Mechanical Engineering - Statistica

Completed notes of the course - Primo parziale

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STATISTICA lospaziocampionarioEsperimentodeatorio : esperimentodicui opriori nosicmosce lesitoEvertielementari :i possibiliesitidi an esperimentodeatorisSpaziocampionario 2: linsiemecostituitodotutiglieventielementar . Eventi : i sottansienida . Seréfinito o finitonumerabilealloraédettospaziocampionariediscreto ,seinveceéinfinito no numerabilealloraédeltospaziocampionariocontinuoEsempiodieventoelementore : estraggo il5allotto 1453) Esempiodieventoelementare non i estraggo mnumerotoo187e1l 70Iusienistica Aélevert . "' Te s i t o émo tra wa .ws.W."27eWz . AwWaWoAél 'event." Te s i t o uoe in A :Ws.W5 Iél 'evento certo - s lesitoésicuramente.Wzin2. Wz p8 é l 'evento impossibileIdeafondamentae : Aaccade se esolose wetIinseguitoallosceltocasualediun elementoAAUB : Lesitodell ' esperimentoéunelementodiAo . Bodientrant .-3 AUBaccadesee solo se accadeAoppureB --} VieIIAi accade see solosealmero mo deglieventi YA B i E I accade ANB . Lesitoémelemento siabiAcheb . B -s ANBoccade see solo se accadeAeaccode B -s PiEllAioccadesee solo se tuttiglievent . LAiZiEiIaccadno AlB .lesito ém elemento diA mann diB . equivale a ANBc ->AI Baccade see solo seoccadeA manm B . AeB sno disgunti se ANB=P.essiono hannoelementi incomone- AeB sno eventiincompatibili enosipossonoverificarecntemporaneamenteImplicazinelogica . BCA : tuttiglielementidiB smooncheelementibiA - WEBimplicacheWEA probabilitá dieventIProbabilitonumeroun eventorealecompresotroOeschemisuraquantoriteriamoprobabileilverificarsibitaleeventoDefinizineassiomatica : Siormo spaziocampionario e Fmafamigliadieverti .sichiamaprobabilità suaunaqualsios. finzineDominio à -algebra IP . F -s 10 s3 - Codominio.numeri trabeLcoleproprietó . SlPir ]=s 2)se lAu 3n éma successinenumerabiledieventi adue advedisgiuntiallora .IP Iûe A ;)= Ë 8=e IPIA ;) cze -abdittività o -algebra: F sl dice o -algebrose: LJPEF2) se AEFallora ÅE F3) se ltiZiein éma collezioediinsiemidiFalloraUiEINAiEFEventi a due a due disgiunti . Famigliadievertipercoi vale AilAj -b tiss S . PIO )=O proprietóUsolanomerabileadditività con Ai =D FiEIN - Soquindicheb =AiRAs éche Kis AieAj smo disgunti -3 VienA . Inoltre=8EssendoIPrO )numerovealelonicasoluzineé .-s Pl 8)= 2=0 P(8)-> IP 1o) = o Propriet2: IP(Ac) = 1 - IP/A)SocheAUAc=->UsoladditivitàpachéAeAc sone disgiunti -> (PA) + 1P/Ac) = (r) - (P/Ac) = 1 - 1P/A)Propriet3:IP(AUB) = (PA) + IP/B) - IP/AnB) ScriveAUB come: AUB = (ABYU/AnB)U/BAY -> Itre insiemisonodisgiunti perciò possousarela redditività -> IP/AUB) = IP/ABY + IP/AnB) + IP/BAMrIP/A) = IP/ARBY + IP/AnB) - IP/ABY = IPXA)-IP/An)EnsericonellequazimeIP(B) = IP/BAY + IP/AMB) - IP/BAY = IP/B) - IP/AnB) I