Mechanical Engineering - Macchine

Appunti introduzione e Macchine Idrauliche

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Amedeo Passero Macchine Prof. GP Anno Accademico 2021-20221 INDICE Amedeo Passero Indice 1 Richiami di termodinamica 41.1 Modellazione del lavoro per STS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2 Modellazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.3 Relazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.4 Modelli termodinamici di fluidi di lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.4.1 Gas ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.4.2 Liquidi ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 2 Equazioni di bilancio per sistemi fluenti 112.1 Bilancio di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.2 Bilancio di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2.3 Bilanci per pi`u ingressi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 3 Classificazione delle Macchine a Fluido 15 4 Turbomacchine 164.1 Bilanci per rotori di turbomacchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174.1.1 Bilancio della quantit`a di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 4.1.2 Bilancio del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 4.1.3 Bilancio di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 4.2 Bilanci per rotori con sistema di riferimento rotante (s.r.r.) . . . . . . . . . . . . . .204.2.1 Bilancio quantit`a d moto (s.r.r.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 4.2.2 Bilancio di energia (s.r.r.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 4.3 Triangoli di velocit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 4.3.1 ES: Ventilatore assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 4.4 Stadio di turbina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 5 Macchine idrauliche 295.0.1 Condotti Idraulici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 5.1 Impianti di pompaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 5.2 Impianto idroelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 5.3 Adimensionalizzazione del lavoro per le macchine idrauliche . . . . . . . . . . . . . .345.3.1 Adimensionalizzazione Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 5.3.2 Adimensionalizzazione lavoro di un impianto . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 5.3.3 Rendimenti con l’adimensionalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 5.4 Similitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .355.4.1 Limiti della similitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 5.5 Curve caratteristiche delle macchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 5.6 Diagrammi statistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .395.6.1 Diagramma di Cordier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 5.6.2 Diagramma di Balje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 5.6.3 Diagrammi statistici per le turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 5.7 Cavitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 5.8 Impianto di pompaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Pag. 2 di 65 INDICE Amedeo Passero 6 Pompe centrifughe 45 6.1 Lavoro, perdite e prevalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 6.2 Grado di reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 6.3 Relazioni Impianto-Macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 6.4 Adimensionalizzazione della prevalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 6.5 Stabilit`a punti di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 6.6 Pompe centrifughe multi-stadio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516.6.1 Pompe in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 6.6.2 Pompe in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 7 Altre tipologie di pompe 537.1 Pompe assiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 7.2 Pompe volumetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .537.2.1 Pompe alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 7.2.2 Pompe rotative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 8 Turbine idrauliche 578.1 Turbina Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .588.1.1 Triangoli di velocit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 8.2 Draft tube su macchine a reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 Pag. 3 di 65 1 RICHIAMI DI TERMODINAMICA Amedeo Passero 1 Richiami di termodinamica Fino agli inizi dell’800, si pensava ”completo” il teorema dell’energia meccanica anche nel mondo reale. Bisogna infatti aspettare Joule, che attraverso il suo famoso esperimento, capisce che il teorema era incompleto. Joule infatti arriver`a a capire che la somma del calore e del lavoro `e pari alla somma di energia cinetica, energia potenziale e energia interna, capendo quindi che il calore `e una forma di energia:Q+L= ∆E K+ ∆ E P+ ∆ E int(1) Definizione 1Si definisce ”Sistema Termodinamico Semplificato” (STS) un sistema dove i corpi non sono in movimento (quindiE K= 0 ) e non ci sono forze di volume (quindiE P= 0 ). Si consideri ora un sistema termodinamico semplificato, quindi il bilancio energetico si riduce in lavoro, calore e energia interna. Andiamo a considerare un caso molto semplice, ossia un caso di trasformazione ciclica. Qui, proprio perch´e si torna al punto di partenza, l’energia totale scambiata deve essere nulla, deve valere quindi la seguente relazione matematica: ˛ (δL+δQ) = 0 andando ora a spezzare il percorso in due tratti (percorso A: 1→2 e percorso B: 2→1), possiamo andare a riscrivere l’integrale di linea come: ˆ2 1,A( δL+δQ)−ˆ 2 1,B( δL+δQ) = 0 =⇒ˆ 2 1,A( δL+δQ) =ˆ 2 1,B( δL+δQ) Osservando ci`o appena trovato, possiamo vedere che l’integrale dipende solo dalle condizioni iniziali, e non dal percorso compiuto. Questa `e la caratteristica delle funzioni di stato. Possiamo allora dire che l’integrale `e una funzione di stato che dipende dal unto 1 e dal punto 2. Questa funzione di stato la andiamo a definire come variazione dell’energia interna1 : ˆ2 1( δL+δQ) =f(1,2) =U 2− U 1(2) possiamo quindi arrivare a formulare quello che viene chiamatoprimo principio della termodi- namica: Q+L= ∆U(3) e unendolo all’energia totale del sistema, possiamo formulare il seguente bilancio energetico: Q+L= ∆U+ ∆E K+ ∆ E P(4) 1.1 Modellazione del lavoro per STS Andiamo a considerare un fluido che viene compresso per mezzo di un pistone che esercita una forza FE X T(solo forza di contatto, non abbiamo forze di volume perch´e STS) come viene rappresentato in figura 1.1 Importante osservare che considereremo per tutto il corso la variazione di energia interna comeU 2− U 1e non U1− U 2(quindi −∆Ucome in corsi precedenti). Questo perch´e useremo una sola convenzione di segno per lavoro e per calore. Infatti considereremo positivo il lavoro e il calore entranti al sistema Pag. 4 di 65 1 RICHIAMI DI TERMODINAMICA Amedeo Passero Figura 1: Compressione di un fluido Se la forza esterna si considera applicata quasistaticamente (quindi molto lentamente, ideal- mente a tempo infinito), la forza interna esercitata dal fluido sar`a uguale ed opposta a quella esterna:F E X T= −F I N T la forza interna `e facilmente calcolabile attraverso la pressione del fluido come: FI N T=ˆ APndA =PnA Dunque possiamo concludere che il lavoro compiuto dalla forza esterna sar`a forza per spostamento, quindi