Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

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Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 26 /06/20 20 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. QUESITO 1 (PUNTI 1 4, TEMPO 45’ ) Un’azienda produce piastrelle in materiale ceramico in lotti da 10000 pezzi. Per verificare il corretto processo di stampaggio, le piastrelle vengono pesate, e si considerano accettabili piastrelle che hanno un peso di 0,4 ±0,05 Kg. a. Progettare una carta di c ontrollo X -R. Si desidera ottenere un numero medio di campioni prima di un falso allarme pari a 150 . Qualora i dati non risultassero normali, si considerino le seguenti trasformazioni come candidate per la normalizzazione: inverso, logaritmo, qua drato, radice quadrata. In caso di fuori controllo, si consideri la presenza di cause assegnabili. Si considerino i dati seguenti, provenienti da otto campioni di quattro pezzi ciascuno (valori in [Kg]) : Campione Piastrella 1 Piastrella 2 Piastrella 3 Piastrella 4 1 0,405 0,410 0,408 0,392 2 0,404 0,388 0,382 0,394 3 0,402 0,410 0,363 0,388 4 0,373 0,389 0,397 0,388 5 0,448 0,410 0,417 0,432 6 0,395 0,408 0,355 0,404 7 0,418 0,402 0,409 0,385 8 0,351 0,415 0,390 0,424 b. Sulla base dei dati precedenti, condurre una analisi di capacità, calcolando gli indici �������,�������������, sia di breve che di lungo periodo. Quali considerazioni si possono trarre? c. Se in futuro si desiderasse applicare una carta di controllo p, con ������= 3 e dimensione del campione pari a 250 pezzi, quali sarebbero i limiti di controllo da considerare? QUESITO 2 (PUNTI 9, TEMPO 35’ ) Progettare un piano d’accettazione doppio . Si traccino le curve OC, AOQ, ATI , ASN e se ne riportino i valori in corrispondenza d i AQL ed LT PD. Dati: • AQL: (������1= 0,01 ,1−�= 0,95 ) • LTPD: ( ������2= 0,042 ,�= 0,1) • ������2= ������1 • Prospettiva del cliente • Dimensione del lotto: 8000 • Ispezione con ripristino QUESITO 3 (PUNTI 5, TEMPO 25’ ) I tre studenti A, B, e C si sfidano a chi otterrà il punteggio più elevato nell’esame di “gestione industriale della qualità con elementi di statistica”. Dopo varie elaborazioni, il docente arriva alla conclusione che l’ex -aequo è impossibile, e che le var ie classifiche finali abbiano le seguenti probabilità: 1° Posto 2° Posto 3° Posto Probabilità A B C 0,18 A C B 0,09 B A C 0,40 B C A 0,20 C A B 0,02 C B A 0,11 Si calcoli la probabilità che: a. Vinca B b. C arriv i prima d A c. C vinca, sapendo che A è arrivato 3 ° d. B arrivi terzo, sapendo che A è arrivato prima di C QUESITO 4 (PUNTI 5 , TEMPO 20’ ) Dati i valori nella tabella sottostante, determinare un intervallo di confidenza al 90% per la varianza, di modo che sia: �(������2≤ ������)= 0,9 Illustrare nel dettaglio i passaggi matematici che portano al risultato e le ipotesi assunte. 2,06 -2,08 1,1 1,06 -0,66 0,53 -0,73 -0,6 0,8 1,62 SOLUZIONE QUESITO 1 Un’azienda produce piastrelle in materiale ceramico in lotti da 10000 pezzi. Per verificare il corretto processo di stampaggio, le piastrelle vengono pesate, e si considerano accettabili piastrelle che hanno un peso di 0,4 ±0,05 Kg. a. Progettare una carta di controllo X -R considerando i dati seguenti. Si desidera ottenere un nu mero medio di campioni prima di un falso allarme pari a 150 . Qualora i dati non risultassero normali, si considerino le seguenti trasformazioni come candidate per la normalizzazione: inverso, logaritmo, quadrato, radice quadrata. In caso di fuori controllo, si consideri la presenza di cause assegnabili . Si considerino i dati seguenti, provenienti da otto campioni di quattro pezzi ciascuno: Campione Piastrella 1 Piastrella 2 Piastrella 3 Piastrella 4 1 0,405 0,410 0,408 0,392 2 0,404 0,388 0,382 0,394 3 0,402 0,410 0,363 0,388 4 0,373 0,389 0,397 0,388 5 0,448 0,410 0,417 0,432 6 0,395 0,408 0,355 0,404 7 0,418 0,402 0,409 0,385 8 0,351 0,415 0,390 0,424 Come primo passo, eseguiamo un data snooping dei dati: Non si evidenziano particolari anomalie (trend, outlier, ciclicità, autocorrelazione). Verifichiamo con test di Anderson Darling se i dati sono normali: 0,340 0,360 0,380 0,400 0,420 0,440 0,460 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Data snooping Piastrella 1 Piastrella 2 Piastrella 3 Piastrella 4 I dati risultano normali. Si ipotizzano che siano tra di loro indipendenti. Calcoliamo ora i limiti di controllo utilizzando le formule �������������������= ������̿±������ �̅ √�������2(������) �������������������= �̅±�������̅�3(������) �2(������) In cui si considera �= 1 �������� (�0)= 0,067 ������= ������1−������2= 2,71 Si nota che al campione 5 la carta X indica un fuori controllo. Ipotizzando, come suggerito, la presenza di cause assegnabili, ricalcoliamo i limiti