opperavicovateIP/AUB) = IP(A) - B) + B) + IP/B) - IP/AnB) = IP/A) + IP/B) - IP/AnB)Propriet4:SeABallore:IP/AIB) = IP/A)-IP/B) e IP/A)IP(B)SeArallora:AlB = An B = AUB)-Al è uneventoed è disgiunte deBInoltre:BU/A/B) = AUB=A->Usoeredditività -> (PA) = (P(B) + 1P/A/B) - (P/A(B) = 1P/A) - P/ B )DimostrazionedellafinitoadditivitySimo [Ai = 1eventi disginti edueadveDefinisceAitalepercui->Ai = 8X isn-> Glieventi 4AEIN smeancore disguinti a dueadue -> Us Ai=ViziAi ↓-IP = a-> IP(Ai) = (P(Ar) = E/A) = IP/A) FORMULE(P(-) = 11P(A) = 1 - 1P/A)Conpiùdidue insiemeadue a dueIP/AUB) = IP/A) + IP/B) - IP/AnB)disgint:: - verelafinito elanumerabileIP(6) = 0 additivitàContinuità.Seglieventi [A]soddisfanc AirAnVieallora:IP (EsA:)TIP (sti) Unioni generiche: Perquesies,famigliadieventi (Arbie numerabile↑P (i)(PA) - Juguaglianzavale> IP/AAj) = 0 Fije Inparticolare se: IP/Ail=Fiel - (P(A) = ase: (P/Ai) = 1 Fizz--P(ti) = a AssegnazionediIP oadiscrete -> È sufficienteassegnereleprobabilitàai singolieventielementariPadéglielementidiesonoelencobilie ognisoltansiemeAeunwionefinitadielement: -> LaprobabilitàdiAelasomme delleprobabilità degli elementichelocompongonoCesoclessicoSimon gli element:eppartenentiader-> Ognieventoelementorehaprobabilità pari a n -> UneventounelementareA = Ahaprobabilità pari a:valido se hoIP(A) = numerodielement:diA>IP/A) = numerodicosifavorend I unnumerodicos,finite e Unumerodicosipossibilicasiequiprobabili Coefficientebinomiere El = rire: - Dato uninsieme di oggetti, asano (Pl sottoinsiemicontenentioggetti Ideafrequentista -> Recolge i datidaesperiment:elesteri e vederequantevolte, sisuppongaK.sirealizzeleventoA:IPA) = n -> Ipotesi:tutti gli esperimenti ervengononellestessecondizion Limiti:1) Unesperimentoripetutopuòdareprobabilitàdiverse -> L' i p o te s i é tantopiùveroquantopiùnégrande: numerocasifavorevoliosservatiP(A) = n! nlanci 2)Siattribuisceprobabilità zeroad uneventonon osservato3) Lides vanvobene se ilfuturo è diversodelpassatoCALCOLDCOMBINATORIO consideroX. = 11.2....n} Principiodella somma:SixX minsieme finito e 4XiizE wesue partizionefinte-XiX; = eperif; e X = VieEXiAllora:FX Xi Principiodelprodotto:SeXi= X;kij cE - EX = fE.#X1 -> Sex = ExY = fx = HE.#yDisposizionedinoggettiinmposticon ripetizione.Tu t t elesequenzedilunghezza i diprincipiodelprodotto >* = nelementidiXconpossibili ripetizion dielement:Disposizionidi noggettiinmpostisenzaripetizion:Tu t t elesequentedilunghezza i diPrincipiodella -* = n! CMn=melementidiXincui ogni elemento Somma (n - m)!comparea massimouna volteCombinaziondioggetti inmpost:senza ripetizon:Tu t t elesequenzedilunghezze m "¥ ( = (m) = n! dielementidiXa mero dellm!