varr`a:δL=−PnAdw =−P dV(5) Le considerazioni fatte sopra sono per`o per sole applicazioni di forze quasistatiche. Nella realt`a questo sar`a impossibile perch´e le forze sono da applicare in un tempo finito. Questo fa s`ı che si generano dei vortici e quindi degli attriti (portando l’energia cinetica ad avere un valore diverso da zero). In un processo reale quindi dovremo considerare una forza in pi`u legata agli attriti e quindi un lavoro in pi`u (legato al rendimento del processo/macchina):F E X T= −F I N T+F f= ⇒δL=−F I N Tdw +F fdw =−P dV+L W(6) 1.2 Modellazione del calore Tutti i processi che includono la trasformazione di calore in energia meccanica seguono obbligato- riamente ilsecondo principio della termodinamica. Un enunciato possibile `e: un processo in cui tutto il calore viene convertito in solo lavoro meccanico, `e impossibile Noto quindi il fatto che abbiamo un limite di massimo di calore convertibile in lavoro meccanico, sorge subito spontaneo chiedersi quanto sia il calore massimo trasformabile in lavoro meccanico. Per capirlo ci aiuta il Th. di Clausius che dice che per una trasformazione ciclica vale la seguente relazione:˛ δQT ≤ 0 (7) doveδQ`e il calore scambiato infinitesimo eT`e la temperatura della sorgente. Pag. 5 di 65 1 RICHIAMI DI TERMODINAMICA Amedeo Passero Se consideriamo adesso il caso ideale, ossia delle trasformazioni reversibili, e consideriamo una trasformazione ciclica divisa in due percorsi (percorso A: 1→2 e percorso B: 2→1), possiamo andare a riscrivere il Th. di Clausius come segue: ˆ2 1,AδQT −ˆ 2 1,BδQT = 0 = ⇒ˆ 2 1,AδQT =ˆ 2 1,BδQT Possiamo quindi notare come questo valore non dipenda dal percorso seguito, quindi `e una funzione di stato, che andremo a definire come ”Variazione di entropia”: ˆ2 1δQT = f(1,2) =S 2− S 1 Se vogliamo invece andare a considerare il caso reale, e quindi di una trasformazione irreversibile, possiamo riformulare il Th. di Clausius uguagliando l’integrale all’entropia di irreversibilit`a: ˛δQT = −∆S I RR L’entropia di irreversibilit`a `e un fattore che ci misura quanto una trasformazione non `e reversibile. Possiamo quindi dire che l’integrale sar`a pari un termine legato alla reversibilit`a ridotto di un termine legato alle irreversibilit`a della trasformazione: ˆ2 1δQT =ˆ 2 1( δQT ) RE V−ˆ δSirr= ⇒S 2− S 1=ˆ 2 1δQT + ∆ S I RR Passando poi attraverso la formula infinitesima: dS=δQT + ∆ S I RR possiamo arrivare a definire il calore scambiato durante la trasformazione irreversibile come: Q=ˆ T dS−ˆ T δSI RR(8) 1.3 Relazione fondamentale Si torna adesso a considerare il caso di un sistema termodinamico semplificato. Una volta modellato il lavoro ed il calore come nei paragrafi precedenti, possiamo andare a scrivere l’equazione del bilancio di energia come: ∆U=L+Q=ˆ −P dV+L W+ˆ T dS−ˆ T δSI RR Se consideriamo poi il caso ti trasformazione quasistatica e idealmente reversibile possiamo scrivere ∆U R= L+Q=ˆ −P dV+ˆ T dS Ricordiamo adesso che ∆U R= ∆ U, questo `e possibile affermarlo poich´e la variazione di energia interna `e variabile di stato, quindi non dipende dalla natura della trasformazione. Detto ci`o si pu`o Pag. 6 di 65 1 RICHIAMI DI TERMODINAMICA Amedeo Passero facilmente osservare come l’essere una trasformazione quasistatica o irreversibile `e la stessa cosa, ossia la variazione di entropia `e data da solo gli attriti: LW=ˆ T δSI RR Andiamo adesso a scrivere il bilancio di energia in forma infinitesima:dU=T dS−P dV(9) Possiamo subito osservare come l’energia internaUdipenda da solo l’entropiaSe il volumeV. Si possono quindi facilmente ricavare queste relazioni per definire la temperaturaTe la pressioneP: U=U(S, V)T= ∂ U∂ S  V ∂ U∂ V  S Osserviamo comeTePci dicono come varia l’energia interna al variare dell’entropia e del volume, queste sono grandezze intensive (segnate in lettere maiuscole), ossia sono grandezze che hanno valore locale (grandezze dove la massa non conta).U,SeVsono invece grandezze estensive, ossia hanno valore globale (influenzate dalla massa). Per ottenere grandezze a valori locali devo andare a dividere le grandezze estensive per la massa, ottenendo cos`ı energia, volume ed entropia specifici (che segneremo in lettere minuscole): u=UM v =VM = 1ρ s =SM possiamo quindi riscrivere le relazioni trovate prima in forma locale: du=T ds−P dv u=u(s, v)T= ∂ u∂ s  vP = ∂ u∂ v  s 1.4 Modelli termodinamici di fluidi di lavoro Per comprendere al meglio il il materiale con cui andiamo a lavorare, `e importante conoscere i diagramma di fase di quest’ultimo. Trattando noi fluidi, andremo ad analizzare un diagramma di fase centrato nella zona di transizione liquido-vapore. Per aiutarci nella comprensione, utilizzeremo un diagramma che ha nelle ascisse l’entropia, quindi una grandezza estensiva, e nelle ordinate la temperatura (intensiva).Figura 2: Diagramma di fase T-s Nel grafico 2 vediamo come si distribuiscono possibili tipi di fluidi. osserviamo che i liquidi ideali si trovano in una zona a bassa temperatura e bassa pressione. Esempio invece di fluido supercritico ad oggi molto usato `e laC O 2. Nel nostro corso per semplicit`a tratteremo solo i liquidi e i gas perfetti, che sono un’ulteriore semplificazione dei casi ideali, come vedremo pi`u avanti. Pag. 7 di 65 1 RICHIAMI DI TERMODINAMICA Amedeo Passero 1.4.1 Gas ideali I gas ideali sono quei gas che seguono queste equazioni di stato2 : (u=u(T) P V=nR 1T conR 1costante dei gas perfetti pari a R 1= 8314JkmolK . Per la nostra trattazione risulta comodo lavorare con il volume specifico, quindi andiamo a dividere la seconda equazione per la massa, trovando:(u=u(T) P v=RT(10) conRcostante dei gas divisa per la massa molecolare del fluido in considerazione. Quindi `e una costante per solo il fluido considerato, non pi`u generica. Andiamo adesso ad identificare meglio la prima equazione, ossia la caratterizzazione dell’energia interna. Per farlo dobbiamo introdurre una nuova grandezza, ossia il calore specificoc X: cX= δqdT  X=    c v= δqdT  v cP= δqdT  P(11) quic vrappresenta il calore specifico a volume costante, invece c Prappresenta il calore specifico a pressione costante. Andiamo adesso ad ipotizzare che la trasformazione `e reversibile, quindi che δq=T ds. Importante notare che essendou=u(s, v) allora sar`a anches=s(u, v), quindi non potremo andare a scrivereds(derivata totale), ma dovremo usare le derivate parziali∂ s: cv= T ∂ s∂ T  vc P= T ∂ s∂ T  P(12) L’ipotesi di trasformazione reversibile, vedremo pi`u avanti, ci permetter`a comunque di lavorare con trasformazioni irreversibili. Queste infatti genereranno calore, che se modellizzato, potr`a essere usato per quantificare l’irreversibilit`a della trasformazione. Torniamo ora all’equazionedu=T ds− P dve deriviamola rispetto alla temperatura a volume costante. ∂ u∂ T  v= T ∂ s∂ T  v− P  >0  ∂ v∂ T  v= c v=dudT Poich´e stiamo parlando di gas ideali, possiamo dire che la derivata parziale diu`e uguale alla derivata totale, in quantoudipende solo dalla temperatura. Andando ad integrare questa relazione esplicitando l’energia interna, possiamo arrivare a riscrivere le equazioni di stato dei gas ideali come: (u=u 0+´ T T0c v( T)dT P v=RT(13)2 Importante `e osservare che le equazioni di stato devono essere ameno due. Questo `e dato dal fatto che cono- scendo due equazioni di stato comeT=T(s, v) eP=P(s, v), posso andare a definire completamente un sistema termodinamico grazie alla relazione fondamentale dell’energia