità cumulata a due code otteniamo un valore P(z) che rappresenta l’area compresa tra i valori +z e –z; a noi però interessa l’area esterna a tali valori e per questo motivo entriamo con n p 2 1 1- = Figura 2-4 Più frequentemente però troviamo la probabilità cumulata ad una coda, F(z) questa curva rappresenta la probabilità per l’intervallo - ¥, z: In questo caso F(-z) rappresenta una probabilità n p 4 1 = con cui se entriamo nella curva F(z) troviamo il valore di –z. Se poi entriamo con n p 4 1 1 - = troviamo il valore di z. I due valori comunque sono uguali in modulo ed è quindi sufficiente trovarne uno. Riassumendo possiamo dire che dalla probabilità p, usando una delle curve della distribuzione normale, troviamo la z, che ci da’ i nostri limiti di accettabilità: s sz x x eriore Limitez x x eriore Limite - =+ = limlim inf sup ESEMPIO: n = 5 dati. Per semplicità consideriamo di avere comunque una distribuzione gaussiana. 9.0 n2 1 1 p10 1 52 1 n2 1 p = - = ¢= × = = il 90% dei dati è da tenere. Dal grafico (o da tabella) otteniamo il valore 5.1 @z e quindi escludiamo tutti gli x i per cui: 5.1 x x i > - s L’ipotesi di base per questo criterio è che le misu re siano distribuite normalmente, cioè secondo una gaussiana. Ci sono diversi test per verificare che la distribuzione sia effettivamente tale. Ne consideriamo 3. VERIFICA DELL ’IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE DEI DATI Di seguito si riportano tre metodi comunemente utilizzati per decidere se un insieme di dati si può considerare distribuito secondo la distribuzione Normale o meno. I primi due metodi forniscono un’indicazione qualitativa mentre l’ultimo fornisce un giudizio con un assegnato rischio statistico. 13 CONFRONTO GRAFICO Figura 2-5 Prendo i dati, li divido per classi, li grafico e li confronto con la curva della distribuzione. GRAFICO DI PROBABILITÀ NORMALE Prendiamo il grafico di probabilità cumulata (figura 3) e cambiamo scala sulle ordinate in modo da ottenere una retta. In generale otterremo curve che differiscono dalla retta che rappresenta la normale e dalla valutazione dello scostamento si dovrà decidere se la distribuzione di valori è assimilabile o meno ad una gaussiana. TEST DEL 2c Possiamo definire il numero 2c come un indicatore dell’accordo tra la nostra distribuzione e la distribuzione che ci aspettavamo le nostre misure seguissero (noi prenderemo in esame solo la distribuzione normale). ( ) ∑= - = k jjaja jo ff f 12 2 c dove : - k è il numero di classi in cui si sono suddivisi i dati. - jo f è la frequenza assoluta osservata per la classe j. - ja f è la frequenza assoluta aspettata in base alla distribuzione che si vuole provare (nel nostro caso gaussiana). Vediamo nello specifico i punti del procedimento di questo tipo di test: - costruire le classi; si parte da ¥- e si giunge a quel valore che mi garantisce di avere 5 o 6 dati. Allo stesso modo scelgo l’ultima classe partendo da ¥+ e dividendo i dati in mezzo in diverse classi in modo che 4³k Figura 2-6 14 - trovare ja f ; dai miei dati avrò ricavato lo scarto tipo e la media, quindi la mia gaussiana. FIGURA 6 Prendo gli estremi della classe e trovo ( ) ( )j jx F x F- +1 che mi da’ la probabilità che dei dati cadano all’interno di quella classe. Se moltiplico tale probabilità per il numero dei dati n ottengo proprio la frequenza attesa di quella classe )] x(F ) x(F[n fj 1j ja - = + - Definire un rischio d’errore a (ad esempio del 10%); il rischio d’errore mi dice la possibilità che ho di sbagliare nel valutare la distribuzione. - Calcolare 2 2 1 2 1 a a = - =p e p. - Calcolare il numero dei gradi di libertà 3- =k n . - Trovare da tabella i valori ( ) ( )n c n c, ,2 2 1 2p e p . - Verificare che: ( ) ( )n c c n c,p ,p2 2 2 2 1 2 1 < < Se 2c ( )2 2 2 1 ;c c Ï concludiamo che la distribuzione non è gaussiana con probabilità a-1 . ANALISI DI REGRESSIONE L’analisi di regressione consente di determinare un modello in modo che al meglio interpreti i dati sperimentali mediante un legame algebrico ingresso-uscita. I tipi di modelli possono essere: - Modelli lineari es. nnxc xc xc y+ + + = ... 