(n-m)!ordine incui ogni elemente -> AncheilnumerodisottoinsiemidicompareapiùunavoltecordinalitàinestraibilidaX Combinazionedinoggetti inmpostican ripetizione:Tu t t eledisposiziondinoggettiinm postican ripetizione amano dell'ordine -> i = (n + m - Altreformule · Inquantimodipossopartizionarel'insieme in Ksottainsiemi disgunti e ordinati incuiilprimeheheelementifinoalK- e s i m oche neha no? -> In...nn)= = n! CoefficientemultinomialeT si!PROBABILITACONDIZIONATA Probabilitàcondizionateclassice:DatoBF&.BR.Ace toprobabilitàchearrengeAsapendodeBavvieneé:*A)#AB)/*IP/AnB)* ** B/*=P/ B ) -> Consideri come spaziocompinoreDefinizioneprobabilitàcondizionato:Datidueeventie con IPBIce. si diceprobabilitàdiAdatovalove:IP/AnB) -> IP/A(B) = ↑P(B) -> Lo conoscenze parzialemodifica ine lorestringeallastopopolaneBTe o r e m aDatoeprobabilityIP suenefissateB con IP(B) aalloralafunzioneIPX.IB)che associ,ad un eventoAla probabilityI/AIB) éunaprobabilitàsuProprietodellaprobabilitàconditionateDatoIPsu eBcmIP(B) o ollore:2)IP/8 - B) = 3 2)IP/AzU...UAn(B) = IP/AeB) +...+ IP/AnIB) con Aer...Anadue a duedisgiunti3)IP/AB) = 1 - IP/A(B)h)IP/AzUAz(B) = (P/A11B) + IP/AzIB) - IP(AzAz(B)9)IP/AB) = IP/AIB)IP/B) Coppiadieventiindipendenti. DueeventiA e Bsi diconoindipendenti se IPAB) = IPAIPB ->SeIP(B) >e equivale e direcheIP/AIB) = IP/A) -> LaprobabilitàdiA na combinsapendocheB siéverificatePar tizione:Dati wospaziocompionarioemesua partizione é mefamigliodieventie .... ButaicheBeU...Un= ere Bij = & Fitj Te o r e m adelleprobabilitàtotaliDato wospaziocompinario emesuopartizioneBe.....Bue meventoAvale.SIP/ArBi) = SIP/AIBi)IP/B) IP(A) = Es..(ABi) =i= 1...n:P/Bil ei = 1.....IP/Bi)o-> Laformulevaleancheperpartiziornumerabili e considerando Bit come partizionediAFormuladi Boyes -> Fornisce un modoperadcolareIP/BIA) invecediIP/A(BR) · IP/AIBe)indicalaprobabilitàdiappartenereadAsesifapartedellesottocategorieBe · IP/BelA)indicetoprobabilitàche un individuodicategorieAapportingeallasottocategoriaBeTe o r e m aformuladiBayesSi [Bjbe unapartizionediesi A uneventotalepercui IPA) >s-> Allorake 41..... vae:(P(BrA) = IP/A(Br)(P/Bx)S IP/AIBj(IP/Bj)j = 1....DefinizieIP/Bjk ↓IP/BMA) IP/AIBI)IPrBu) - Bue Dim:IP/Bc(A) = iP(A) = N -- ETe o r e m adellej = 1...prot.totz:IPBjkeCoseinfinite/partizimenumeredel -> Sie [Bj3jEN unepartizionedia con IPBjk o Vjesix A a evento con IPAKe(P(A(Bk)(P/Bx)AllorsFK =INvare: IP/Br(A) = 2j eIN: PBjkoIP/AlBj)IP/Bj) FamiglieindipendentidieventiLefamiglia dieventiAs.Az.....An si diceindipendenteseverganleugroglianze: P/A j 1 A i ) = (P/A:)IP/Aj)Fis · IP/AsAjAn) = IP/AIPA,)IP/An)FiesEK Tu t t edoverificare ·ti ...An) = T = (P/Ai) AFFIDABILITA Suppongodi avereunsistemecompostoda vari sottosistemi eme conteristicazche cosa sottosistemapuò avereononavere-> l'affidabilitàè laprobabilitàche un sottosistereabbielacaratteristicsz . Sistemiinserie: IlsistemeShalacovatteristiceZsee solo se tutti i sottosistemihannolacaratteristiceZ ->P/Shrz) = IP/ds") sottosis. hez") affidabilità eser · Sistemiinparallelo:isistemehalacaratteristicezsoe sto se almen an settesistemahalacovateristicoz -> P/ S hz ) = IP/Vs"il sottosisteme i haz") affidabilito -2p = 1 - 11 - 2i) VA R I A B I L IALEATORIE UnavariabilealeatorioXé una funzione con dominiodecodominioIR" · Centeristicheinteressanti: 1)Insiemedeivalor:possibilidiX2) Probabilitàcon cuiassumeunoo piùvaloriNelnostro cose le va.possone assumerevalorireali(v.e.numerichelsuddiviseindue tipi:1) V. o .discreteInsiemedeglielacui X(a)2) v. o .assolutamentecontinue ↑ opportiereINA DatoX:- rseAcldensc:(X=A] = x/A)= = fw = 1.Xw)e 1) LeggediXDato me variabileelectorieX, lamisurediprobabilitàIPXdefinite come. IPX/A) == IP/X/A)) cm AIR" sidiceleggediXFunzionediripartizione diXData unovariabileelectoriaXevaloriinIRtofunzioneFx:IR->10.1) cosidefinite.Fx(t)= = (P(x - 21 - 0.t)) = (Px)) - xt)).HtcIR -> ProbabilitàchelascelteabbiamX(a) Si dicefunzionediripartizionediXcontenuto in 1-ort]Questofunzione:1) é nondecrescente halimitidadestra e sinistral2)limsett(s) = Fxlt)/continuitédedestra)FtEIR3)lim, + Fet) = 1ekimFat) = 0t --- UnafunzionechehequestetreproprietélafunzionediripartizionediqualchevariabileXAltrepropriets:·(P11---t) = (ims,t - Fx(s) = F=(t) · Fx(t) - (ims-t - fx(s) = (Px([t3) = (P/X = t) · Fx = Fy = = IPx = 1Py LefunzionedeiquantiliPerognifunzionediripartizioneFu sichiomefunzionedelquantililafunzionecostdefinito:&f(x): = inf(t:f(t)zx)(mxz/01)(sef = Fx - e = xx) Proprietor. . Enon decrescente · (im, -x -Qxs) = ax(x)kxe(0) · f(ak)) xe Qrfetkxefae) · SeY = ax+6 cmarcoollovs&y = 0ex + 6Va r i a b i l icreatoriediscretecontinueUnov. e . X: _ -sIR con VimmaginediX in IRsi dice:finite:V = [xer.And 7· discretase Vé i insieme finite o infinitonumerabile↑ "¥ numerabile V = [xi] =e · antinue se Vé uninsieme infinitecontinue DensitàdiscretedivarSixX.-R" mava discrete.Lafunzione fx:IR"-/ee] definitodefx(x) = IP/x = x) é lafunzionedidensitodiscretodella via. Ifa associaadun valore x laprobabilitàdiessereassuntodaA -> Propriets. . fa assumesolovaloripositivi · {fx(xi) = 1Va l o reattesadiunavia.discretoSixX:- IR" unaver discrete con immaginecorrispondenteall'insiemeV in IR". -> Selaserie SrauIull.Fxfulconverge,allora sichiamavaloreattesediXi numere #EX) = V. fe f u l chiamateanchemedieteorica-PerVnumerabile:IE() = rX-PIX = xe) - NONilveronepiù protobile -> Te o r e m e : . ((x + 6) = bE/+6 cm e.6EIR · (E(x + Y) = 1E(x) + 1E/Y)Vove attesodi funzione divar.: esiste Ilfllpax) x+ oevwe(E(f(x) = Erf()pa) Va r i a n z adiunavia.Dato mav. o . X evaloriin IRlasuavorianzae il numeroreale:Vo r ( x ) = 1E//X-1E(x))) -- Vo r k ) è dette deviazione standardanchescortoquadraticomedioKulèmaggioreperleX"più sparse e viceverse" · Pervariabiliavalori IR":Vo r ( ) = IE/IIX-1EXSIP) · Pervariabili discrete wie:vor() = (x-1E/x]pax) = Expax) - Ex -> rer: in