interna (TePperch´e risultano molto pi`u semplici da calcolare rispetto adsedv). Nel nostro caso trattando fluidi ideali possiamo accontentarci di sole due equazioni di stato, per fluidi pi`u complessi si deve invece ricorrere a modelli numerici pi`u complessi Pag. 8 di 65 1 RICHIAMI DI TERMODINAMICA Amedeo Passero Andiamo adesso ad introdurre una nuova grandezza, l’entalpia specifica h. In generale l’entalpia `e definita come segue: h=u+P v=⇒dh=T ds+vdP Nel caso dei gas ideali, possiamo andare a sostituire (RT) a (P v). Cos`ı si osserva che essendo h=u(T) +RT, l’entalpia dei gas ideali sia funzione della sola temperaturah=h(T) (quindi la sua derivata rispetto alla temperatura, sar`a una derivata totale e non parziale). Derivando adesso l’entalpia rispetto alla temperatura a pressione costante (similmente al processo fatto per l’energia interna), possiamo dire: ∂ h∂ T  P= T ∂ s∂ T  P− v  >0  ∂ p∂ T  P= c P=dhdT integrando poi l’equazione e esplicitando rispetto all’entalpia possiamo ricavare l’espressione dell’entalpia specifica per i gas ideali: h=h f+ˆ T T0c P( T)dT(14) quih frappresenta l’entalpia di formazione, grandezza che tiene conto dell’energia chimica che caratterizza il materiale preso in considerazione.Un altra grandezza di notevole importanza, come avevamo gi`a introdotto precedentemente, `e l’entropia specifica. Questa si pu`o definire come: ds=dhT − vP dP =c PdTT − RdPP essendovT =RP e dh=c PdT . Integrando questa relazione possiamo arrivare a scrivere la formulazione della entropia specifica nei gas ideali: s=s 0+ˆ T T0c P( T)dTT − RlnPP 0(15) Nel corso tratteremo per`o i gas perfetti, ossia un’ulteriore semplificazione dei gas ideali. I gas perfetti o politropici, sono infatti quei gas che compiono solo trasformazioni politropiche, ossia trasformazioni dovec ve c Primangono costanti. Per i gas perfetti possiamo quindi affermare che valgono le seguenti relazioni: cv, c P= cost u=u 0+ c v( T−T 0) h=h f+ c P( T−T 0) s=s 0+ c PlnTT 0− RlnPP 01.4.2 Liquidi ideali I liquidi ideali sono quei liquidi dove la comprimibilit`a e la dilatabilit`a `e molto bassa, quindi trascurabile. I liquidi ideali si definiscono quindi incomprimibili per semplicit`a di trattazione. Questi hanno la caratteristica che la densit`a (ρ) non varia al variare di temperatura (T) e pressione Pag. 9 di 65 1 RICHIAMI DI TERMODINAMICA Amedeo Passero ( P), quindi anche il volume specificovsar`a costante. Possiamo quindi ora andare a scrivere le equazioni di stato: (u=u(T) v=cost Analogamente ai gas ideali, andremo ora a caratterizzare l’energia interna. Per farlo andremo a definire il calore specifico dei liquidi come: cL= T ∂ s∂ T  v(16) Essendo poidu=T ds, in quanto−P dv= 0 poich´e il fluido `e incomprimibile, possiamo andare a scrivere: du=c LdT =⇒u=u 0+ˆ T T0c L( T)dT Similmente per l’entropia possiamo dire che: ds=duT = c LdTT = ⇒s=s 0+ˆ T T0c L( T)dTT Infine per l’entalpia possiamo scrivere che: dh=T ds+vdP=⇒h=h f+ˆ T T0c P( T)dT+v(P−P 0) Notiamo che per i liquidi ideali nell’entalpia no vi `e solo la componente termica, ma vi `e anche una componente meccanica (v(P−P 0)). Nel corso non tratteremo i liquidi ideali, bens`ı una loro semplificazione, ossia i liquidi perfetti. Questi hanno la caratteristica che il calore specifico rimane costante. Possiamo quindi scrivere le seguenti relazioni: cL= cost u=u 0+ c L( T−T 0) h=h f+ c L( T−T 0) + v(P−P 0) s=s 0+ c LlnTT 0Pag. 10 di 65 2 EQUAZIONI DI BILANCIO PER SISTEMI FLUENTI Amedeo Passero 2 Equazioni di bilancio per sistemi fluenti Per lo studio dei sistemi fluenti, possiamo utilizzare diversi tipi di bilanci. Esistono infatti bilanci di massa, bilanci di energia, bilanci di quantit`a di moto e bilanci di momento angolare. 2.1 Bilancio di massa Poich´e stiamo considerando sistemi fluenti, e quindi non stazionari, dobbiamo fare un bilancio di massa derivato rispetto al tempo. Il nostro bilancio deve quindi rispettare l’espressione: dMdt = 0 (17) Sappiamo poi che la massa sar`a pari a:M=´ ΩρdV , ma come facciamo a definire il volume Ω? Iniziamo considerando un corpo schematizzabile come in figura 3. Possiamo subito notare che il volume del fluido non sar`a costante nel tempo, infatti questo varier`a al variare dell’istante temporale considerato (questo volume lo chiameremo ”volume materiale” Ω = Ω(t)). Come facciamo quindi a studiare un volume in continuo cambiamento? Il metodo pi`u semplice `e quello di creare un volume di controllo Ωf. Questo volume `e il volume scelto da noi, delimitato dalle linee tratteggiate in figura, ossia il volume che sta tra la sezione di ingresso e quella di uscita. Se si fa una fotografia istantanea ad un tempoτ, si pu`o studiare il corpo materiale scegliendo come volume, quello riempito in quell’istante. Possiamo quindi dire che Ω(τ) = Ω fFigura 3: Flusso nel volume di controllo Possiamo quindi ora scrivere la massa integrando sul volume di controllo come: M=ˆ ΩfρdV Adesso per`o dobbiamo tornare al bilancio di massa iniziale, sorge per`o subito un problema, infatti non possiamo dire che dMdt = ddt ˆ Ω(t )ρdV =   *sbagliato ! ddt ˆ ΩfρdV (18) poich´e non considero che il volume sta cambiando nel tempo. Qui ci viene in soccorso ilTeorema del trasporto di Raynolds. Qui Raynolds ha l’intuizione di portare la derivata all’interno Pag. 11 di 65 2 EQUAZIONI DI BILANCIO PER SISTEMI FLUENTI Amedeo Passero dell’integrale, derivando per`o anche il differenziale del volume. Vediamo qui sotto qual `e il concetto di questo teorema prendendo in considerazione una variabile genericaφ(`e un campo,φ(x,t )) dd tˆ Ω(t)φdV =ˆ Ω(t)d φd tdV +ˆ Ω(t)d( dV)d dt= · · ·=dd tˆ ΩfφdV +ˆ ∂Ω fφV ·ˆ ndS(19) Il primo termine che si ricava rappresenta l’accumulo, il secondo rappresenta il flusso. In questo corso noi per`o useremo flussi stazionari3 , ossia flussi che non variano nel tempo. Questa ipotesi ci porter`a a considerare il termine di accumulo nullo. Cos`ı troviamo una relazione che ci dice che ci`o che entra `e uguale a ci`o che esce dal volume di controllo. Torniamo adesso al nostro bilancio di massa schematizzato in figura 3. Se vogliamo utilizzare il teorema di Raynolds, dobbiamo andare a definire che cos’`e il bordo del volume di controlloδΩ f. Possiamo vederlo come la somma delle: superfici materiali o solide (S M), superficie di ingresso (S in) e superficie di uscita ( S out). Su queste superfici dobbiamo poi andare a definire la velocit`a del fluido che passa attraverso: SM→V ·ˆ n= 0, S in→V ·ˆ n in=V in, S out→V ·ˆ n out=V out Si scrive adesso il bilancio di massa:dd tˆ Ω(t)ρdV =dd tˆ ΩfρdV +ˆ ∂Ω fρV ·ˆ ndS= 0 (20) Utilizzando adesso le considerazioni fatte sul bordo del volume di controllo, possiamo scrivere il termine di flusso come: ˆ ∂Ω fρV ·ˆ ndS=   * 0 ˆ SMρV ·ˆ ndS+ˆ SoutρV outdS −ˆ SinρV indS riportando questa considerazione nel bilancio di massa possiamo scrivere che l’accumulo `e uguale alla massa che entra meno la massa che esce: dd tˆ ΩfρdV =ˆ SinρV indS −ˆ SoutρV outdS Se per`o usiamo l’ipotesi di flusso stazionario, come detto in precedenza, il termine di accumulo si annuller`a, e si trova la seguente relazione.ˆ SinρV indS =ˆ SoutρV outdS =⇒˙ m in= ˙ m out= ˙ m(21) Questi due integrali rappresentano rispettivamente la portata massica in entrata e la portata massica in uscita (o flusso di massa)4 . Se utilizziamo i parametri concentrati, allora possiamo andare a fare una media della velocit`a nella sezione e scrivere la portata massica come:ˆ SρV ndS =ρV nS3 Attenzione, qui si parla di flussi, non di fluidi stazionari, sono due cose ben diverse! 