Ingegneria Meccanica - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

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Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 09 /07/20 20 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. QUESITO 1 (PUNTI 1 3, TEMPO 45’ ) Un processo produttivo di tovaglioli di carta realizza 300 Kg/giorno di pezzi , in un singolo turno di 8 ore . Si desidera garantire la qualità del processo . A questo proposito, ogni ora di raccoglie un campione di 200 tovaglioli . Di seguito si riporta il numero di tovaglioli difettosi riscontrati in 20 campioni. 5 3 4 4 1 2 1 2 4 4 1 3 1 0 2 4 1 1 2 5 a. Progettare una opportuna carta di controllo. In caso di fuori controllo, si ipotizzi la presenza di cause assegnabili. b. Tracciare la curva caratter istica operativa. Riportarne il valore in corrispondenza di una frazione di difettosi pari a 0,75%. c. Il responsabile del processo non è convinto della capacità della carta di rilevare efficacemente piccole variazioni del processo. Propone quindi di utilizza re una carta basata su un singolo campione da 1000 pezzi raccolto giornalmente. Progettare la relativa carta di controllo. d. Confrontare la carta progettata al punto a con quella progettata al punto c in corrispondenza di una frazione di difettosi pari a 0, 6%. Quale richiede meno campioni per rilevare il fuori controllo? Quale meno tempo? QUESITO 2 (PUNTI 8, TEMPO 30 ’) Un processo produttivo di tovaglioli di carta realizza lotti da 300 Kg . Si desidera garantire la qualità del prodotto. Ogni tovaglio lo pesa 2 g. a. Progettare un piano d’ accettazione singolo giornaliero secondo MIL STD 105 D. Si consideri Livello d’ispezione I e AQL pari a 0, 65%. b. Per il piano con comportamento ridotto tracciare le cure OC, ATI, AOQ (si ipotizzi ispezione con rispristino). Riportare i valori delle c urve corrispondenti ad una frazione di difettosi par i a 1%. c. In seguito, si rilevano i seguenti numeri di pezzi difettosi in 25 campioni consecutivi. Si ipotizzi di partire da ispezione a comportamento ridotto. P er ogni campione indicare qual è stata la dimensione del campione, quale comportamento è stato ap plicato, se il lotto è stato accettato o rifiutato, se si sono applicate switching rules . In caso, si ipotizzi di avere il benestare per il passaggio a ispezione ridotta. 0 2 4 0 2 3 1 2 0 3 1 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 QUESITO 3 (PUNTI 6, TEMPO 25’) Un’acciaie ria ha due laminatoi. I laminatoi sono indipendenti fra di loro (anche da un punto di vista statistico). Le lamiere che producono sono caratterizzate da un numero di difetti distribuito secondo una distribuzione di Poisson. Il laminatoio A genera 3 difetti nella lamiera ogni 3 h e 20 min. Il laminatoio B genera 1 difetto ogni 40 min. a. Qual la probabilità che d omani , tra le 14.00 e le 18.00, siano generati esattamente 4 difetti complessivi ? b. Sapendo che tra le 14.00 e le 18.00 di domani saranno gener ati esattamente 3 difetti totali , qual è la probabilità che la linea A ne produca esattamente 1? QUESITO 4 (PUNTI 6, TEMPO 2 5’) Una produzione di tavole di legno realizza pezzi il cui spessore ha una varianza storicamente nota e pari a 0,16 mm 2, con distribuzione normale. La produzione odierna è stata valutata sulla base di un campione di 30 tavole che hanno mostrato uno spessore medio