22 11 - Modelli non lineari es. ( )2 12 1 cosx xc c y+ = Lo scopo dell’analisi è di determinare i parametri ic con m i,...,1 = , in base alle misure delle grandezze ix con n i, ,1 K = , alle corrispondenti uscite iy ed alla scelta del tipo di modello, minimizzando un certo indice di prestazione. Analizziamo il problema graficamente. 15 Come più volte sottolineato, la misura non ha un valore singolo, ma va rappresentata come un intervallo di valori. Per questo motivo una coppia di valori xy sul grafico non ci da’ un singolo punto, ma un’areola contenente tutti i possibili valori di x e di y. È immediato comprendere, a questo punto, che per due coppie di valori passano infinite rette. Date n coppie di valori vorremmo trovare la retta che meglio approssima l’andamento dei miei dati 6. Il metodo di regressione più utilizzato è quello di minimizzare la somma dei quadrati delle distanze tra i punti e la retta 7. Consideriamo la generica retta: b ax y+ = per ciascun punto iiy x,8, troveremo un “errore” (scarto quadratico), ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 2 n n 2 n2 2 2 2 22 1 1 2 1 b ax y eb ax y eb ax y e + - =+ - =+ - = M e il parametro da minimizzare sarà: ( ) [ ] 2 n 1in 1ii i 2 i b ax y e E ∑ ∑ + - = = = = indice di prestazione Dovremo derivare la funzione rispetto ai parametri a e b e annullare tale derivata in modo da trovarne il minimo. Tralasciando i passaggi matematici intermedi, diamo subito la soluzione: xxyx C C a= dove ( ) ( ) ( ) 2 n 1ii xxi n 1ii yx x x Cy y x x C ∑ -- ∑ - = == una volta ottenuto il coefficiente a, troviamo il b semplicemente dall’equazione della retta mettendo i valori medi. 6 Consideriamo naturalmente una regressione lineare; più in generale si potrebbe trovare la “curva” che meglio approssima i dati 7 E’ usuale minimizzare la somma dei quadrati delle distanze punti – retta soltanto lungo le y perché l’incertezza lungo le x è trascurabile. 8 Si considera il centro dell’areola data dalle incertezze. Figura 2-7 16 xa y b - = Le difficoltà di calcolo delle regressioni sono state superate attraverso l’utilizzo dei calcolatori che permettono oltretutto di utilizzare modelli di regressione più complessi sfruttando algoritmi iterativi. Per evitare errori banali è sempre bene effettuare una verifica grafica tra l’andamento della curva di regressione e la disposizione dei dati. 17 3. Valutazione dell’Incertezza A rigor di logica ad ogni misura con distribuzione gaussiana, per come l’abbiamo viste fino ad ora, dovrebbe essere assegnato un intervallo che va da ¥- ¥+ a per comprendere tutti i possibili valori che la misura può assumere, questo perché la distribuzione gaussiana assegna valori di probabilità non nulla a scostamenti che vanno da ¥- ¥+ a rispetto al valore medio; in questo modo però non otteniamo una “misura”. Questo problema si supera attraverso la normativa UNI-CEI-ENV-13005, normalmente chiamata GUIDA ISO o GUM (Guide for the evaluation of Uncertainty in Measurement). La misura è una variabile aleatoria, cioè non la si può predire in maniera assoluta, ma unicamente definire con un certo livello di confidenza. Per definire le variabili aleatorie si usano le distribuzioni di probabilità e la distribuzione a cui la UNI-CEI-ENV-13005 fa riferimento è la distribuzione di Gauss, per la quale, noti m e s , conosciamo tutto ciò che ci serve. Dalla distribuzione, ad esempio, possiamo calcolare la probabilità che una misura cada all’interno di un intervallo x 1 x2. Figura 3-1 Come più volte sottolineato, misurando uno stesso parametro, in generale, si ottengono valori