4Si osserva che si parla di portata massica, non di portata volumetrica. Infatti la portata volumetricaQ=´ SV dS non si conserva in quanto la densit`a in entrata pu`o cambiare rispetto alla densit`a in uscita, in generale per fluidi comprimibili Pag. 12 di 65 2 EQUAZIONI DI BILANCIO PER SISTEMI FLUENTI Amedeo Passero 2.2 Bilancio di energia Per scrivere il bilancio di energia dobbiamo andare prima a capire che energie sono in gioco. Sar`a presente infatti l’energia interna, l’energia cinetica e l’energia potenziale. L’energia potenziale la consideriamo come solo energia potenziale gravitazionale, solo in pochi casi infatti si va a riscontrare la presenza di anche energia potenziale data dalla forza centripeta. Nella nostra analisi chiameremo bilanci di energia quelli che in realt`a sono bilanci di potenze per semplicit`a di trattazione. Partiamo quindi scrivendo il bilancio di energia pi`u generale che ci possa venire in mente: ddt ˆ Ω(t)ρ (u+V 22 + gz)dV=˙ Q+˙ L0 Per maggiore chiarezza si noti cheV rappresenta la velocit`a (essendo un vettore),Vrappresenta il volume (essendo uno scalare).Analizziamo adesso i singoli termini dell’equazione. Partiamo dall’applicare il teorema del trasporto all’integrale a sinistra dell’uguale. Essendo le frontiere del nostro volume di controlloS in eS out, possiamo scrivere: ddt ˆ Ω(t)ρ (u+V 22 + gz)dV=ddt ˆ Ωfρ (u+V 22 + gz)dV+ˆ Sin+ S outρ (u+V 22 + gz)V ·ˆ ndS Pi`u impegnativa pu`o essere l’analisi del termine del lavoro˙ L0. Per prima cosa andiamo a scrivere il lavoro come: lavoro dato dalle forze di volume sommato al lavoro dato dalle forze di superficie (anche dette forze di contatto): ˙ L0=   *0 ˆ Ωρf ·V dV +ˆ ∂Ωσ ·V dS Osserviamo che l’unica forza di volume che sar`a presente nel nostro fluido, `e la forza di gravit`a, che abbiamo per`o gi`a preso in considerazione nel primo termine del bilancio di energia (congz), quindi l’intero termine delle forze di volume andr`a a zero. Importante `e osservare che qui possiamo interscambiare tranquillamente Ωf, Ω( t) e Ω poich´e non stiamo guardando il sistema nel tempo. Essendo poiσ =−Pˆ n+τ , possiamo scrivere il termine delle forze di superficie come: ˆ SM( −Pˆ n+τ )·U dS +ˆ Sin+ S out( −Pˆ n·V )dS+     :∼ 0 ˆ Sin+ S out(τ ·V )dS Qui il primo termine indica la potenza scambiata con le superfici mobiliS M, questa la chiameremo ˙ L. Rappresenta quindi la potenza della macchina, eU rappresenta la velocit`a delle pareti. Il secondo termine rappresenta la potenza di pulsione. Questa rappresenta l’energia spesa per mettere un fluido in pressione nella macchina di lavoro. L’ultimo termine `e la potenza viscosa, questa `e l’energia che si spende originata dalle viscosit`a del fluido. Nella nostra trattazione ha un valore molto basso, quindi risulta trascurabile rispetto agli altri termini.Possiamo adesso quindi riscrivere l’iniziale bilancio di energia come: ddt ˆ Ωfρ (u+V 22 + gz)dV+ˆ Sin+ S outρ (u+V 22 + gz)V ·ˆ ndS=ˆ Sin+ S out( −Pˆ n·V )dS+˙ L+˙ Q Moltiplicando poi la potenza di pulsione perρv= 1 trovando all’interno dell’integrale la formula- zioneρpvV ·ˆ ne portando questo termine a sinistra dell’equazione, arriviamo a scrivere:      : 0 ddt ˆ Ωfρ (u+V 22 + gz)dV+ˆ Sin+ S outρ (u+pv+V 22 + gz)V ·ˆ ndS=˙ L+˙ Q Pag. 13 di 65 2 EQUAZIONI DI BILANCIO PER SISTEMI FLUENTI Amedeo Passero Ricordiamo poi che l’entalpia hvale propriou+pve che siamo nell’ipotesi di flusso stazionario, quindi il primo integrale sar`a nullo in quanto rappresenta l’accumulo di energia, possiamo andare a riscrivere il bilancio di energia come: ˆ Sin+ S outρ (h+V 22 + gz)V ·ˆ ndS=˙ L+˙ Q(22) Se adesso andiamo ad utilizzare l’ulteriore ipotesi dei parametri concentrati, possiamo andare a scrivere il bilancio di energia come: ˙ m out( h+V 22 + gz) out− ˙ m in( h+V 22 + gz) in=˙ L+˙ Q(23) Unendo adesso il bilancio di energia appena trovato al bilancio di massa (21), possiamo andare a dividere entrambi i membri per la portata massica ˙m, trovando cos`ı una nuova relazione dovel rappresenta il lavoro specifico eqil calore scambiato a livello specifico5 : (h out− h in) +V 2 out− V2 in2 + g(z out− z in) = l+q(24) Cerchiamo adesso la formulazione meccanica del bilancio di energia. Per farlo proviamo a togliere quei termini di tipo termico presenti dia in ∆hche inq. Andiamo a scrivere questi due termini come avevamo imparato nei richiami di termodinamica, dove ricordiamo chel wrappresenta il lavoro specifico dissipato: ∆h=ˆ out inT ds +ˆ out invdP q=ˆ out inT ds −ˆ out inT δs irr=ˆ out inT ds −l w sostituendo all’ultimo bilancio di energia trovato, possiamo vedere come il termine´ out inT ds si semplifichi, avendo come risultato: l−l w=V 2 out− V2 in2 + g(z out− z in) +ˆ out invdP (25) Questo appena scritto rappresenta il bilancio dell’energia meccanica. Su questa equazione risulta necessario fare delle considerazioni. Innanzitutto il lavorol wrisulter`a sempre positivo (per il secondo principio della termodinamica). Quella che pu`o invece variare `e la relazione che c’`e tra lavorolel w. Infatti se abbiamo che l >0 el w< l , la nostra macchina sar`a una pompa, viceversa sel l la macchina sar`a una turbina. Nel bilancio possiamo poi vedere come una macchina pu`o, compiendo lavoro, andare ad avere effetti differenti sul fluido. Se infatti la macchina andr`a ad aumentare la variazione di energia cinetica (V 2 out− V2 in2 ), si tratter`a di una macchina tipo un ventilatore. Se va ad aumentare la variazione di energia potenziale, sar`a una macchina che andr`a ad alzare il fluido, come ad esempio un compressore. Se invece si va ad aumentare la variazione di energia data dal ∆P, avremo una macchina che va a comprimere il fluido, come un compressore. Quest’ultimo termine dato dalla variazione di pressione si pu`o anche chiamare lavoro tecnico. Osserviamo che in idraulica,v=cost, quindi l’integrale diventaP out− P inρ , che ci ricorda giustamente il teorema di Bernoulli visto in altri corsi.5 Attenzione, non centra nulla con il calore specifico Pag. 14 di 65 3 CLASSIFICAZIONE DELLE MACCHINE A FLUIDO Amedeo Passero 2.3 Bilanci per pi`u ingressi Le equazioni di bilancio viste sinora, sono valide anche per un sistema a pi`u ingressi e uscite. Ipotizzando di avereiingressi ejuscite, possiamo andare a scrivere i bilanci di massa e di energia come: M assa:X iρ iniV nin iS ini=X jρ outjV nout jS outj−→X i˙ m ini=X j˙ m outj E nergia:X j( h+V 22 + gz) outj˙ m outj−X i( h+V 22 + gz) ini˙ m ini= ˙ L+˙ Q 3 Classificazione delle Macchine a Fluido Per analizzare al meglio le macchine a fluido, buona norma classificarle in base alle diverse carat- teristiche. Esistono diverse classificazioni: •Direzione del lo scambio termico: –Macchine motrici, queste macchine convertono l’energia del fluido (diminuendo la pressionePe l’entalpiah) in lavoro meccanico ceduto all’esterno (avremo quindi lavoro l 0) in energia meccanica del fluido, aumentando quindi la pressionePe l’entalpiah. •Comportamento del fluido di lavoro: –Macchine idrauliche(o a flusso incomprimibile), sono quelle macchine dove la densit`a del fluido pu`o considerarsi costante, e quindi il fluido di comporta come liquido perfetto o ideale. –Macchine termiche, sono invece macchine dove gli effetti della comprimibilit`a del fluido non possono considerarsi irrilevanti ai fini della trasformazione