dopo aver scartato il dato 5: Tutti i punti risultano ora in controllo. La progettazione si può considerare conclusa. b. Sulla base dei dati precedenti, condurre una analisi di capacità, calcolando gli indici �������,�������������, sia di breve che di lungo periodo. Quali considerazioni si possono trarre? Considerando i dati al punto precedente, possiamo condurre la seguente analisi: WORKSHEET 1 Process Capability Report for Piastrella_c Il processo non risulta particolarmente capace , ma nemmeno drammaticamente inadeguato. Non si evidenziano particolari differenze tra capacità di breve e di lungo periodo. c. Se in futuro si desiderasse applicare una carta di controllo p, con ������= 3 e dimensione del campione pari a 250 pezzi, quali sarebbero i limiti di controllo da considerare? Come da punti precedenti dell’esercizio, processo risulta in controllo, con una distr ibuzione della caratteristica di qualità considerata distribuita secondo una normale �(0,3946 ,0,018 12) (considerando ad esempio l’analisi di lungo periodo, utilizzare quella di breve è comunque accettabile. A questo corriponde una frazione di difettosi pari a ������= �(������< �������� )+1−�(������< �������� )= 0,00 7837 Da cui si possono calcolare i limiti della corrispondente carta p: �������� = max (0,������−������√������(1−������) ������ )= 0 �������� = ������+������√������(1−������) ������ = 0,02 457 QUESITO 2 Progettare un piano d’accettazione doppio. Si traccino le curve OC, AOQ, ATI, ASN e se ne riportino i valori in corrispondenza dei AQL ed LTPD. Dati: • AQL: ( ������1= 0,01 ,1−�= 0,95 ) • LTPD: ( ������2= 0,042 ,�= 0,1) • ������2= ������1 • Prospettiva del cliente • Dimensione del lotto: 8000 • Ispezione con ripristino Considerando che ������2������1= 4,2, le tavole di Grubbs ci suggeriscono �� 1= 1 �� 2= 4 ��1= ��2= 5 ������1= 4,42 ������2 = 105 ������2= ������1= 105 Per il calcolo delle curve si considerino le seguenti formule ������� = �������1+������� 2= �(�1≤ 1)+�(�1+�2≤ 4|�1∈[2;4])= = �(�1≤ 1)+�(�1= 2)�(�2≤ 2)+�(�1= 3)�(�2≤ 1)+�(�1= 4)�(�2≤ 0) ��� = �������������1�−������1 � +������� ������2�−������1−������2 � ��� = �(1−������� )+������1�������1+(������1+������2)�������2 ��� = ������1+������2�(�1∈[2;5])= ������1+������2(�(�1≤ 5)−�(�1≤ 1)) p Pa AOQ ATI ASN 0,01 0,948248 0,009328 537,8295 134,2416 0,042 0,095513 0,00394 7249,449 155,9956 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 Pa 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 AOQ QUESITO 3 I tre studenti A, B, e C si sfidano a chi otterrà il punteggio più elevato nell’esame di “gestione industriale della qualità con elementi di statistica”. Dopo varie elaborazioni, il docente arriva alla conclusione che l’ex -aequo è impossibile, e che le varie cla ssifiche finali abbiano le seguenti probabilità: 1° Posto 2° Posto 3° Posto Probabilità A B C 0,18 A C B 0,09 B A C 0,40 B C A 0,20 C A B 0,02 C B A 0,11 Si calcoli la probabilità che: a. Vinca B Diamo innanzitutto dei nomi a lle varie classifiche: Evento 1° Posto 2° Posto 3° Posto Probabilità 1 A B C 0,18 2 A C B 0,09 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 ATI 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 ASN 3 B A C 0,40 4 B C A 0,20 5 C A B 0,02 6 C B A 0,11 I sei eventi sono evidentemente incompatibili tra di loro . B vince negli eventi 3 e 4, quindi, essendo B1 l’evento “vince B”, la sua probabilità risulta �(�1)= �(3∪4)= �(3)+�(4)= 0,6 b. C arriv i prima d A Ragionando in modo simile al punto precedente, C arriva prima di A negli eventi 4, 5, e 6, quindi, essendo “C �)������)= �(�3∩(�> �)������) �((�> �)������) = �(�3∩(�> �)������) 1−�(�> �) La probabilità di cui al denomina tore è già stata calcolata al punto b. Per quanto riguarda il numeratore, esso è costituito dal solo evento 2. Quindi: �(�3|(�> �)������)= �(�3∩(�> �)������) �((�> �)������) = �(�3∩(�> �)������) 1−�(�> �) = 0,09 1−0,33 = 0,134 QUESITO 4 Dati i valori nella tabella sottostante, d eterminare un intervallo di confidenza al 90% per la varianza, di modo che sia: �(������2≤ ������)= 0,9 Illustrare nel dettaglio i passaggi matematici al risultato e le ipotesi assunte . 2,06 -2,08 1,1 1,06 -0,66 0,53 -0,73 -0,6 0,8 1,62 Per ricavare il limite dell’intervallo, partiamo dalla definizione e rielaboriamola: �(������2≤ ������)= 1−�= �(������−1 ������2 �2≥ ������−1 ������ �2) Sotto l’ipotesi di normalità dei dati , ������−1 ������2�2∼������������−12 . Pertanto, affinché sia verifica ta l’uguaglianza , deve essere (convenzione della coda di destra) ������−1 ������ �2= ������������−1,1−������ 2 Da cui ������= ������−1 ������������−1,1−������ 2 �2 Verifichiamo che i dati siano normali: Risultano normali . Risolvendo ora otteniamo: ������= ������−1 ������������−1,1−������ 2 �2= 9 4,17 1,65 = 3,55