Mechanical Engineering - Statistica

First partial exam

Statistica - I prova in itinere 2022/23 [0000] Matricola: ⓪⓪⓪⓪⓪⓪ ①①①①①① ②②②②②② ③③③③③③ ④④④④④④ ⑤⑤⑤⑤⑤⑤ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥ ⑦⑦⑦⑦⑦⑦ ⑧⑧⑧⑧⑧⑧ ⑨⑨⑨⑨⑨⑨Istruzioni: riempirecompletamentele bolle con le cifre del numero di matricola (una cifra per colonna); nella parte sotto del foglio, riempirecompletamente le bolle con le risposte alle domande a scelta multi- pla. Per riempire, usare penna o matita nera, coloran- do tutto l’interno e cercando di non uscire dal bordo. Non sono ammesse correzioni, dato che il foglio verrà analizzato da un computer. Cognome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Firma:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Segnare le risposte delle domande a scelta multipla (1) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (2) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (3) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (4) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (5) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (6) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ(7) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (8) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (9) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (10) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (11) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ (12) Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓔ Statistica - I prova in itinere 2022/23[0000]-p1/4 Domande a scelta multipla∗Gli esercizi marcati con un asterisco valgono più punti e vanno giustificati in maniera sintetica e chiara sul retro del primo foglio. Perché la prova sia valida devono essere affrontati almeno 2 esercizi con l’asterisco. In particolare, per i test specificare: tipo di test, ipotesi nulla ed alternativa, statistica utilizzata e suo valore numerico, regione di rifiuto o P-value con relativa stima (a seconda dei casi e di quanto richiesto nel testo). (1)∗Ad un esame scritto 200 studenti consegnano l’elaborato. Sapendo che il tempo di correzione di ogni elaborato da parte del docente è approssimativamente una normale di media5e varianza2(rispettivamente in minuti e minuti2 ), entro quanto tempo il docente riuscirà a completare la correzione con probabilità pari al 95%? (a) Circa16ore e 40 minuti. (b) Circa18ore e 46 minuti. (c) [=] Circa17ore e 13 minuti.(*) Il tempo totale di correzione èX∼ N(200·5, 200·2)≡ N(1000, 400). Si tratta quindi di risolvere0.95=P(X≤t)cioèϕ((t−1000)/20) =0.95che equivale at=20q 0.95+ 1000= 1.6448536·20+1000=1032.897072. (d) Circa19ore e 3 minuti. (e) Circa19ore e 27 minuti. (2)SianoA 1, . . . , A ndegli eventi. Quale delle seguenti proprietà é equivalente all’indipendenza di tali eventi? (a) P(A 1∩ · · · ∩ A n) = P(A 1) · · ·P(A n) (b) P(A i∩ A j) = P(A i) P(A j) per qualche coppiai,jconi̸=j (c) P(A i∩ A j) = P(A i) P(A j) per ogni coppiai,jconi̸=j (d) P(A i| A j) = P(A i) per ogni coppiai,jconi̸=j (e) [=] Nessuna delle altre risposte è corretta. (3)∗Si consideri la famiglia di funzioni fk( x):={ kx x∈[0, 4] 0x̸∈[0, 4]. Siak 0∈ Rtale chef k0è una densità di una variabile assolutamente continua (sia essa X). Quanto valeP(X> 2,X2) = (1−22 /16) (b) 1/2 (c) 1/4 (d) ϕ(6)−ϕ(2) Statistica - I prova in itinere 2022/23[0000]-p2/4 (e) 2/3 (4)Una prova scritta consta di 10 domande con 5 risposte ciascuna di cui una ed una sola corretta. Il punteggio di ogni domanda è3in caso di risposta corretta,0in caso di risposta non data e−3/4in caso di risposta errata. Uno studente, per ogni domanda sceglie se tentare la risposta con probabilitàp(in maniera non necessariamente indipendente). Di conseguenza con probabilità1−pnon risponde alla domanda. Se tenta di rispondere allora sceglie a caso una tra le risposte (con ugual probabilità) per ciascuna domanda (anche in questo caso le scelte non sono necessariamente indipendenti). Qual è il punteggio finale atteso? (a) 15p/2. (b) 45p/4. (c) [=]0.