termodinamica che avviene nella macchina stessa, qui quindi il fluido si comporta come un gas perfetto, ideale o reale •Operativit`a: –Macchine volumetriche, queste scambiano lavoro per mezzo di uno spostamento o di una variazione ciclica del volume occupato dal fluido (esempio classico `e il sistema cilindro-pistone). In questo tipo di macchine avremo basse velocit`a del fluido, basse portate e lavoro specifico elevato. Queste a loro volta si possono suddividere in ∗Compressori/espansori alternativi di gas, qui avremo dei pistoni che in moto alter- nativo andranno a comprimere o espandere il gas che viene dapprima introdotto e poi espulso attraverso dei sistemi di valvole. ∗Compressori/espansori rotativi, questi invece sono elementi meccanici che, ruotan- do, catturano il fluido e generano una variazione di volume occupato dal fluido, intercettando dapprima il gas, che poi viene compresso o espando, ed infine viene espulso Pag. 15 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero Figura 4: Schema rappresentativo di pistoni alternati Figura 5: Schema rappresentativo di compressione/espansione rotativa –Turbomacchine, queste scambiano lavoro per mezzo dello scambio di forze tra i com- ponenti rotanti della macchina (come pu`o essere un rotore palettato) e il fluido durante il suo moto. In queste macchine avremo alte velocit`a e alte portate del fluido, avremo invece un lavoro specifico limitato Queste classificazioni possono poi essere combinate opportunamente come in tabella 6 per andare a descrivere ancora pi`u a fondo il tipo di macchina che stiamo considerando.Figura 6: Tabella classificazione delle macchine a fluido 4 Turbomacchine Queste macchine, come gi`a detto, hanno la peculiarit`a di scambiare lavoro attraverso lo scambio di forze tra il flusso e i componenti rotanti della macchina. In particolare si tratta di scambio di forze aerodinamiche tra flusso e palettature rotanti. Nelle turbomacchine avremo due tipi di Pag. 16 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero palettatura, le palettature rotanti, dette anche rotori, che hanno il compito di creare o usare il lavoro (in base se sono turbine o compressori), e le palettature fisse, dette anche statori, che hanno invece il compito di deflessione del flusso. Un insieme di rotore+statore viene detto ”stadio”. Se la macchina avr`a pi`u stadi verr`a detta ”macchina multi-stadio”. Le turbomacchine possono essere classificate ulteriormente in macchine assiali o macchine radiali. •Macchine assiali, qui il flusso attraversa la macchina in una direzione circa parallela all’asse di rotazione. Le traiettorie del flusso inoltre giaceranno su superfici approssimabili a superfici cilindriche. Qui in particolare possiamo dire che tra ingresso ed uscita, la distanza rea il flusso e l’asse di rotazione rimane circa costante. Queste macchine sono adatte a portate molto elevate, ma hanno bassi lavori specifici per ogni singolo rotore. Se per`o andiamo a montare pi`u rotori in serie (formando una multi-stadio), raggiungeremo elevate potenze scambiate •macchine radiali, qui il flusso attraversa la macchina in una direzione circa normale all’asse di rotazione. le traiettorie del flusso inoltre giaceranno su superfici approssimabili a superfici coniche. Qui tra ingresso e uscia, la distanza tra il flusso e l’asse di rotazione cambia forte- mente, rendendo il moto del flusso un moto radiale. Queste macchine sono adatte a portate molto basse, hanno per`o lavori specifici elevati per ogni singolo rotore (rimanendo comunque inferiori alle macchine volumetriche). Nelle macchine radiali risulta per`o complesso riuscire a montare pi`u rotori in serie, quindi si avr`a comunque un limite di potenza scambiata. 4.1 Bilanci per rotori di turbomacchine Per capire al meglio il funzionamento al fine progettare una turbomacchina, risulta fondamentale andare a fare i bilanci della quantit`a di moto, del momento angolare, e dell’energia.Figura 7: Rappresentazione in vista meridiana (sopra) ed interpalare (sotto) di una turbomacchina Sapendo che dovremo fare dei bilanci, si inizia la trattazione con la definizione del volume di controllo e del suo confine. Il bordo del volume di controllo∂Ω flo possiamo infatti vedere Pag. 17 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero come ∂Ω f= S in+ S out+ S M, dove S ine S outsono le superfici di ingresso e uscita, e S M`e la superficie materiale del rotore, infatti sar`a una superficie rotante. Questa a sua volta sar`a pari a SM= S H+ S B+ S S H, ossia la somma di rispettivamente la superficie del mozzo (Hub), la superficie delle palettature (Blade) e la superficie della cassa (Shroud). Le superfici, per maggiore chiarezza, vengono rappresentate tutte nella figura 7 4.1.1 Bilancio della quantit`a di moto Il bilancio della quantit`a di moto ci dice che la variazione nel tempo della quantit`a di moto (che ricordiamo essereΠ = ´ Ω(t)ρV dV ) sar`a pari alla forza totale del sistemaF . Questa sar`a quindi la somma delle forze di volume (nel nostro caso abbiamo solo la forza gravitazionale) e delle forze di superficie:dΠ d t=F =⇒ddt ˆ Ω(t)ρV dV =ˆ ΩfρgdV +ˆ ∂Ω fσdS Applicando poi il teorema del trasporto e andando a sostituire gli sforzi nell’equazione troviamo:   *0 ddt ˆ ΩfρV dV +ˆ Sin+ S outρV (V ·ˆ n)dV=ˆ ΩfρgdV +ˆ Sin+ S out− Pˆ ndS+   * ∼ 0 ˆ Sin+ S outτ dS +ˆ SMσdS Anche in questo caso eliminiamo il primo termine poich´e siamo in un moto stazionario e trascuriamo il termine viscoso perch´e sperimentalmente si vede che `e trascurabile. Importante `e osservare che gli unici sforzi dati dalleσsono quelli delle superfici solide, queste genereranno infatti una forza detta ”forza aerodinamica” (l’ultimo termine dell’equazione).Se adesso introduciamo l’ipotesi ulteriore dei parametri concentrati e del moto stazionario ( ˙m in= ˙ m out= ˙ m), possiamo, attraverso dei calcoli, semplificare il primo termine che risulta essere la velocit`a media moltiplicata per la portata massica. Portando poi a sinistra i termini legati alla pressione possiamo scrivere: ˙ m(V out−V in) +ˆ SinP ˆ ndS+ˆ SoutP ˆ ndS=ˆ ΩfρgdV +F AE RO(26) osserviamo che lasciando ˆnnegli integrali, si intende la relativa normale della superficie su cui si integra, per questo non compare il segno meno, questo comparir`a al momento della sostituzione dell’effettiva normale. 