diversi, e quindi si introduce l’incertezza per permettere di confrontare misure diverse e dire se sono misure dello stesso parametro, cioè di verificarne la compatibilità. L’operazione di misura è concettualmente simile all’estrarre un campione di n valori ( quelli che otteniamo dal nostro strumento ripetendo n volte la misura e che al limite sono solo uno se misuriamo una sola volta) dall’universo rappresentato da tutti i valori che la misura può assumere. Per conoscere la popolazione abbiamo bisogno della media m e dello scarto tipo s, con un’analisi campionaria abbiamo visto che riusciamo a determinare un intervallo in cui con una certa probabilità è contenuta la media dell’universo. Se due diverse misure individuano due intervalli all’interno dei quali con una certa probabilità è contenuta la media dell’universo e i due intervalli hanno un punto in comune allora entrambe possono essere state ottenute dalla stessa popolazione ovvero sono misure dello stesso parametro, questa è la compatibilità. Definendo l’incertezza in questo modo (ciò che ci permette di verificare la compatibilità) avremo la possibilità di associargli un livello di confidenza, cioè la probabilità che la nostra misura sia compatibile con qualsiasi altra misura dello stesso parametro (fatta con strumenti diversi, diversi operatori..). Quando diamo un valore di misura con una certa incertezza, garantiamo che tale misura sia compatibile con un’altra misura dello stesso parametro con un certo rischio d’errore. Possiamo quindi dedurre che se la misura è un insieme gaussiano il mio obiettivo è quello di stimare i parametri della distribuzione (media e scarto tipo). Lo scarto tipo diventa esattamente l’incertezza perché permette di definire un intervallo in cui è contenuta la media, scegliendo il moltiplicatore k dello scarto, scegliamo il livello di confidenza. Livello di confidenza del 68% k=1 Livello di confidenza del 95% k=2 Livello di confidenza del 99% k=3 18 A questa scelta è legato il “costo” di un’eventuale errore (ad esempio, consideriamo la misura di una tensione di snervamento: il rischio d’errore dev’essere minimo se si usa il dato per la progettazione di un componente che mette in pericolo la salute delle persone). Qualsiasi sia il livello di confidenza che scegliamo lo scarto tipo delle misure rappresenta tutto ciò che ci serve per definire un’incertezza. In conclusione possiamo dare le assunzioni base della UNI-CEI-ENV13005: Si fa riferimento alla distribuzione di Gauss. I parametri caratterizzanti la distribuzione sono m e s . s è l’elemento di base per il calcolo dell’incertezza tipo e viene definito “incertezza tipo”. Tutte le incertezze elementari che vengono usate in una valutazione di incertezza devono essere preliminarmente convertite in incertezza tipo. Ci sono due modalità di valutazione di incertezze: - INCERTEZZA di TIPO A - INCERTEZZA di TIPO B INCERTEZZA DI TIPO A Per valutare questo tipo di incertezza si ripete n volte una misura e si calcola la media ∑= = n ii x n m 1 1 poi si esegue una stima dello scarto tipo ( ) 1 12 -- = ∑= nm x s n ii la misura sarà data dalla media e la sua incertezza sarà lo scarto tipo della media ovvero la misura sarà: n s m x± = . Questa è un’operazione di stima campionaria. Abbiamo cioè preso n misure da un insieme di “infinite” misure e abbiamo stimato la media e lo scarto tipo di tale popolazione. Tutto ciò che possiamo dire è che la media del nostro campione è vicina alla media di tutte le misure possibili con una certa probabilità 9. La valutazione dell’incertezza di tipo A si basa sull’ipotesi di eliminare qualsiasi effetto sistematico nelle misure (ipotesi questa che è stabilita propriamente dalla norma). Ma vediamo più in dettaglio la distinzione tra effetti sistematici ed effetti casuali sulle misure: i primi comportano uno spostamento del valore