campionario di 50,32 mm. a. Determinare un intervallo di c onfi denza al 99% per il campione. Illustrare nel dettaglio come si è ottenuto tale intervallo. b. Se si volesse ottenere un intervallo al 99% di ampiezza non superiore a 0,1 mm, quant e parti bisognerebbe osservare? SOLUZIONE QUESITO 1 Un processo produttivo di tovaglioli di carta realizza 300 Kg/giorno di pezzi, in un singolo turno di 8 ore. Si desidera garantire la qualità del prodotto. A questo proposito, ogni ora di raccoglie un campione di 200 tovaglioli. Di seguito si riporta il numero di tovaglioli difetto si riscontrati in 20 campioni. 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 2 0 2 0 0 0 1 1 a. Progettare una opportuna carta di controllo. In caso di fuori controllo, si ipotizzi la presenza di cause assegnabili. Avendo a disposizione dati del tipo “numero di difettosi”, è possibile utilizzare analogamente una carta p o np. Optiamo in questa soluzione per una carta p; la soluzione con carta np (in questo e nei successivi punti) è comunque accettabile. Iniziamo con un data snooping : Non si evidenziano particolari anomalie. Si ipotizza che dati siano stati raccolti dal processo in condizione di regime, siano indipendenti, e distribuiti second o una binomiale di parametri incogniti: siamo in fase I. In assenza di indicazioni, scegliamo k=3. Determiniamo quindi i limiti di tentativo: ������̂= ∑������������ � = 0,0125 �������� = ������̂−������√������̂(1−������̂) � ≈ 0 �������� = ������̂+������√������̂(1−������̂) � = 0,036 Tracciamo la carta: 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 20 Data snooping Non si evidenziano punti f uori controllo. Riteniamo quindi che il processo sia in controllo con una frazione di difettosi in uscita pari a 0,00325. La progettazione della carta è terminata. b. Tracciare la curva caratteristica operativa. Riportarne il valore in corr ispondenza di una frazione di difettosi pari a 0,75%. Per il calcolo della curva OC si consideri la seguente formula: �= �(������������∈[�������� ,�������� ])= �(������������≤ �������� )−�(������������< �������� )= �(�������������≤ ��������� )−�(�������������< ��������� )= �(�������������≤ 7) Da cui la seguente curva: La probabilità corrispondente ad una frazione di difettosi pari allo 0, 75% è 0,9 998 . c. Il responsabile del processo non è convinto della capacità della carta di rilevare efficacemente piccole variazioni del processo. Propone quindi di utilizzare una carta basata su un singolo campione da 1000 pezzi raccolto giornalmente. Progettare la relativa carta di controllo. Essendo ora in fase II, la frazione di difettosi è nota e pari a 0,0 125 . Calcoliamo i nuovi limiti: ������= 0,0125 �������� = ������−������√(1−������) � = 0,00 20 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0 5 10 15 20 25 Carta p p_i LCI LC LCS 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 OC �������� = ������+������√(1−������) � = 0,023 d. Confrontare la carta progettata al punto a con quella progettata al punto c in corrispondenza di una frazione di difettosi pari a 0, 6%. Quale richiede meno campioni per rilevare il fuori controllo? Quale meno tempo? Calcoliamo innanzitutto la curva caratteristica della nuova carta. �= �(������������∈[�������� ,�������� ])= �(������������≤ �������� )−�(������������< �������� )= �(�������������≤ ��������� )−�(�������������< ��������� )= = �(�������������≤ 