4.1.2 Bilancio del momento angolare Andiamo adesso a scrivere il bilancio del momento angolare. Questo ci dir`a che la variazione del momento angolare nel tempo (che ricordiamo valereΓ = ´ Ω(t)OP ×ρV dV ), sar`a pari alla somma delle coppie agenti sul fluido. Il momento angolare lo andremo a fare su un generico puntoP rispetto ad un poloOscelto nell’asse di rotazione. ddt ˆ ΩfOP ×ρV dV =ˆ ΩfOP ×ρgdV +     : 0 ˆ Sin+ S outOP ×(−Pˆ n)dS+ +    :0 ˆ Sin+ S outOP ×τ dS +ˆ SMOP ×σdS Pag. 18 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero Osserviamo che il termine derivante dalle pressioni `e nullo. Se infatti ad esempio prendiamo in considerazione la sezioneS out, se andiamo a fare il prodotto vettorialeOP ׈ n out, vedremo che nella parte superiore ci verr`a un vettore entrante nel foglio, nella inferiore ci verr`a uscente. Cos`ı via per ogni coppia di punti, quindi potremo dire che la risultante sar`a nulla. Questa `e una caratteristica dei flussi assial-simmetrici, ossia che non varia al variare dell’angoloθ. Vediamo poi che anche il termine dato dalle viscosit`a `e nullo, non solo trascurabile, per motivi identici al termine delle pressioni. Anche qui l’ultimo termine sar`a definito come ”coppia aerodinamica”, ossia la coppia scambiata con le superfici materiali.Se poi avessimo una macchina ad asse verticale, si annullerebbe anche il contributo della forza peso in quanto si eliderebbe da una parte all’altra della macchina. Noi comunque continueremo la trattazione senza questa ulteriore semplificazione, per avere un caso il pi`u generale possibile. Ap- plicando anche qui il teorema del trasporto e introducendo l’ipotesi di flusso stazionario, possiamo arrivare a scrivere il bilancio come:ˆ Sin+ S outOP ×ρV (V ·ˆ n)dS=ˆ ΩfOP ×ρgdV +C AE RO(27) 4.1.3 Bilancio di potenza La potenza di una turbomacchina `e facilmente data dalla formula ˙ L=ω ·C AE RO= ωC AE ROˆ ix= ω·C AE ROX Quindi capiamo subito che c serve solo la componente lungoXdella coppia. Per trovarla allora andiamo a moltiplicare scalarmente l’equazione di bilancio del momento angolare con il versoreˆ ix: "ˆ Sin+ S outOP ×ρV (V ·ˆ n)dS=ˆ ΩfOP ×ρgdV +C AE RO# ·ˆ ix Notiamo subito che la componente risultante delle forze peso su un corpo assial simmetrico `e sull’asse, quindi avremo soli effetti di flessione, non di torsione sull’asse, quindi il suo contributo lungoxsar`a nullo: CAE ROX=ˆ Sin+ S outOP ×ρV ˆ ix(V ·ˆ n)dS vediamo quindi che `e un’equazione molto semplice, riducibile poi attraverso il passaggio in coordi- nate prima cartesiane e poi cilindriche in: CAE ROX=ˆ SoutrV tρV noutdS −ˆ SinrV tρV nindS introducendo poi le ipotesi dei parametri concentrati e di moto stazionario potremo scrivere la coppia aerodinamica come: CAE ROX= ˙ m(r outV tout− r inV tin) (28) Vediamo comeV trappresenta la velocit`a tangenziale del fluido, e V mla velocit`a lungo l’asse del fluido, che infatti ci va a definire la portata massica.Possiamo ora tornare alla definizione di lavoro che avevamo dato in precedenza: ˙ L=ω·C AE ROX= ˙ m(ωr outV tout− ωr inV tin) Pag. 19 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero se poi andiamo a dividere per la portata massica troveremo la formulazione del lavoro specifico. Questa si chiama equazione di Eulero: l=ωr outV tout− ωr inV tin(29) Definendo infineU =ω ·r =ωˆ ix× rˆ ir= ωrˆ it= Uˆ itcome Velocit`a Periferica (ossia la velocit`a tangenziale delle pale), possiamo andare a riscrivere l’equazione di Eulero in un altra formulazione: l=U outV tout− U inV tin(30) Osserviamo che questa relazione appena trovata sar`a valida sia per trasformazioni reversibili che per trasformazioni irreversibili, infatti le componente degli sforzi (sia laσche laτ) non li abbiamo mai trascurati, gli sforzi viscosi si sono eliminati solo per simmetria. 4.2 Bilanci per rotori con sistema di riferimento rotante (s.r.r.) Per semplificare la progettazione e lo studio dei rotori di turbomacchine, essendo organi rotanti, risulta molto comodo spostarsi in un sistema di riferimento rotante posizionato sulle palettature.Per aiutarci nella trattazione `e bene richiamare i concetti base della relativit`a galileiana:V =U +W (31) doveV rappresenta la velocit`a assoluta,U la velocit`a di trascinamento eW la velocit`a relativa. Se adesso andiamo invece ad analizzare la nostra turbomacchina, avremo tre velocit`a principali, ossia: •V =V xˆ ix+ V rˆ ir+ V tˆ it= V mˆ im+ V tˆ itche rappresenta la velocit`a dl fluido, che, come gi`a visto possiamo vedere come una componente meridiana sommata a una componente tangenziale. •U =ω ×r =Uˆ itche rappresenta la velocit`a del solido. Questa per`o andr`a a rappresentare anche la velocit`a di un osservatore rotante posto sul solido stesso. Se noi a questo punto siamo quell’osservatore rotante, percepiremo un’altra velocit`a, ossia la velocit`a relativaW , quiU diventa la velocit`a di trascinamento •Abbiamo quindi infine la velocit`a relativaW . Vediamo come l’unico disturbo tra velocit`a assoluta e velocit`a di trascinamento avviene solo nella componente tangenziale.W =V −U =⇒      V X= W X Vr= W r Vt= W t+ U t Se adesso vogliamo capire coe si comporta l’accelerazione, dobbiamo andare a derivare la velocit`a: dV d t= dW d t+ω ×(ω ×r ) + 2(ω ×W ) +  >o dω d t×r Il primo termine rappresenta l’accelerazione percepita dall’osservatore rotante, il secondo rappre- senta l’accelerazione centripeta (−ω2 rˆ ir), il terzo rappresenta infine l’accelerazione di Coriol`ı. L’ul- timo termine lo andiamo a porre uguale a zero poich´e siamo a regime, quindi non consideriamo i transitori di accensione o spegnimento. Pag. 20 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero 4.2.1 Bilancio quantit`a d moto (s.r.r.) Nell’analisi del bilancio della quantit`a di moto, stavolta useremo un approccio diverso. Infatti ini- zieremo andando subito a sostituire la velocit`a in funzione della velocit`a relativa nella formulazione della quantit`a di moto:6 ˆ Ω(t)ρ dV d tdV =ddt ˆ Ω(t)ρW dV +ˆ Ω(t)ρ (−ω2 rˆ ir) dV+ˆ Ω(t)ρ 2ω ×W dV (32) Qui il primo termine rappresenta il tasso di variazione della quantit`a di moto percepita da un osservatore rotante. Il secondo rappresenta invece, come avevamo gi`a anticipato, la forza centripeta. Andiamo ora a scrivere l’effettivo bilancio della quantit`a di moto uguagliando ci`o che abbiamo trovato prima con la somma di tutte le forze agenti sul sistema: ddt ˆ Ω(t)ρW dV +ˆ Ω(t)ρ (−ω2 rˆ ir) dV+ˆ Ω(t)ρ 2ω ×W dV =F isolando poi la quantit`a di moto percepita dall’osservatore rotante, possiamo andare a scrivere la seguente relazione (ricordiamo che−(ω ×W ) =W ×ω ): ddt ˆ Ω(t)ρW dV =F +ˆ Ω(t)ρω 2 rˆ irdV +ˆ Ω(t)ρ 2W ×ωdV (33) Qui il secondo termine di destra indicher`a la forza di inerzia centrifuga7 (l’opposto della forza centripeta trovata precedentemente), l’ultimo termine invece rappresenta la forza di Coriol`ı: ddt ˆ Ω(t)ρW dV =F +f centrif+f cor(34) 4.2.2 Bilancio di energia (s.r.r.) Andiamo adesso a scrivere il bilancio di energia per un osservatore rotante come: ddt E R=˙ L0,R+˙ Q+     : 0 ˆ Ω(t)ρ 2W ×ω ·W dV Vediamo come al bilancio dobbiamo aggiungere anche la potenza data dalla forza di Coriol`ı. Pos- siamo per`o vedere rapidamente come questa sia nulla poich´e il prodotto vettoriale ci dar`a come6 Importante osservare che in questa operazione si `e portata tranquillamente la derivata all’interno dell’integrale e viceversa. Questo `e sempre possibile a meno che non vi siano delle reazioni nucleari che portino il materiale a non avere pi`u una massa costante nel tempo. Ci`o `e facilmente dimostrabile come segue in quantoρdV=dM: ddt ˆ Ω(t)ρV dV =ˆ Ω(t)ddt ( ρV dV ) =ˆ Ω(t)  dV d tρdV +   *0V d( ρdV)d t  =ˆ Ω(t)ρ dV d tdV 7Vogliamo osservare che questa `e una forza conservativa, quindi, essendo tale, possiamo scriverla come gradiente dell’energia potenziale:f c= −∇e c=      ∂ e c∂ x ∂ ec∂ r ∂ ec∂ θ 1r Pag. 21 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero risultato un vettore perpendicolare sia aW che aω , se poi dobbiamo moltiplicarlo scalarmente perW allora otterremo zero. Andiamo adesso a capire il valore dell’energia dell’osservatore rotanteE R. Questa dovr`a con- tenere anche il contributo della forza centrifuga. Per riuscire a scrivere il suo contributo dobbiamo sfruttare il fatto che l forza centrifuga sia una forza conservativa e che quindi possiamo scrivere:f c= ω2 rˆ ir=      ∂ e c∂ x = 0 ∂ ec∂ θ 1r = 0 ∂ ec∂ r =d e cd r Osserviamo immediatamente che la forza centrifuga dipende solo dal raggior, quindi le derivate parziali possono