medio dei nostri dati dal valore medio dell’universo (detto valore convenzionalmente vero della misura) e possono essere, ad esempio, legati ad un difetto dello strumento; i secondi invece determinano “l’apertura” della campana di distribuzione e sono legati a errori di tipo casuale come ad esempio i tempi di reazione di un operatore. Quantitativamente l’errore sistematico di uno strumento si valuta come differenza tra la media di una serie di misure ripetute di un campione di misura ed il valore nominale del campione stesso. La 9 Se il campione fosse di pochi elementi dovrei usare la distribuzione t di student. 19 ripetibilità si valuta invece come scarto tipo delle misure ripetute del campione. Il Vocabolario internazionale delle misure edito nella versione italiana nel 2010 come norma UNI-CEI-70099 definisce la caratteristica degli strumenti di essere affetti da un piccolo errore sistematico come “giustezza” e quella di essere affetti da un piccolo valore della ripetibilità come “precisione”. La norma nella valutazione di tipo A dell’incertezza assume che nell’uso degli strumenti siano corretti tutti gli effetti sistematici. INCERTEZZA DI TIPO B L’incertezza di tipo B non segue un’analisi campionaria, ma determina lo scarto tipo in qualsiasi modo diverso, basandosi su conoscenze a priori. ESEMPIO: consideriamo un termometro digitale che ci da’ una lettura discretizzata con passo di 1° centigrado. Se leggiamo una temperatura di 11°C non vuol dire che il valore di temperatura esatto sia 11.000°C, bensì che sarà compreso tra 10.5°C e 11.4°C. Tutti i valori compresi tra questi due avranno uguale probabilità di essere il valore “corretto”. Infatti la distribuzione di probabilità è una distribuzione rettangolare che prevede probabilità costante all’interno e nulla fuori (figura 9). La densità di probabilità è ( ) a 1 xf=dove a è la lunghezza dell’intervallo, e lo scarto tipo è 3 2a = s . Questo è un esempio in cui noi sappiamo, senza fare misure ripetute, com’è la distribuzione di probabilità e quindi riusciamo a determinare lo scarto tipo. La valutazione dell’incertezza di tipo B può essere fatta in diversi modi: · In molti strumenti di misura viene dichiarato nel certificato di taratura, il valore di incertezza da associare alla lettura, in un determinato campo di valori. · Sugli strumenti digitali, la risoluzione spesso ci da’ direttamente l’incertezza che coincide con l’errore di arrotondamento. · Alcune volte ci si basa sull’esperienza di chi ha utilizzato precedentemente lo strumento. Questa è una via assolutamente razionale ed accettabile, anche se meno controllabile. La normativa non definisce una preferenza nella determinazione dell’incertezza con quella di tipo A o con quella di tipo B, ma le considera allo stesso livello. INCERTEZZA COMBINATA Spesso una misura è derivata dalla misurazione di altri parametri che si legano ad essa attraverso una generica funzione f. ( )px xf y, , 1K = vogliamo sapere l’incertezza su y,conoscendo le incertezze sulle singole ix. Facendo uno sviluppo in serie di Taylor otteniamo: ( ) E x xf x xf y i p ii p+ ¶¶ + = ∑= d 1 1 , , K dove E rappresenta i termini di ordine superiore al primo e viene trascurato. ysi ottiene dalla somma di un termine costante e di una sommatoria di termini aleatori dovuti alla variazione dei parametri, e tale sommatoria è causa Figura 3-2 20 dell’incertezza su y . Lo scarto tipo di una variabile ottenuta dalla somma di variabili aleatorie è la radice quadrata della somma dei quadrati degli scarti tipo. ∑=        × ¶¶ = ± = p ix i y y p ii xf i i x x f y 12 1 ) , , (K Questa relazione vale soltanto se le grandezze ix sono scorrelate tra loro; altrimenti occorre inserire i termini di correlazione; la relazione che si ottiene è in questo caso: ji ixx p ip ijj i ji P ix i yii xf xf i xf i ∑ ∑ ∑ - = += = ¶¶ ¶¶ +        ¶¶ = 1 1 1, 12 2 r La quantità ixf ¶ ¶ è detta indice di sensibilità ed è spesso utilizzata nella scelta degli strumenti perché, nel caso in cui assuma un valore molto elevato, anche se le variazioni del parametro ix sono molto, l’effetto sull’incertezza combinata sarà molto pesante. I termini r ij sono detti coefficienti di correlazione e sono nulli nel caso le variabili non siano correlate. Esiste un caso particolare in cui la valutazione dell’incertezza combinata risulta molto semplificata: quando u b a p px x x x x f y× × × = = K K 22 1 1 ) , , ( , allora 1 13 2 1 1xa x xx x x f xf pp = × × × × × = × ¶¶ KK . Se ripetiamo questa operazione per ogni ix, si ottiene: 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1        × + +        × =        × × ¶¶ + +        × × ¶¶ = px x x p x yxiu xia i f xf i f xf y i p p K K INCERTEZZA ESTESA L’incertezza tipo permette di definire un intervallo di valori caratterizzato da un livello di confidenza qualsiasi (tipicamente 68.3%, 95% e 99.7%), attraverso dei coefficienti moltiplicativi detti fattore di copertura. Tale incertezza viene definita incertezza estesa e vale dunque: i e=k i t I fattori di copertura k per ottenere i livelli di confidenza 68.3%, 95% e 99.7% valgono nel caso di distribuzione gaussiana 1, 2 e 3 rispettivamente. Nel caso l’ipotesi gaussiana non sia applicabile si devono valutare i fattori per la specifica distribuzione di probabilità, ad esempio con valutazioni dell’incertezza tramite procedure A con numero di campioni ridotti (indicativamente × = 4. come somma delle espressioni 1 e 2. Figura 4-6 Figura 4-7 Figura 4-8 29 s p xfI lettura I i¢ + × = le due rette partano dal valore costante dato dalla percentuale del fondoscala. 30 5. Caratteristiche generali della strumentazione RESISTENZA AGLI URTI La norma EN50102 prevede la classificazione degli strumenti in base alla capacità di sopportare un urto senza subire alterazioni funzionali. La norma prevede le modalità di esecuzione della prova che conduce ad una classificazione dello strumento in 11 categorie corrispondenti a capacità di sopportare impatti di energia crescente. L’indicazione viene fatta con il codice IK00, IK01...IK10. La classe IK00 non garantisce la resistenza a nessun impatto mentre la IK10 corrisponde a resistenza ad impatti di penetratori aventi energia cinetica di 20 J CLASSE DI PROTEZIONE DELL ’INVOLUCRO La normativa di riferimento è la EN-IEC 60529, ha lo scopo di classificare gli involucri della strumentazione in base alla capacità di resistere alla penetrazione di corpi estranei e acqua. Il codice i costituito da: · sigla IP · codice numerico 0¸6 (o X se non vi è stata verifica) che indica la resistenza a corpi estranei, il valore più alto corrisponde a dimensioni più piccole dei corpi. · Codice numerico 0¸8 (o X se non vi è stata verifica) ad indicare la resistenza alla penetrazione dell’acqua · Lettera A¸D, protezione da accesso con parti del corpo di dimensioni decrescenti: dorso della mano...dita · Lettera H,S,M,W indicazioni addizionali specifiche. AMBIENTE Ci si riferisce alla norma IEC 654 che effettua una classificazione degli ambienti secondo il campo di valori che possono assumere le variabili ambientali. 31 ACCURATEZZA DI UNO STRUMENTO Fino ad ora abbiamo visto come interpretare un dato numerico di una misura. Ora vediamo qualcosa sulla scelta dello strumento e su quali caratteristiche bisogna valutare. La caratteristica più importante è l’incertezza strumentale definita dalla norma “ISO GUIDE 99 VIM” (2007) (diventata UNI-CEI-70099 nella traduzione italiana), come “contributo all’incertezza di misura dovuto all’utilizzo dello strumento”. Prima di questa definizione del VIM (e quindi ancora ampiamente in uso) vi erano termini diversi and indicare questa caratteristica, si propone di seguito un quadro di definizioni di termini