1)−�(�������������≤ 23 ) Notare i differenti andamenti delle due curve. Calcoliamo ora il numero medio di campioni prima del fuori controll o ������������� (�1)= 1 1−� Che per ������′= 0,6% vale, rispettivamente, 29959 per la prima carta e 58,38 per la seconda . Ciò era preved ibile, essendo impo sta una riduzione della frazione di difettosi, ed essendo la prima carta a limite di controllo inferio re pari a 0, quindi inad atta ad evidenzia re un problema di questo tip o. Considerando il tempo medio prima di un segnale, esso è �������� = ������������������� (�1) Dove t è il period o di campionamento dei dati , si ottiene per la prima carta 29959 h e per la seconda 467 h. S i conferma quanto detto in precedenza sull ’att itudine della prima carta trovare fuori controllo. QUESITO 2 Un processo produttivo di tovaglioli di carta realizza lotti da 300 Kg. Si desidera garantire la qualità del prodotto. Ogni tovagliolo pesa 2 g. a. Progettare un piano d’accettazione singolo giornaliero secondo MIL STD 105 D. Si consideri Livello d’ispezione I e AQL pari a 0, 65%. Considerando il peso del lotto e del singolo tovagliolo, ogni lotto è costituito da 150000 pezzi. C ons iderando le tabelle delle norme, questi sono i piani corrispondenti (codice L) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 Curve OC OC OC2 Normale Ridotto Rinforzato n 200 80 200 Ac 3 1 2 Re 4 4 3 b. Per il piano con comportamento ridotto tracciare le cure OC, ATI, AOQ (si ipotizzi ispezione con rispristino). Riportare i valori delle curve corrispondenti ad una frazione di difettosi pari a 1%. ������� = �(������≤ 1|�= 80 ) �������� = ������������� �−� � �������� = �������� +�(1−������� ) Percent Defective Probability Accepting Probability Rejecting AOQ ATI 0,65 0,904 0,096 0,587 14448,7 1,00 0,809 0,191 0,809 28691,0 c. In seguito, si rilevano i seguenti numeri di pezzi difettosi in 25 campioni consecutivi. Si ipotizzi di partire da ispezione a comportamento ridotto. Per ogni campione indicare qual è stata la dimensione del campione, quale comportamento è stato applicato, se il lotto è stato accettato o rifiutato, se si sono applicate switching rules. In caso, si ipotizzi di avere il benestare per il passaggio a ispezione ridotta. 0 2 4 0 2 3 1 2 0 3 1 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 i d Dim lotto Coportamento Accettato? Switching rule 1 0 80 ridotto Sì 2 2 80 ridotto No n campione rifiutato in comp. Ridotto: passo a normale 3 4 200 Normale No 4 0 200 Normale Sì 5 2 200 Normale Sì 6 3 200 Normale Sì 7 1 200 Normale Sì 8 2 200 Normale Sì 9 0 200 Normale Sì 10 3 200 Normale Sì 11 1 200 Normale Sì 12 1 200 Normale Sì 13 2 200 Normale Sì 10 consecutivi accettati: passo a ridotto 14 0 80 Ridotta Sì 15 0 80 Ridotta Sì 16 0 80 Ridotta Sì 17 1 80 Ridotta Sì 18 1 80 Ridotta Sì 19 0 80 Ridotta Sì 20 0 80 Ridotta Sì 21 0 80 Ridotta Sì 22 1 80 Ridotta Sì 23 1 80 Ridotta Sì 24 1 80 Ridotta Sì 25 0 80 Ridotta Sì QUESITO 3 Un’acciaieria ha due laminatoi. I laminatoi sono indipendenti fra di loro (anche da un punto di vista statistico). Le lamiere che producono sono caratterizzate da un numero di difetti distribuito secondo una distribuzione di Poisson. Il laminatoio A genera 3 difetti nella lamiera ogni 3 h e 20 min. Il laminatoio B genera 1 difetto ogni 40 min. a. Qual la prob abilità che domani, tra le 