diventare totali. Quindi possiamo scrivere esplicitando l’energia potenziale della forza centrifuga: (ec=´ r 0− ω2 rdr ec( r= 0) = 0−→ e c= −12 ω 2 r2 =−U 22 Possiamo quindi scrivere l’energia come: ER=ˆ Ω(t)ρ (u+W 22 + gz−U 22 ) dV(35) doveurappresenta l’energia interna,W 22 rappresenta l’energia cinetica e gzl’energia potenziale gravitazionale. L’ultimo termine naturalmente l’energia potenziale della forza centrifuga.Andiamo ora a definire il lavoro˙ L0,R: ˙ L0,R=ˆ Sin+ S outσ ·W dS +    *0 ˆ SMσ ·W dS Qui il termine del lavoro scambiato con le superfici solide andr`a a zero poich´e l’osservatore rotante non percepisce scambio di lavoro sulle superfici del solido. Infatti la velocit`a del solido e del fluido sulle superfici materiali sno uguali, quindi la velocit`a relativaW sar`a nulla. Andando ora a sostituire gli sforzi otterremo come gi`a visto pi`u volte (trascurando gli sforzi viscosi): ˙ L0,R=ˆ Sin+ S out( −Pˆ n·W )dS+    : ∼ 0 ˆ Sin+ S out(τ ·W )dS Tornando adesso al bilancio di energia e applicando il teorema del trasporto sul primo ter- mine otteniamo il bilancio di energia per un osservatore rotante insieme ad un rotore di una turbomacchina:      :0 ddt ˆ Ω(t)ρ (u+W 22 − U 22 + gz)dV+ˆ Sin+ S outρ (u+W 22 − U 22 + gz)W ·ˆ ndS=ˆ Sin+ S out( −P vρW ·ˆ n)dS+˙ Q Se poi andiamo a considerare il moto come stazionario possiamo eliminare il primo termine. Portando ora a sinistra dell’uguale l’integrale con il termine delle pressioni e osservando cheh= u+pv, possiamo riscrivere come: ˆ Sin+ S outρ (h+W 22 − U 22 + gz)W ·ˆ ndS=˙ Q Pag. 22 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero Aggiungendo poi l’ipotesi dei parametri concentrati e osservando che W n= V nin quanto sono invarianti al sistema di riferimento rotante o inerziale, possiamo scrivere: (h+W 22 − U 22 + gz) out− (h+W 22 − U 22 + gz) in=˙ Q˙ m=

∼ 0 q(36) Qui i termini diineoutin quanto molto importanti nella trattazione vengono definiti come ”Ro- talpia” con simboloI. Essendo poi nei rotori di turbomacchine trascurabile il termine del calore scambiato a livello specifico, possiamo affermare che in una turbomacchina la rotalpia si conserva: Iout= I inoppure ∆h+∆ W22 − ∆ U22 + g∆z= 0 (37) Questa nuova legge di conservazione risulta molto utile nello studio delle turbomacchine in quanto si aggiunge alle equazioni di conservazione trovate gi`a in precedenza. In molte turbomacchine inoltre, avendo una bassa variazione di altezza tra ingresso e uscita delle pale del rotore, anche il termine g∆zrisulta trascurabile. Se adesso andiamo a sottrarre il bilancio appena trovato nell’equazione (36) (considerando anche il termine del calore) al bilancio di energia per generici sistemi fluenti trovato nell’equazione (24), possiamo arrivare a trovare una seconda formulazione per il lavoro compiuto all’interno di una turbomacchina: l=∆ V22 − ∆ W22 + ∆ U22 (38) Qui vediamo come il lavoro specifico compiuto dalla macchina `e la variazione di energia cinetica assoluta, meno quella relativa, e sommata alla componente di trascinamento.Si pu`o poi dimostrare che la formulazione appena trovata del lavoro `e uguale a quella trovata in precedenza nell’equazione (30). Si noti come per avere lavoro positivo (l >0), si pu`o accelerare il flusso assoluto, decelerare il relativo, e aumentare il raggio del rotore (aumentando cos`ı la com- ponente di trascinamento). Viceversa si pu`o fare un ragionamento analogo per ottenere un lavoro meccanico negativo.Questa formulazione `e molto importante per la differenziazione delle turbomacchine tra assiali e radiali. Se infatti la variazione dell’energia cinetica di trascinamento `e trascurabile, allora la macchina risulter`a assiale, viceversa risulter`a radiale: se∆ U22 ≈ 1%(∆ V22 − ∆ W22 ) →Assiale se∆ U22 > 1%(∆ V22 − ∆ W22 ) →Radiale 4.3 Triangoli di velocit`a Per proseguire al meglio lo studio di un fluido all’interno di una turbomacchina, `e importante introdurre il concetto di triangolo di velocit`a. Questo infatti ci aiuter`a a semplificare la correlazione traVeWe tra le sezioni di ingresso e uscita del rotore. Nella trattazione dei triangoli di velocit`a usiamo una macchina operatrice, ossia che ha lavoro positivo (l >0), quindi entrante nel sistema. Prendiamo in considerazione un fluido che, incanalato attraverso un tubo dritto, arriva in un rotore. Il fluido arriver`a quindi alla sezione di ingresso (1) con una velocit`a assoluta perfettamente orizzontale. La velocit`a meridianaU, sar`a una velocit`a imposta da come `e fatto il canale me- ridiano, essendoU=ωr, e nelle macchine assiali si pu`o affermare rimanere costante all’interno Pag. 23 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero Figura 8: Velocit`a di un fluido che attraversa un rotore della turbomacchina. Le velocit`aVeWinvece varieranno con l’attraversamento della macchina, varieranno sia di modulo che di direzione. Infatti, avendo a che fare con una macchina operatrice, ci aspetteremo cheW 2< W 1e che V 2> V 1, poich´e il lavoro si comporta seguendo l’equazione (38) risulta essere cos`ı positivo.Figura 9: Triangolo di velocit`a all’ingresso del rotore Andiamo adesso a rappresentare le tre velocit`a nel cosiddetto ”triangolo di velocit`a”. Qui immaginiamoci di vedere il flusso andare dall’alto verso il basso, come se guardassimo la vista della figura 8 da destra. Qui avremo come convenzione di segno vettori positivi verso sinistra e angoli positivi orari rispetto alla direzione meridiana. Definiamo adesso gli angoli delle velocit`a come:α`e l’angolo della velocit`a assoluta del fluido rispetto alla meridiana,β`e l’angolo della velocit`a relativa rispetto alla meridiana. Essendo nel nostro esempio la velocit`a assoluta iniziale del fluido tutta meridiana, risulter`a avere un angoloα= 0. Importante `e osservare che gli angoli all’ingresso del rotore saranno variabili, infatti se ad esempio abbiamo una turbina eolica, il vento pu`o rallentare, portando cos`ı una variazione dell’angoloβ 1. Questo fenomeno `e molto importane da prendere in considerazione nel caso di flussi a velocit`a variabile, infatti pu`o succedere che con angoli di ingresso troppo elevati la macchina vada in stallo in quanto le palettature non riescono a girare. L’angolo β2all’uscita del rotore `e invece un angolo non variabile. Questo viene detto angolo costruttivo, infatti `e un angolo imposto dal progetto, dato dalla geometria della pala.Si pu`o osservare nuovamente come il caso preso in considerazione rappresenta una macchina operatrice, infatti vediamo come la velocit`a assoluta tangenziale all’inizio del rotore sia nulla (V t1= 0 in quanto abbiamo solo componente meridiana essendoα 1= 0) e all’uscita del rotore sia positiva Pag. 24 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero Figura 10: Triangolo di velocit`a all’uscita del rotore (V t2> 0 in quantoα 2> 0). Seguendo infatti l’equazione del lavoro (30) avremo un lavoro positivo tra l’ingresso e l’uscita del rotore.Andiamo adesso a vedere cosa succede alla pressione del fluido all’interno del rotore. Uguagliamo due espressioni diverse del calore, una `e quella data dall’equazione (36) e l’altra `e la definizione di calore comeq=´ OU T I NT dS −l W(ricordandoci che dh=T dS+vdP): q=   * ˆ out inT dS −l W=   * ˆ out inT dS +ˆ out invdP +∆ W22 − ∆ U22 + g∆z ricavando cos’ l’espressione:ˆout invdP =−∆ W22 + ∆ U22 +  *∼ 0 g∆z−l W Da questa relazione vediamo che al decelerare del flusso relativo