nel mondo anglosassone e in Italia che possono dare adito a gravi incomprensioni. La terminologia anglosassone prevedeva: Accuracy un parametro che dice globalmente di quanto si scostano i valori di lettura di uno strumento da quella che dovrebbe essere la lettura ideale (valore nominale del campione di taratura). Due termini vanno a distinguere le componenti dell’accuracy. (Il VIM considera l’accuracy una “qualità” di uno strumento, da non associare a un valore numerico, il corrispondente parametro “quantitativo” è infatti l’instrumental uncertainty.) Precision identifica la “larghezza della campana di distribuzione dei valori delle misure ripetute di un campione”, identificata dal valore dello scarto tipo dei valori di misura ripetuta e indica quindi quanto i valori ripetuti di una misura sono vicini tra loro. (Questa definizione viene confermata nel VIM 2007). Bias identifica uno scostamento del valore medio della distribuzione dei dati di misure ripetute di un campione dal valore convenzionalmente vero, ossia dal valore nominale del campione usato per la misura ripetuta. (VIM 2007 indica il parametro systematic error per quantificare questa quantità e la trueness per la qualità corrispondente) Vediamo ora la terminologia italiana corrispondente alla UNI-CEI 70099: · Precisione, corrisponde alla definizione VIM2007 di “precision”, cioè indica la caratteristica di ottenere valori molto vicini tra loro quando si effettuano misure ripetute di un campione, questo corrisponde anche alla presenza di piccoli errori casuali. · Giustezza, corrisponde alla “measurement trueness” e indica la caratteristica di ottenere un valore medio delle misure di un campione che si discosta poco dal valore nominale del campione stesso ovvero di avere piccoli errori sistematici. · Accuratezza, corrisponde ad “accuracy” ed indica la proprietà di ottenere, nella ripetizione della misura di un campione, valori poco discosti dal valore nominale del campione stesso corrisponde a piccoli errori di misura. Giustezza e Accuratezza sono termini che indicano delle qualità e non devono essere quantificati tramite valori numerici che invece vanno attribuiti all’errore sistematico e all’incertezza strumentale; in questo si differenzia la precisione che può essere indicata tramite lo scarto tipo dei valori misurati. Si ricorda che il significato tradizionalmente attribuito ai termini precedenti è diverso, esiste quindi una terminologia ampiamente in uso in Italia sebbene ormai resa obsoleta UNI-CEI 70099 e riportata di seguito. Accuratezza corrispondeva a piccolo errore sistematico, corrisponde ora alla giustezza, Ripetibilità corrispondeva a piccolo errore casuale, corrisponde ora alla precisione, Precisione corrispondeva a piccolo scostamento tra valori di misura e valore del campione, corrisponde ora all’accuratezza. Sono evidenti i problemi e le incomprensioni linguistiche che possono sorgere ed è dunque necessaria una certa “flessibilità”. 32 In conclusione possiamo dire che il termine accuratezza 13, riportato sul certificato dello strumento, “spesso” indica il valore d’incertezza da dare alle misure fatte con quello strumento, con l’unica accortezza di verificare se la cifra indicata abbia o meno il significato di scarto tipo. Se, ad esempio, ci venisse detto che l’intervallo racchiude il 95% dei dati, allora dovremmo dividere per due in modo da trovare il valore dello scarto tipo. Può capitare che per alcuni strumenti non sia data l’accuratezza, ma soltanto la risoluzione; questo perché in quei casi, essendo la risoluzione la componente più grande che da’ lo scostamento tra il valore letto e il valore del campione, le due grandezze corrispondono. Infatti variando la grandezza in ingresso di una quantità più piccola della risoluzione non riscontriamo nessuna variazione all’uscita, ossia banalmente grandezze