IR":var(x) = Er11xp _ (x)- IIEXXIP · Proprietavarianza:1)vor(x)=02)vork) = &seX é unav. 2 .costante3) vor(x) = 1E/xY - /1E(x))4)vor(ex+b) = evor(x)cmedEIR5)vor(x+Y ) = Ve r k ) + Vo r r Y ) + 2Y)11E(x - ((x))(Y - 1E/Y)) = 1E/XY) - 1EXIEY)Dimostramedelleproprieta2)SeX = ccanprob.1aller - 1E(x) = c eVor(x) = (E((c - c)] = 0SeVo r ( ) = aalloverX = 1E/X) -- X è costante3) (E((x - 1E(x)) = (X-2x.1E(x) + IE(x)=(E(xY) - 1E/2XEx)) + IE(/IE(x)))=lE/xY - 21/x+1E(x) = 1E/xY) - 1Ex) 4)Ve r ( 2 x + 6) = (E(/ex + b)Y - (1E(2x + b)) -- (10x26x + 64 - (elE(x) + 6)=cE/XY + 2E)I-"E/x + 2atE(x)f = e ((E/xY - (E(x)lY) = 2 Ve r ( x )3)Ve r(x + Y) = 1E//x+Y) - /lE/x+Y)(E(x + 2xy + YY) - /E/x) + E/Y) 1E(xY + 2xY) + 1E/YY - 1Ex-IEYIErY) Ve r ( x ) + Vr(Y) + 20vXY) MODULODIBERNOULLIVo. B ( p ) Una v. a . diBernoulldiparametrope usva. chepuòassumeresolo:vaor: be1 -> laprobabilitàdiassumereilvalore1 ép. mentrequellediassumereé 1-p -> V = (013efx/d = 1 - p fx(r) = pLafunzionevieneutilizzateperesperimenticonduepossibili esitidefiniti comeesperimentidiBernoulliSixxmavia.di Bernoulldiparametrop.ossia: XnB(p) -> Allora:(E(x) = 011-p) + 2.p = p - PerBernoull itveloveattesocancide ca laprobabilitàdisuccesso -> assume &e1 conprobabilito1 - p ep rispettivamente ->(E(x) = 011 - p) + 1p = pVe r ( x ) = lE/xY-/E/x = p - p = pre - p)ProcessodiBernouliUnasequenzefinito o infinitodi prove di Bernoul:tutte con lostesseparametrop e foloveindipendentiè detteprocessodiBernoullidiparametrop V. o .binomiale "¥ a v. e .checonter i numerodisuccessiinaprovediunprocessodiBernoul:diparametrop é detter v. e .binomidediparametri ne p -> Fioripossibili:(0.1....n3 -> f((k) = (4)pr(1 - p(4 - x Se X-B/up) - 1E(x) = up -> Vo r ( x ) = np/1 - p) V. a .geometrica "¥ a v. e . chedice inqualeprovedi unprocessedi Benoulldiparametrops,heiprimosuccessoè dette v. a .geometricadiparametropoGp)Se X-G(p) - V = x1.2....3 = IN/fes -> f((k) = p(1 - p(k - 2-> P/ X x k ) = 1 - 11 - p)* - E(x) = 1/p -Var(x) = f Ve r.discreteindipendentiDote nvo. Xe.....In essesi diceindipendentisevaleIugroglienza:IP/Xe=Ve r...-Xn = k) = (P(xe = ve).....P/Xn=n) Asceltediveper Xe..... UnperXnSeXeY saeve. Indipendentialove:(E(XY) = (E(x)(EY)br(x + Y) = Vo r ( ) + Va r / Y )Va r i a n z edi Bip) _ B(up). Grp) I1B(p)I1 Bipl" -(p) &SS · Ve r i m z a d : B(p) = p(1- p)/poreboa) h "¥ &33 · Ve r i a n edi Brypl = up/-p)/paradola) e ...........- 252 ...........ner11 · Va r i a n z adi GIp) = EPi >I!