(*) SiaX iil punteggio ottenuto nella domanda i-esima; il punteggio finale èX= ∑ iX ida cui E[X] = ∑iE [X i] . Calcoliamo quindiE[X i] = 0·(1−p) +3p/5−(3/4)·(4p/5) =0essendopla probabilità di tentare la risposta e1/5la probabilità di dare la risposta esatta condizionata ad aver tentato la risposta. Pertanto E[X] =0. (d) 15p. (e) 9p/2. (5)∗Supponiamo che un’ urna contenga2pallina rossa e3palline bianche. Una pallina è estratta e se ne guarda il colore. Essa viene poi rimessa nell’urna insieme a1pallina dello stesso colore. Una seconda pallina viene quindi estratta. Qual è la probabilità di aver estratto una pallina rossa alla prima estrazione dato che si è estratta una pallina rossa alla seconda? (a) 1/5. (b) [=] Nessuna delle altre risposte è corretta.(*) SianoAeBgli eventi “alla prima estrazione esce rossa” e “alla seconda estrazione esce rossa” rispettivamente. AlloraP(A) =2/5,P(B|A) =1/2,P(B|A∁ ) =1/3da cui P(A|B) =P(B|A)P(A)/(P(B|A)P(A) +P(B|A∁ )(1−P(A))) = (1/5)/(1/5+1/5) =1/2. (c) 2/5. (d) 3/5. (e) 3/4. (6)Nella seguente figura è rappresentato il grafico della densità di una certa variabile aleatoriaX. Quanto vale la misura di probabilità dell’area colorata? Statistica - I prova in itinere 2022/23[0000]-p3/4 (a) 0. (b) X>0. (c) [=]P(X>0). (d) F(0)(doveFè la funzione di ripartizione diX). (e) 0.14 (7)∗Un dado con 2 facce rosse e 4 grigie viene lanciato più̀ volte in maniera indipendente. Si sa che la probabilità che esca una faccia grigia è strettamente maggiore della probabilità che esca una faccia rossa, la quale è strettamente positiva. Si vince se esce la sequenza scelta: quale scegliereste, tra le seguenti, per massimizzare la probabilità di vittoria? Sugg: non c’è bisogno di fare calcoli, tuttavia se li fate osservate cheP(G)>P(R)>0, ignorate i termini comuni nelle espressioni ottenute e concentratevi sui rimanenti. (a) G R R R (b) R G R G R. (c) R G R G G. (d) [=] R G R G(*) Questa sequenza ha probabilità maggiore di GRRR perché c’è una grigia al posto di una rossa. Inoltre ha probabilità maggiore delle rimanenti due perché sono la stessa sequenza con l’aggiunta di un ulteriore evento di probabilità strettamente minore di 1. (e) Non è possibile operare una scelta corretta senza conoscere esplicitamente le probabilità coinvolte. (8)SianoX 1e X 2due variabili aleatorie indipendenti Binomiali B(5,p)e siaX 3una variabile Binomiale B(10,p) (non necessariamente indipendente dalle precedenti). SiaAl’evento “almeno una delle due variabiliX 1o X 2è diversa da0” eBl’evento “la variabileX 3è diversa da 0”. Quale dei due valori,P(A)eP(B)è maggiore? (a) SempreP(A). (b) SempreP(B). (c) [=] Sono sempre uguali. (d) Dipende dap. (e) Essendo variabili aleatorie, dipende dai valori che assumono in corrispondenza adω. (9)DateX 1, . . . X 10∼ P (3)i.i.d., qual é approssimativamente la probabilità che almeno una di queste variabili sia uguale a0. (a) 0.049787. (b) 0.950213 (c) 0.6 (d) [=]0.4 Statistica - I prova in itinere 2022/23[0000]-p4/4 (e) nessuna delle altre risposte è vicina al vero valore. (10)Un gruppo di amici va in montagna in gita. Il 40%di loro è ben allenato. Quelli allenati raggiungono la cima con una probabilità pari a 90%, mentre la probabilità di raggiungere la cima, sapendo diessere fuori allenamento, scende al 30%.Tra coloro che NON raggiungono la cima, qual èla probabilità che un amico scelto a caso sia fuori allenamento? (a) 0.54. (b) 0.46. (c) 0.333. (d) [=]0.913. (e) 0.0875 (11)SiaXuna variabile aleatoria discreta che può assumere solo i valori−2,−1,1e2con probabilità0.2,0.3,0.2 e0.3rispettivamente. Allora si ha: (a) E(X2 ) =1.5. (b) [=]E(X2 ) =2.5. (c) E(X2 ) =0.1. (d) E(X2 ) =0.3. (e) E(X2 ) =1 (12)Gli studenti di una classe hanno riportato un voto medio di 7.5 con deviazione standard di 1.5. Supponendo che la distribuzione dei voti possa essere ritenuta normale e che la soglia della sufficienza sia 6, la percentuale di studenti che sono risultati insufficienti approssimativamente vale: (a) [=]15.87%. (b) 13.5%. (c) 34%. (d) 68%. (e) 84.13% ★★‼★★