Mechanical Engineering - Metodi Analitici e Numerici per L'Ingegneria

Full exam

MANI.M.VRZ - 08.02.22 - Calcolatore Le domande sono contenute in tre diversi Form  (Scelta Multipla 8 pt, Calcolatore 10 pt, Carta e penna 15 pt) per un totale di 33 punti; ad ognuna è stato attribuito un punteggio variabile, a seconda del grado di difficoltà. Nelle risposte SI RIPORTINO I COMANDI Matlab e Freefem richiesti e si commentino sempre i risultati ottenuti.Si calcoli con il metodo delle potenze il massimo autovalore della matrice A ottenuta con i comandi n = 250; A = ones(n); A = tril(A); d = 0:n-1; A = A + diag(d); dopo aver scelto una tolleranza di 1e-5 per il criterio di arresto, un numero di iterazioni massime pari a 1000 e il vettore ones(n, 1) come guess iniziale. Il metodo: (1 punto) 1. non converge; converge in circa 107 iterazioni al valore 125.23; converge in circa 128 iterazioni al valore 200.30; converge in circa 234 iterazioni al valore 250.46; converge in circa 237 iterazioni al valore 234.45; Si consideri la funzione f = exp(-x^2) sull'intervallo I = [0, 2]. Si calcoli l'integrale approssimato di f in I usando le formule del punto medio, del trapezio e di Simpson composite su N sottointervalli uniformi. Si scelga la risposta esatta: (1 punto) 2. l'integrale definito diverge; il metodo di Simpson restituisce il valore esatto per ogni N, poiché f è la composizione tra un esponenziale e un polinomio di secondo grado; il metodo del punto medio restituisce il valore 0.9028 per N = 4; il metodo del trapezio restituisce il valore 0.7780 per N = 2; il metodo di Simpson restituisce il valore 0.8821 per N = 4; Si consideri l'equazione differenziale ordinaria riportata sotto e la si risolva numericamente con il metodo di Eulero in avanti e con il metodo di Heun su 100 sottointervalli uniformi. Si scelga l'affermazione corretta: (2 punti) 3. { (�) = cos (�) + � �′ �(0) = 1/2, � ∈ (0,3), essendo  = + − . �������� ������� sin (�) 2 cos (�) 2 le soluzioni approssimate non hanno la stessa concavità della soluzione esatta; la soluzione ottenuta con Heun è identica a quella ottenuta con Eulero in avanti; l'errore di approssimazione in corrispondenza di t = 3 vale 0.0096 per il metodo di Heun; l'errore di approssimazione in corrispondenza t = 3 vale 0.085 per il metodo di Eulero in avanti; il metodo di Newton utilizzato in Heun non converge a partire dall'istante t = 2.15; Si risolva il sistema Ax = b, con A data da n = 250; A = ones(n); A = tril(A); d = 0:n-1; A = A + diag(d); e b tale che xex = ones(n,1) sia la soluzione esatta. A tal fine, si usi uno schema di Richardson precondizionato scegliendo P come la matrice diagonale estratta da A, x0 un vettore di zero di opportune dimensioni, 1e-6 come tolleranza per il criterio di arresto, 500 come numero massimo di iterazioni, e 0.5 per il parametro di accelerazione. Si verifichi e commenti a priori la convergenza del metodo iterativo e, successivamente, lo si applichi per il calcolo della soluzione approssimata. (2 punti) 4. Per dimostrare la convergenza a priori dobbiamo calcolare il raggio spettrale della matrice di iterazione (B=eye(n)-alpha*(P\A)) e verificare che sia strettamente minore di 1: B=eye(n)-alpha*(P\A); rhoB=max(abs(eig(B))) Esce che rhoB = 0.5, per cui il metodo è convergente. La soluzione approssimata si calcola nel seguente modo: n = 250; A = ones(n); A = tril(A); d = 0:n-1; A = A + diag(d); xex = ones(n,1); b=A*xex; P=diag(diag(A)); x0=zeros(n, 1); tol=1e-6; nmax=500; alpha=0.5; [ x, k ] = richardson( A, b, P, x0, tol, nmax, alpha) Si risolva con il metodo degli elementi finiti il problema di diffusione e reazione riportato sotto, utilizzando FreeFEM. A tal fine, si scelga un numero opportuno di suddivisioni lungo i bordi del dominio e si considerino elementi finiti lineari. Infine, si commenti il comportamento della soluzione lungo i bordi del dominio con particolare riferimento alle condizioni al bordo imposte. (4 punti) 5. ⎧ ⎩ ⎨   − Δ �(�,�) + 3�(�,�) = 0 (�,�) = − 2 ∂� ∂������ �(�,�) = 1 (�,�) = 0 ∂� ∂������ (�,�) = 0 ∂� ∂������ (�,�) ∈ (0,1) × (0,3) (�,�) ∈ (0,1) × {0} (�,�) ∈ {1} × [0,3] (�,�) ∈ (0,1) × {3} (�,�) ∈ {0} × [0,3] Questo contenuto è creato dal proprietario del modulo. I dati inoltrati verranno inviati al proprietario del modulo. Microsoft non è responsabile per la privacy o le procedure di sicurezza dei propri clienti, incluse quelle del proprietario di questo modulo. Non fornire mai la password. Con tecnologia Microsoft Forms | Privacy e cookie | Condizioni per l'utilizzoint m = 64; mesh Th=square(m,m,[1*x,3*y]); fespace Xh(Th,P1); Xh uh,vh; problem Problem1(uh,vh) = int2d(Th)(dx(uh)*dx(vh) + dy(uh)*dy(vh)) Problem1; plot(uh, fill = 1, dim = 3); ai bordi abbiamo condizioni di dirichlet(bordo 2) e neumann(bordo 1,3,4)