Mechanical Engineering - Meccanica Delle Vibrazioni

Linearizzazione

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1.Linearizzazione dell'equazione di moto per un sistema ad 1 d.o.f. Riscriviamo le forme di energiaEC=12
n c X j=16 X i=1m j i
_ y m( q)2 j i=12
n c X j=16 X i=1m j i
 @ ym( q) j i@ q  2
_ q2 =12
M(q)
_ q2 V=12
n k X j=1k j

l(q)2 j+n p X j=1m j
g
h(q) j D=12
n r X j=1r j
_
l(q)2 j=12
n r X j=1r j
 @
l(q) j@ q  2
_ q2 =12
R(q)
_ q2  L=n f X j=1F j
 yf( q) j=n f X j=1F j
 @ yf( q) j@ q 
 q=F q q L'equazione di Lagrange è:ddt  @ EC@ _ q @ E C@ q + @ D@ _ q+ @ V@ q = F q M(q)
 q+12
@ M (q)@ q _ q2 +R(q)
_ q+n k X j=1k j

l(q) j
@
l(q) j@ q +n p X j=1m j
g
@ h (q) j@ q = F q Per linearizzare l'equazione di moto del sistema possiamo considerare la forzante come somma di una componente costante e di una componente variabile (o tempo-dipendente). Fq= F q0+ f q( t) Per determinare la posizione di equilibrio statico del sistema dobbiamo considerare solo le componenti statiche dell'equazione di Lagrange: @ V@ q  0= F q0 nk X j=1k j

l(q 0) j
 @
l(q) j@ q  0+n p X j=1m j
g
 @ h(q) j@ q  0= F q0 In generale quest'ultima è un'equazione non lineare e se risolta permette di trovare la posizione statica (in generale possono esistere più posizioni di equilibrio, bisogna studiarne la stabilità). Eettuiamo una trasformazione delle coordinate: q=q 0+q _ q=_q )_ q 0= 0  q=q ) q 0= 0 L'equazione del moto perturbato è:ddt  @ EC@ _q  @ E C@q + @ D@ _q + @ V@q = f q( t) Fabio Santoro Pag. 1 Adesso dobbiamo linearizzare le altre forme di energia, dobbiamo quindi renderle quadratiche 1.1Energia CinericaEC= E C0+ @ EC@ q  0
q + @ EC@ _ q 0
_q +12
 @2 EC@ q 2 0
q 2 +12
 @2 EC@ _ q2 0
_q 2 +12
 @2 EC@ _ q
@ q 0
q
_q +


Analizziamo un termine alla volta:ˆE C0= cost ˆ @ EC@ q  =12
 @ M(q)@ q 
_ q2 ) @ EC@ q  0= 12
 @ M(q)@ q  0
_ q2 0=12
 @ M(q)@ q  0
02 = 0 ˆ @ EC@ _ q =M(q)
_ q) @ EC@ _ q 0= M(q 0)
_ q 0= M(q 0)
0 = 0 ˆ @2 EC@ q 2 =12
 @2 M(q)@ q 2
_ q2 ) @2 EC@ q 2 0= 12
 @2 M(q)@ q 2 0
_ q2 0=12
 @2 M(q)@ q 2 0
02 = 0 ˆ @2 EC@ _ q2 =M(q)) @2 EC@ _ q2 0= M(q 0) = M 0 ˆ @2 EC@ _ q
@ q = @ M(q)@ q 
_ q) @2 EC@ _ q
@ q 0= @ M(q)@ q  0
_ q 0= @ M(q)@ q  0
0 = 0 L'energia cinetica si riduce quindi a: EC E C0+12
M 0
_q 2 1.2Energia Dissipativa L'energia dissipativa ha una struttura del tutto simile a quella dell'energia cinetica, mostriamo il risultato senza riportare i passaggi: D12
R 0
_q 2 1.3Lavoro Virtuale L  q=n f X j=1( F j0+ F j( t))
 @ yf j@ q  0 =n f X j=1F j0
 @ yf j@ q  0+n f X j=1F j0
 @2 yf j@ q 2 0
q +n f X j=1F j( t)
 @ yf j@ q  0+n f X j=1F j( t)
 @2 yf j@ q 2 0
q +


F q0+ K F0
q +F q( t) +K F( t)
q  L  q F q0+ K F0
q +F q( t) +K F( t)
q Fabio Santoro Pag. 2 1.4Energia potenziale V=V 0+ @ V@ q  0
q +12
 @2 V@ q 2 0
q 2 +


Procediamo ad analizzare un termine di questa espressione alla volta:ˆV 0= cost ˆ@ V@ q =n k X j=1k j

l(q) j
 @
l(q) j@ q  +n p X j=1m j
g
 @ hj@ q  ) @ V@ q  0=n k X j=1k j

l(q 0) j
 @
l(q) j@ q  0+n p X j=1m j
g
 @ hj@ q  0 ˆ@ 2 V@ q 2=n k X j=1k j

l(q) j
 @2
l(q) j@ q 2 +n k X j=1k j
 @
l(q) j@ q  2 +n p X j=1m j
g
 @2 hj@ q 2 ) @2 V@ q 2 0=n k X j=1k j

l(q 0) j
 @2
l(q) j@ q 2 0+n k X j=1k j
 @
l(q) j@ q  2 0+n p X j=1m j
g
 @2 hj@ q 2 0= K 0 L'espressione dell'energia potenziale risulta dunque:VV 0+ @ V@ q  0
q +12
K 0
q 2 1.5conclusione Ricapitoliamo tutte le forme di energia in forma linearizzata EC=12
M 0
_q 2 D=12
R 0
_q 2 V=V 0+ @ V@ q  0
q +12
K 0
q 2  L  q= F q0+ K F0
q +F q( t) +K F( t)
q Ricordiamo l'espressione dell'equilibrio statico:@ V@ q  0= F q0 L'equazione di Lagrange è: ddt  @ EC@ _q  +12
 @ EC@q  +@ D@ _q + @ V@q = F q0+ K F0
q +F q( t) +K F( t)
q M0
q +R 0
_q + @ V@ q  0+ K 0
q =F q0+ K F0
q +F q( t) +K F( t)
q M0
q +R 0
_q +K 0
q =K F0
q +F q( t) +K F( t)
q 8 > > > < > > > : @ V@ q  0= F q0 M0
q +R 0
_q +K 0
q =K F0
q +F q( t) +K F( t)
q Fabio Santoro Pag. 3