Mechanical Engineering - Macchine

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Indice 1 Bilanci energetici3 1.1 Gas Perfetti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2 Liquidi perfetti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 2 Eulero5 2.1 Equazioni di Eulero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 2.2 Bilancio energetico per un sistema rotante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 3 Similitudine idraulica63.1 Coefficienti di portata e prevalenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 3.2 Velocità e geometria specifiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 3.3 Perdite distribuite e concentrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 4 Pompe7 4.1 Cavitazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 4.2 Potenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 4.3 Similitudine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 4.4 Pompe in serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 4.5 Pompe in parallelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 4.6 Grado di reazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 5 Turbine idrauliche9 5.1 Turbina Pelton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 5.2 Turbina Francis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 6 Trasformazioni termodinamiche116.1 Compressione isotermica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 6.2 Compressione isoentropica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 6.3 Compressione adiabatica irreversibile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 7 Gasdinamica12 1 1.Bilanci energetici 1.1Gas Perfetti                                                                             Pρ = R·Tequazione gas perfetti PR ·T· v·S=constbilancio di massa (BM) l+q=c L· (T 2− T 1) +v 2 2− v2 12 + g·(z 2− z 1) bilancio di energia (BE) ∆h=c p· (T 2− T 1) entalpia l−l w=v 2 2− v2 12 + g·(z 2− z 1) +2 Z 1R ·T·dPP bilancio di energia meccanica (BEM) ∆s=2 Z 1c p·dTT −2 Z 1R ·dPP = c p· ln T2T 1 −R·ln P2P 1 entropia η=| l|q inrendimento termodinamico .3 CAPITOLO 1. BILANCI ENERGETICI 1.2Liquidi perfetti                                                                                   v ·S=constbilancio di massa (BM) l+q=c p· (T 2− T 1) +P 2− P 1ρ + v 2 2− v2 12 + g·(z 2− z 1) bilancio di energia (BE) ∆h=c p· (T 2− T 1) +P 2− P 1ρ entalpia l−l w=v 2 2− v2 12 + g·(z 2− z 1) +P 2− P 1ρ = Γ 2− Γ 1bilancio di energia meccanica (BEM) q+l w= c L· (T 2− T 1) bilancio di energia (BE) (formula alternativa) ∆s=2 Z 1c L·dTT = c L· ln T2T 1 entropia PT= P+ρ·v 22 pressione totale η=l −l wl rendimento idraulico Pag. 4 Macchine(Indice) 2.Eulero 2.1Equazioni di Eulero L’equazione di Eulero ha la seguente forma: l=u 2· v 2,t− u 1· v 1,t Per una macchina assiale si ha cheu 1= u 2= u, quindi l’equazione di Eulero diventa: l=u·(v 2,t− v 1,t) Espressione alternativa dell’equazione di Eulero: l=∆ v2
2 −∆ w2
2 +∆ u2
2 2.2Bilancio energetico per un sistema rotante q= ∆h+∆ w2
2 + g·∆z−∆ u2
2 5 3.Similitudine idraulica 3.1Coefficienti di portata e prevalenza        φ =˙ Vn ·D3coefficiente di portata ψ=g ·Hn 2 ·D2coefficiente di prevalenza 3.2Velocità e geometria specifiche              ω s= ω·p˙ V( g·H)3 /4velocità angolare specifica Ds= D·( g·H)1 /4p ˙ Vdiametro specifico 3.3Perdite distribuite e concentrate Le perdite distribuite in una condotta forzata sono calcolate dalla seguente formulazione: Ydistr,i=L iD i· λ i·v 2 i2  Jkg  •L i: lunghezza della condotta i •D i: diametro della condotta i •λ i: coefficiente di perdita (distribuita) i •v i: velocità del fluido nella condotta i Le perdite concentrate in una condotta forzata sono calcolate dalla seguente formulazione: Yconc,k= ξ k·v 2 k2  Jkg  •λ k: coefficiente di perdita (concentrata) i •v k: velocità del fluido nella sezione della condotta i Le perdite totali si ottengono dalla somma di distribuite e concentrate: Y=X iY distr,i+X kY conc,k Il bilancio di energia meccanica per i liquidi perfetti diventa: l−l w− Y=v 2 2− v2 