>p2DPre I p 12I p !P Va l o v eattesedi Blupl(E(B(p)) = 1E/Ye + Yz + ... + (n) con Yr = 1seleK- e s i m eproveèunsuccesso.Daltrimenti↓ "¥ AllovoYe . . . .In sonolenv. e .diBerneulcorrispondentialle(E(B(npl) = lE/Yz) + 1E/Yz) +... +E(n) = primeaprovedelprocesso = p + pt ... + p = 4pVo r a n zediBrup)Semprescrivendo X-Blupl = Ye t . . . + Yu -> Vr(x) = Ve r ( Y ) + Vo r ( Yz ) +... + Vo r/ Yn ) = p(1-p) + ... + p(e - p) = np(2 p) Assenzedimemoria diGipl DopoKesperimentisenzasuccesso quantodevoaspettoreperunsuccesse? -> Cerco IP/XcKenIXck) = IPrXcKenXcK)PracKen) - le = re-pl = IP/X,k)IP(xk)->IP(Xck+nXck) = (1 - p)* = IP/Xan) -> IlworeK noninfluenesGrp)SeriegeometricaSiCEIR. perinduzionesuneINsidimostreche Sei= ↑24 + 21cm2 = 1-> convergese esplose: _ er= Es lette (e cme = e121 = 1 VA R I A B I L I DIPOISSON -> Limite inleggedimesuccessionedibinomiaUnavariabileX si dicediPaissondiparametro10 se (PIX = i) = (e i =IN-> X-P(d) Le altrimetriVa l o reeteso: (Erx)=kpak) = Re- ! I de-de"t-dete" =Ve r r a n e a : vor (x) urpa- e e "x, re- i k =01 x =0I+(E(x) - 12 Fee"-x=1- e erTe o r e m a :SianoXe ..... Invaindipendenticon XirP(d) -> Xet ...+ XnwPrdet... + n) NOZ:nonévero e se XmP(a)allersnXmP/ni)perchénon é indipendentede sestesse ProcessodiPoissan misurabilel Si /X.5.p) mo spazio conmisure M. Mafamigliedivar. [Xebekadice processediPassone intensitore seesolose: 1) se k = smodisgiuntiallereXen....Vonsono indipendenti2)xx P(n(s)) 3) ->Xe/cl éunamisurediconteggieXw =1 V. A . CONTINUE - v. X . - Ravente come immaginein IRinsiemeVinfinitecotinueDensitàcontinuodi V. I . SixX:-IRusve. continue.Seesiste me funzimeintegrabile Fx: IR - (0. + 0)taecheperogniintervalloJ _ IR: IP(x = 5) = 1, fxx)dx - alertfx é la funzionedidensitàdella vo. X.laqualee definite voassolutamenteantinuaCosediscreto:(P(Xe(2.6]) = xrasinfax) Casocontinue:IPIX(6) = fedx -> Sea é ladasitodiunavia. continueallore(pfx(xdx = (P/XER) = 1Leggediunavia.continueDataunavie. X se intervallorealeIsupplomocalcolore (PIX=I) diciomocheconoscime "¥ a legge o distribuzionediXV. e .IdenticamentedistribuiteSele va. Xerknkannetostesselegge, sidicechesiidenticamentedistribuiteVa l o reattesedivia.continuaSiX:R-IRmaver.continuecon destafa.Se mi fadx toalloresidefiniscaildoveattesodiX come: 1(x) = (xfx(x)dx "¥ a varienzerimane Vo r ( x ) = (E//X-1Ex))V. o .U/0.6)UNIFORMEUna vie uniformenellinterato(eb) éla via. continuoche assumeraror:two 2 et e hadensità:fx = 0 sext(eb)matrefx(x) = 0sexk(e,t) -> (x) con X-Vab) = e -> Vo r ) am XeWarb)- aumente con ladimensionedellintervallo V. e .Nee)NORMALESTANDARDUna v. o . normalestandardN01) è la via.continueche assumevaloriin tutteIR é hadensito:fx(x) = e - Proprieta · Il massimoé inx = 0emax = Y2 =03989 · simmetrica rispettoo y · Va azerooI · IP/1x1>3) = 00027atrascurebile · IP/(x)34) = 0.008963 · (P1 - 3 = x = 3) = 09973Perquantoriguardo:valori letondediconoilvaloredi IP(N(0.1)xn) canc (0-29]-Posso otteneredelleprobabilitàvogionandosullesimmetriodelgrafico-Seto:(P(N(82) = - t = 1 - 1P/N(e) =+ t) = l - f(t)f(t) = (P/Nier) = t)>te(R:IP/N(22)t) = 1 - P/ N 1 02 )=t) = 1 - f(t) >Calcolato cm letavole-Seto: (P/(N(0)(t) = 2(1 - (P(N102)=t) = 2 - 2f(t) - Setze:(P(IN(0-11et) = 