si incontra una crescita della pressione. Si osservi poi che all’aumento della potenza centrifuga aumenta la pressione. Quindi con la potenza centrifuga posso andare a recuperare il lavorol Wche vado a perdere. Infatti le macchine radiali possono scambiare pi`u lavoro (rimanendo per`o meno efficienti). Se poi osserviamo lo spazio tra due pale attraverso il quale passa il flusso, possiamo notare come sia a forma di diffusore (canale divergente). Per la precisione il rotore `e considerabile come un diffusore rotante. Infatti rallentando la velocit`a relativa8 vado ad aumentare la pressione. Idem lo statore andr`a ad aumentare la pressione con un altra forma a diffusore:Abbiamo visto come studiare i triangoli di velocit`a per un rotore, se per`o lo mettiamo all’inizio di una turbina non possiamo conoscere il valore diV 1t. Questo `e fondamentale poich´e bisogna rispettare cheV 1t> V 2tper avere lavoro negativo. Per andare a controllare la V 1tnelle turbine si aggiunge uno statore all’entrata del flusso prima del rotore. Il primo statore, a differenza dei rotori, avr`a una forma ad ugello, cos`ı facendo aumenta la velocit`a e diminuisce la pressione. All’uscita dello statore a questo punto, conoscendo 2 angoli poich´e costruttivi (α 1e β 2) e la velocit`a meridiana (poich´e imposta da come `e fatto il canale meridiano), possiamo ricavare laV 1t. Pensando poi ad ottimizzare il lavoro scambiato da una turbina, viene da pensare che seα 1`e positivo si scambia pi`u lavoro. Questo `e vero, per`o in tal caso si presenter`a il problema dell’energia cinetica di scarico. Una turbina ottimizzata avr`aV 2t= 0 e α 2= 08 la velocit`a aumenta solo come velocit`a assoluta, quella relativa si pu`o notare che diminuisce Pag. 25 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero Figura 11: Rotore come diffusore rotante 4.3.1 ES: Ventilatore assiale Il rotore di un ventilatore assiale intubato, ha diametro medio pari a200mme un’altezza di pala pari a50mm. Il ventilatore (macchina idraulica operatrice) opera a velocit`a di rotazione di 3000 rpm e aspira dal l’ambiente (P= 1bar) una portata volumetrica di0.5m 3s di aria. Assegnata una componente di velocit`a meridiana (assiale) costante attraverso il rotore, una deflessione angolare di20◦ (sempre nel rotore) e assumendo la trasformazione ideale (no attrito): 1.calcolare il lavoro specifico scambiato nel la macchina; 2.calcolare l’incremento di pressione totale attraverso il rotore corrispondente a questo scambiodi lavoro e la pressione totaleP T2a val le del rotore. (Considerate le ridotte velocit`a del la corrente essa pu`o essere assunta come incomprimibile con densit`a del l’aria costante e pari a ρ= 1.2kg/m3 3.se si posiziona uno statore a val le del rotore al lo scopo di deflettere la corrente fino al-la direzione puramente assiale (diffusore), si calcoli la pressione staticaP 3al l’uscita del lo statore; 4.se la corrente viene espansa fino al la pressione atmosferica, si calcoli la sezione di scarico delcanale che realizza l’espansione (ugel lo). Soluzione: Partiamo subito osservando che la velocit`a meridiana rimane costante attraverso il rotore. Questo succede poich´e per i progettisti `e obbiettivo primario tenere laV mcostante. Per poter fare ci`o, dovr`a variare la sezione lungo il rotore, infatti le turbine tenderanno ad assottigliarsi, mentre i compressori tenderanno ad allargarsi. Naturalmente risulta impossibile tenere la velocit`a meridiana perfettamente costante, la variazione risulter`a per`o trascurabile o controllabile.Per il primo punto dell’esercizio, si rimanda all’esercitazione 2, in quanto ha poco valore teorico9 . Risulta invece pi`u interessante nella trattazione teorica la seconda richiesta dell’esercizio.Risulta ora fondamentale introdurre il concetto d pressione totale: Prendiamo come esempio il caso di un cilindro investito da un flusso a velocit`aV ∞. La pressione totalerappresenta la pressione raggiunta da una corrente di un flusso che viene arrestata in modo isoentropico.Nel caso del cilindro investito da un flusso, la pressione totale9 Esercitazione2CannoneNeve.pdf Pag. 26 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero Figura 12: Sezione meridiana del ventilatore rappresenta la pressione del punto di ristagno. Il valore di quest’ultima `e facilmente ricavabile con Bernoulli: P∞ρ + V 2 ∞2 +   gz ∞=P stρ +   V2 st2 +   gz st= ⇒P T= P st= P ∞+12 ρV 2 ∞ Tornando al nostro esercizio, la variazione di pressione totale rappresenter`a: ∆P T= P T2− P T1= ( P 2+12 ρV 2 2) −(P 1+12 ρV 2 1) Scrivendo ora un bilancio di energia meccanica, si pu`o facilmente osservare che la variazione di pressione totale `e strettamente legata al lavoro e alla densit`a del fluido: l−  l W=∆ V22 + g∆z+∆ Pρ = (P 2+12 V 2 2) −(P 1+12 V 2 1) 1ρ = ∆ P Tρ −→ ∆P T= ρlLa pressione totale quindi rappresenta l’energia meccanica che ha il fluido, infatti all’istante zero,P T0= P Amb. Si pu`o poi osservare che la pressione totale si conserva sel, l W, gz sono nulli. Nel nostro caso per`o essendoci del lavoro nel rotore, la pressione totale andr`a ad aumentare andando dal punto zero al punto due. Risulta molto interessante analizzare come cambiano la pressione, la pressione totale e la velocit`a all’interno del ventilatore. Nell’immagine 13 abbiamo un grafico con rappresentati i cambiamenti nelle sezioni pi`u importanti(1→4). Tra la sezione 0 e 1 possiamo subito notare che la pressione totale si conserva, questo perch´e non abbiamo variazione di quota, lavoro o dissipazioni, come gi`a detto in precedenza. Ci sar`a poi tra 1 e 2 un aumento della pressione totale, dovuto al lavoro e alle dissipazioni. Tra la sezione 2 e 3, ossia dove c’`e lo statore, la pressione totale si conserver`a ancora, questo perch´e stiamo considerando uno statore isoentropico, ossia senza attriti. Infine tra la 3 e la 4 rimarr`a costante per le stesse ragioni del tratto 0-1. Sulla sezione 4 vediamo come la velocit`a aumenti molto, questo `e dovuto sia al restringimento della sezione, sia al fatto che diminuiscono le perdite della condotta. Infatti le perdite della condotta sono proporzionali alla velocit`a del fluido. Importante osservare che laP 4`e la pressione ambiente, quindi non va a variare col variare della velocit`a o portata. Quindi cambiando la sezione avremo la stessa velocit`a, ma con portata diversa(esempio `e la canna dell’acqua che tappata col dito getta pi`u lontano). Pag. 27 di 65 4 TURBOMACCHINE Amedeo Passero Figura 13: Velocit`a e pressione in un ventilatore L’aumento della pressione sul rotore rispetto all’aumento della pressione sullo statore viene scelto in base alla necessit`a di progetto. Pu`o essere infatti maggiore l’aumento della pressione sullo statore che sul rotore e viceversa. Per capire se si tratta di una macchina rispetto ad un altra, si usa un fattore detto grado di reazione. Ilgrado di reazione`e infatti il rapporto tra l’aumento della pressione sul rotore rispetto allo stadio della macchina(statore+rotore=stadio). Pu`o anche essere definito con l’aumento di entalpia: χ=∆ P Rot∆ P S tadioχ =∆ h Rot∆ h S tadio Ad esempio, l’elica marina e la turbina eolica, non avendo uno statore, faranno tutta la differenza di pressione nel rotore, quindi avranno grado di reazioneχ= 1 (macchine a reazione pura). Se invece una macchina ha grado di reazioneχ= 0, sar`a detta macchina ad azione, ossia tutta la variazione di pressione sar`a fatta dal rotore. Se il