12 + g·(z 2− z 1) +P 2− P 1ρ = Γ 2− Γ 1 6 4.Pompe 4.1Cavitazione La Net Positive Suction Head per una pompa idraulica è: N P S HD=P 0− P vρ ·g− (z a− z 0) −Y ag •N P S H D[ m]: Net Positive Suction Head disponibile •P 0 Nm 2 : Pressione del serbatoio di aspi- razione •P v Nm 2 : Pressione di vapore •ρ kgm 3 : Densità del fluido• z a[ m]: quota del condotto di aspirazione della pompa •z 0[ m]: quota del serbatoio di aspirazione •Y a[ m]: perdite distribuite e concentrate nel condotto •gh ms 2i : accelerazione gravitazionale Per non cavitare è necessario che:N P S HD≥ N P S H R 4.2Potenza La potenza di una pompa è: ˙ Wp= ρ·˙ Vp·g ·H pη 4.3Similitudine Date le curve caratteristiche di una macchina di riferimentor(D r, n re˙ Vr):       H r ˙ Vr =A·˙ V2 r+ B·˙ Vr+ C ηr ˙ Vr =E·˙ V2 r+ F·˙ Vr+ G Si possono esprimere le curve caratteristiche per una macchina generale:            H  ˙ V =A· DrD  4 ·˙ V+B· nn r · DrD  ·˙ V+C· nn r 2 · DD r 2 η ˙ V =E· nrn  2 · DrD  6 ·˙ V2 +F· nrn  · DrD  3 ·˙ V+G 7 CAPITOLO 4. POMPE Sempre riferendoci alla macchina di riferimento r(D r, n re˙ Vr), se siamo interessati a studiare una macchina in similitudine:             n =n r· HH r 3/4 · VrV  1/2 D=D r· HrH  1/4 · VV r 1/2 4.4Pompe in serie Se due pompeiejsono disposte in serie, la prevalenza è pari alla somma delle singole prevalenze: Hserie= H i+ H j La portata circolante è la stessa: ˙ V=˙ Vi=˙ Vj 4.5Pompe in parallelo Se due pompei(per semplicità uguali) sono disposte in parallelo, la portata totale è pari alla somma delle singole portate: Vparallelo= 2 ·V i 4.6Grado di reazione Il grado di reazioneχdi un rotore di pompa è: χ=P 2− P 1ρ ·g·H= P 2− P 1P T ,3− P T ,1≈ P 2− P 1P 3− P 1 •χ: grado di reazione •P 1: pressione statica inlet rotore •P 2: pressione statica oulet rotore •P T ,1: pressione totale inlet rotore •P 3: pressione statica scarico pompa •P T ,3: pressione totale scarico pompa Pag. 8 Macchine(Indice) 5.Turbine idrauliche 5.1Turbina Peltonvc·πD 24 = v 1,id·πd 24 · i· ·ε Y= λL · D+ξ · dD  4 ·ε2 ·i2 ·v 2 1,id2 v1,id=v u u u t2 ·g·(z D− z B)1 +  λ·LD + ξ · dD  4 ·ε2 ·i2v 1= φ·v 1,id •D: diametro della condotta forzata •d: diametro del getto •v c: velocità nella condotta forzata •v 1,id: velocità ideale del getto •i: numero di getti •ϵ: rapporto di apertura dell’ugello• L: lunghezza condotta forzata •λ: coefficiente di perdita distribuita •z D: quota della diga di monte •z B: quota del bacino di valle •φ: coefficiente di idealità dell’ugello (per ugello idealeφ= 1) •v 1: velocità reale del getto La portata reale˙ Vdell’impianto è: ˙ V=v 1·π ·d24 · ϵ·i ψè il coefficiente di idealità del cucchiaio (ψ= 1per cucchiaio ideale). L’angolo costruttivo di uscità del cucchiaio èβ 2(se non è assegnato si può scegliere tra −70dege−78deg): U=2 ·π·n60 · D m2 w 1= v 1− U w2= ψ·w 1w 2,t= w 2· sin(β 2) v2,t= U+w 2,t l=U·(v 2,t− v 1) g·H m=v 2 12 η =| l|g ·H m Una turbina Pelton è ottimizzata se: kp=Uv 1= φ2 è possibile regolare la velocità di rotazione della turbina Pelton a parità di rendimento. Prendiamo le caratteristiche di riferimentor: U=v 1· k p,rn =602 π· 2U ·D m 9 CAPITOLO 5. TURBINE IDRAULICHE 5.2Turbina Francis La perdita nel diffusore allo scarico della turbina, deve essere considerata sia la distribuita riferita al diametro di sbocco e la perdita concentrata allo sbocco: Yd= ( ξ+ 1)·v 22 N P S HD=P 2− P vρ ·g+ v 2 22 ·g≥ N P S H R Pag. 10 Macchine(Indice) 6.Trasformazioni termodinamiche 6.1Compressione isotermicalT= R·T·ln(β)T 2,T= T1 6.2Compressione isoentropica γ=c pc vl s=γγ −1· R·T 1· βγ −11 −1 =c p· T 2,s− T 1T 2,s= T 1· βγ −1γ 6.3Compressione adiabatica irreversibile Definiamo il rendimento adiabatico (o isoentropico)η s ηs=l sl l =l sη s= c p· (T 2− T 1) l−l w=nn −1· R·T 1· βn −1n −1  Definiamo il rendimento politropicoη y ηy=l −l wl = nn −1· γ −1γ n =γ ·η yγ ·(η y− 1) + 1n =1log β β·T 2T 1 11 7.Gasdinamica Ma=v√ γ ·R·Tρ =PR ·T˙ m=ρ·v·S v=q2 ·c p· (T T− T) PTP = TTT  γγ −1T TT = 1 + γ −12 · M2 aP TP = 1 +γ −12 · M2 a γγ −1     T T= costflusso adiabatico PT= costflusso ideale 12