1 - IP(N(0-1(kt) = 1 - 12 - 2f(t)) = 26(t) - 1 "¥ sec.dER cm ex6allers:IP(axN(01) = b) = (P/N(e)(6)-IP/N102)x) = ((6) - f(a)Vo l oveatteso:(E/XN(01)) = 0Va r i a n z a :Vo r ( X- N ( 0 1 ) ) = 1 Vo. NOME NORMALIGENERICHESiZwN(02). e simo.EIR.Lav.oX = eNtr si indica Nicol ed é dette vienormalediparametrieoVo l oveteso:1E(x) = mProprietà: massimoin x=M emaxpuò essere- 1Va r i a n z a :Vo r ( X ) = 0Avec = 1 IP(n - 30 = x = x + 30) = 09973 StandudizzazionediX:x = e7 + x - z = I QuentilediN(1)SiezmN101) eamnumero (RE/02].Sichiome a quantitediZI numerzutaeper cui (P/Zxzn) = a V. a .continueindipendent:Daten v. o .continueXexe.....In essesidiamoindipendentiseverel'uguaglianza ↑P(Xscfe-x-1.....Xne(n) = (P/Xef).IP/Xezz).....PrXneIn)AsceltediIn.....Inintervallirea -> Sex eYsonovaindipendenti - (E(X.Y) = (Erx).IE/Y -> Vr(x + Y) = Ve r k )+Vor/Y) -> Sex-NIM e Y- NIMz.) - X + Y - N/Mettedi -> ex+6 ~ Napr+ 6. e)MEDIACAMPIONARIADatenva. X...Anindipendentieidenticamentedistribuite (...), la ver En = sti é dettomediecompimariaTEOREMCENTREDEL LIMITE(TCL)Si ilies wesuccessionedivia......tutte a valoreatteso (E/Xil= evarianza finitoVo r(Xi) = 520. -> SiS - E alloretrae nIP/Sxt) = f(t) Piùingeneraleperognisuccessionedinumeri reali [tuneIN: IIPS=t)-Gren) = 0 St é lastandardizzatedellemediecampionariainfert::E(n) = eVo r/ n ) = -> Inaltreparolepercalcolareprobabilitàrelativee sipossiamoutilizzarequellerelative a No.1) come approssimazione Approssimazioniutilizzate.S*Nachvalgonosolo senéEn = N. I sufficientementegrandeXet ...+ Xn Ninge,no-Leapprossimaziondiventanouguaglianzeun casodivariabilinormalii · SetoleggedelleXe.....Annonéempiricamentetroppoesimmetricapossoapprossimoreper 1230 · Seloleggediogni XiéBip)alloreapprossimesesie upchenep) smec5 · ApprossimazionediGinonialeBinp) -> Bip) è sommadi Bip) indipendent "¥ B(yp) = N(np-np(e- p)) Correzionedicontinuité:(P(B(np) + K) = IP(Ninp-nprep() x x - es)IP/B/4p)() = IP/Np-pre-pl) cx + os) Disuguaglianzadi Chebycher SixX uav. a .con Erx) = e e Yo r k ) = 8.SixEunnumerorealepositiveprefissato.Va l elaseguentedisuguaglianza: IP(IX - a) = E) = E oppure (P/1X - x) = 3) - 1 - E Sea = dacondi - >(P(IX - ukdox f Soche (autd) e/Xxp-do) sonoeventiincompatibili e compongonol'evento/1x - u)d) u - deee + se II ·IPIX+ de) + IP/Xer-de) = IP = I Analogamate(P(IX - ) = 50) = 1 - 2 - IP(n - d x x = e + do)1 - I Leggedei grandi numeri SinoX......In va. ii.d.Sp(E/Xil = reVor(Xi) = aFi -> Allevaa vare! (P(In - x) > E) = a -Legge for te: IP(Xn = a) = 1-Confrontoacantomediacompioneriapernabbastanzagrande Dimostrazimeleggedei grandi numerAppliceChebycher e In:IP/I*n-IErEnIl = e vorrallese · cacoleIErn) e Vo r/ X u ) .(Erkn) = (E(x) = E/x)) = Es = Ve r r a ) - Ve r/ s t i ) = Vo r ( i ) = - -> IP/1Xn - pl)fe - scelgo= IP(1kn - p) = 2)=-Per noioottengolatesi