più piccole della risoluzione non sono valutabili. Altre volte, invece dell’accuratezza viene data la linearità; questo capita per quegli strumenti per i quali la linearità rappresenta la causa dominante dello scostamento tra valore letto e valore nominale. Consideriamo uno strumento che abbia comportamento non lineare e per il quale ci venga segnalato un errore di linearità del 5% del fondo scala: se noi dovessimo utilizzare tale strumento in un campo ridotto potremmo migliorare l’errore di linearità rifacendo la curva di taratura solo nel campo di utilizzo. Possiamo quindi dedurre che gli strumenti che sono limitati in accuratezza dalla linearità possono, in taluni casi, essere migliorati con l’utilizzo di campi ridotti (o di una relazione ingresso-uscita non lineare). UTILIZZO DELLO STRUMENTO . Ci troviamo in questa situazione: dal certificato di taratura ricaviamo un valore di a S y= e la relazione matematica che lega l’ingresso all’uscita, che ad esempio può essere q mx y + = . Figura 5-1 Nell’usare lo strumento leggiamo il valore 0y dato in uscita e inserendolo nel grafico 14 ricaviamo immediatamente il corrispettivo valore di 0x . Quanto varrà l’incertezza? Abbiamo un intervallo di valori sulle y che riportiamo sulle x tramite il coefficiente m , concludendo che il valore determinato sarà: m a i con i x x 0 = ± = Spesso invece di dare la a rispetto a y, ci viene data già divisa per m , in modo da fornire direttamente l’incertezza della variabile misurata. 13 Se utilizziamo uno strumento precedente alla SS-UNI CEI U37.00.001.0, ovvero il 1990 ma in molti casi anche fino ad oggi bisogna cercare la precisione e non l’accuratezza. 33 ERRORE DI INSERZIONE . Per eseguire una misura lo strumento deve essere posto “in contatto” con la grandezza che si vuole rilevare. Da un punto di vista concettuale possiamo fare una distinzione tra “il sistema” senza lo strumento di misura e “il sistema “ in presenza dello strumento di misura. L’inserzione dello strumento nel “sistema “ comporta sempre una sua alterazione cui in generale corrisponde una variazione della grandezza che si vuole misurare. Tale alterazione viene denominata errore di inserzione. Un esempio pratico di questo effetto può essere evidenziato dall’utilizzo di un termometro nella misura della temperatura di un corpo avente massa comparabile con quella del termometro stesso. Risulta evidente che nel momento in cui il termometro verrà posto in contatto con il corpo si avrà un flusso di calore tra i due e l’indicazione che si otterrà al raggiungimento dell’equilibrio risulterà intermedia tra la temperatura “vera” del corpo e da quella iniziale del termometro. L’errore di inserzione viene usualmente quantificato come errore relativo: ii MXX X - = e Dove con X m si intende il valore misurato, X i il valore che idealmente si sarebbe ottenuto se lo strumento non avesse prodotto alcuna alterazione del misurando. L’entità dell’errore di inserzione risulta dipendere dal trasferimento di energia tra “il sistema” e lo strumento di misura, se idealmente il flusso fosse nullo si avrebbe anche un effetto di inserzione nullo. Al fine di analizzare il flusso di energia e quindi determinare gli errori di inserzione si può ricorrere agli schemi che utilizzano una rappresentazione a parametri concentrati dei sistemi fisici, la cui applicazione nel campo elettrico è particolarmente comune. I sistemi elettrici vengono rappresentati con reti costituite da componenti passivi, resistenze, capacità induttanze e da generatori. Si può agevolmente dimostrare che nel caso di misura di una tensione l’errore di inserzione definito sopra dipende dal rapporto tra l’impedenza equivalente “vista “ dai punti di inserzione del voltmetro e l’impedenza del voltmetro stesso. In particolare l’errore tende a zero quando l’impedenza del voltmetro è molto più