14.00 e le 18.00, siano generati esattamente 4 difetti complessivi? Cominciamo innanzitutto col rilevare che la linea A, producendo 3 difetti in 3 h 20 min, di fatto produce mediamente 3 (3∗60+20)= 3 200 difetti al minuto. Poiché il p eriodo di interesse è pari a 240 min, la linea A in questo periodo produrrà un numero di difetti distribuito secondo una distribuzione di Poisson di parametro ��= 3 200 ∗ 240 = 3,6. Con ragionamento analogo, la linea B produrrà un numero di difetti distribuito secondo una distribuzione di Poisson di parametro ��= 1 40 ∗240 = 6. Poiché la somma di variabili di Poisson indipen denti è ancora una Poisson di parametro pari alla somma dei parametri , il numero totale di difetti prodotto di n 4 ore si distribuisce secondo una Poisson di parametro �= 3,6+6= 9. Possiamo calcolare quindi �(� = 4)= 0,024 . Allo stesso risultato si può arrivare applicando la formula �(� = 4)= ∑ �(��= ������)�(��= 4−������) 4������=0 b. Sapendo che tra le 14.0 0 e le 18.00 di domani saranno generati esattamente 3 difetti totali , qual è la probabilità che la linea A ne produca esattamente 1? Si tratta di un caso di probabilità con dizionata: �(��= 1|�= 3)= �(��= 1∩�= 3) �(� = 3) = �(��= 1∩��= 2) �(� = 3) Per l’indipendenza delle due linee, possiamo scrivere �(��= 1∩��= 2) �(� = 3) = �(��= 1)�(��= 2) �(� = 3) = 0,44 QUESITO 4 Una produzione di tavole di legno realizza pezzi il cui spessore ha una varianza storicamente nota e pari a 0,16 mm 2, con distribuzione normale. La produzione odierna è stata valutata sulla base di un campione di 30 tavole che hanno mostrato uno spessore medio campionario di 50,32 mm. a. Determinare un intervallo di confidenza al 99% per il campione. Illustrare nel dettaglio come si è ottenuto tale int ervallo. Determinare un intervallo del genere significa garantire che sia �(�∈[������̅−������,������̅+������])= 1−�= �(�≤ ������̅+������)−�(�< ������̅−������)= = �(������̅−� ������ √� ⁄ ≥ −������ ������ √� ⁄ )−�(������̅−� ������ √� ⁄ > ������ ������ √� ⁄ ) Sotto le ipotesi date, il termine ������̅−������������������⁄ si distribuisce secondo una normale standard . Riscrivendo la formula ottenute come �= 1−[�(������̅−� ������ √� ⁄ ≥ −������ ������ √� ⁄ )−�(������̅−� ������ √� ⁄ > ������ ������ √� ⁄ )] Possiamo, ricordando che �(������)= 1−�(�������) e le proprietà della normale standard , scrivere �= 1−[�(������̅−� ������ √� ⁄ ≥ −������ ������ √� ⁄ )−�(������̅−� ������ √� ⁄ > ������ ������ √� ⁄ )]= = 1−�(������̅−� ������ √� ⁄ ≥ −������ ������ √� ⁄ )+�(������̅−� ������ √� ⁄ > ������ ������ √� ⁄ )= = �(������̅−� ������ √� ⁄ < −������ ������ √� ⁄ )+�(������̅−� ������ √� ⁄ > ������ ������ √� ⁄ )= = �(������̅−� ������ √� ⁄ > ������ ������ √� ⁄ )+�(������̅−� ������ √� ⁄ > ������ ������ √� ⁄ )= 2�(������̅−� ������ √� ⁄ > ������ ������ √� ⁄ ) �(������̅−� ������ √� ⁄ > ������ ������ √� ⁄ )= � 2 questa eguaglianza è verificata soltanto se (convenzione della coda di destra) ������ ������ √� ⁄ = Φ������/2 L’intervallo cercato è quindi [������̅−Φ������2 ������ √� ⁄ ,������̅+Φ������2 ������ √� ⁄ ]= [50 ,13 ;50 ,51 ] b. Se si volesse ottenere un intervallo al 99% di ampiezza non superiore a 0,1 mm, quante parti bisognerebbe osservare? Dalla trattazione del punto precedente , si ricava che l’ampiezza dell’intervallo è 2Φ ������2 ������ √� ⁄ Da cui, ricavando n, �≥ ( 2σΦ ������2 0,1 ) 2 = 424,63 ≈ 425