elevata di quella equivalente del sistema. Nel caso di misura di una corrente la condizione per ottenere un ridotto errore di inserzione risulta invece quella opposta, ovvero, l’impedenza del misuratore deve essere molto più piccola di quella del sistema. Schemi analoghi a quelli elettrici si possono definire per le grandezze meccaniche, termiche, idrauliche, ecc. e su questi valutare gli effetti di inserzione con gli stessi formalismi. CATENE DI MISURA Molto frequentemente nella realizzazione pratica di sistemi di misura la grandezza in uscita di uno strumento diventa la grandezza di ingresso per uno “strumento” successivo che effettua delle trasformazioni utili secondo i casi alla sua trasmissione a distanza, o alla sua “pulitura” da disturbi che avevano alterato la misura iniziale o alla sua registrazione o visualizzazione. Il sistema di misura risulta quindi schematizzabile con una sequenza di “blocchi” che effettuano delle trasformazioni della grandezza in ingresso. Figura 5-2 Il problema che si pone a questo punto è esprimere la relazione complessiva che lega la grandezza di uscita w alla grandezza di ingresso x. Ipotizziamo nel seguito che tutti gli strumenti della catena siano di tipo lineare, per ciascuno la relazione ingresso-uscita è data da A C B z y x w 34 gu=k g i che particolarizzata per i vari blocchi diventa y=Ax; z=By; w=Cz Componendo le tre relazioni precedenti si ottiene: w=ABCx In generale la relazione ingresso-uscita di una serie di strumenti si ottiene dal prodotto delle sensibilità dei singoli strumenti. Resta ancora da determinare quale sarà l’incertezza sulla variabile w dovuta alla elaborazione. Nel caso generale si può ritenere che x, la variabile in ingresso alla catena abbia una variabilità quantificata dalla su incertezza intrinseca. La fascia di valori della x verrà trasformata in una corrispondente fascia di valori dal primo strumento ovvero avremo che x±U x => y±U y = Ax±AUx e considerando l’intera catena: W±Uw=ABCx±ABCU x Fino a questo punto non si è considerato che, ogni strumento della catena introduce un contributo all’incertezza di misura quantificabile con la sua accuratezza. Considerando le incertezze lo schema si modifica come segue: Figura 3 Ia componente di incertezza U A , inseguito all’elaborazione attraverso i blocchi successivi, porterà ad un contributo all’incertezza di W pari ad B ·C·UA e analogamente si avrà la componente C· U B mentre U C non subirà alcuna alterazione. Combinando tutti i contributi si avrà: 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( C B A WU U C U C B U C B A U+ × + × × + × × × =. La U W potrà poi essere ricondotta ad una equivalente quantità sulla misura di x. La misura di X risulterà quindi essere: C B A U C B A w x W × × ± × × = L’incertezze derivante U X sarà dunque più elevata della sola U, incertezza intrinseca del misurando, a causa di tutti i contributi dovuti agli strumenti. A C z y y x ±U w ±Uw UA UB UC B 35 6. Conversione Analogico–Digitale A\D La maggior parte dei dati raccolti in operazioni di misura ormai vengono analizzati ed immagazzinati attraverso l’utilizzo di calcolatori. Le stesse operazioni che abbiamo descritto sopra (come l’analisi spettrale, la trasformata di Fourier, ecc.) sono tutte effettuate grazie ai computer. Per poter utilizzare i dati raccolti dallo strumento di misura su di un calcolatore, però, bisogna effettuare un’operazione che prende il nome di conversione analogico-digitale, la quale consta di due fasi: · quantizzazione ⇒ il segnale analogico continuo viene suddiviso in un insieme di stati discreti; · codifica ⇒ si assegna una “parola” digitale ad ogni stato discreto ( una stringa di caratteri secondo un opportuno codice). Analizziamo queste due fasi un po’ più nello specifico. Solitamente lo strumento ci fornisce un segnale ()ty in tensione che è continuo