Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

Full exam

Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 14/02/20 20 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (PUNTI 1 2, TEMPO 40 ’) Un’azienda che produce detersivi ha, tr a gli ingredienti del prodotto, una soluzione di idrossido di sodio. Di seguito 15 misurazioni, con c adenza giornaliera, della concentrazione dell’idrossido di sodio nell’acqua (valori in percentuale). 10,47 -10,55 -10,49 -10,17 -10,13 -10,65 -10,69 -10,62 -10,43 -10,72 -10,35 -10,03 -10,63 -10,4 -10,53 a. Progettare opportune carte di controllo per il monitoraggio di media e dispersione del processo (si consideri ��� (ℎ0)= 250 ). b. Tracciare la curva caratteristica operativa della carta che monitora la media del processo . Riportar ne il valore qualora la media del processo si sposti d el doppio della deviazione standard di processo. c. Qual è il reale valore di ��� (ℎ0) della carta che monitora la media del processo ? d. Calcolare gli indici ��,��� di breve e di lungo periodo. Si considerino i limiti di specifica [9,4 ; 11,1]. Che conclusioni si po ssono trarre? QUESITO 2 (PUNTI 9, TEMPO 35 ’) Progettare un piano d’accettazione doppio . Si traccino le curve OC, AOQ, ATI , ASN e se ne riportino i valori in corrispondenza d i AQL ed LTP D. Dati: • AQL: (������1= 0,01 ,1−�= 0,95 ) • LTPD: ( ������2= 0,042 ,�= 0,1) • ������2= 2������1 • Prospettiva del cliente • Dimensione del lotto: 8000 • Ispezione con ripristino QUESITO 3 (PUNTI 7, TEMPO 30 ’) Uno studente universitario, dovendo recarsi presso il proprio Ateneo per seguire le lezioni, utilizza l’autobus nel 65% dei casi, la metropolitana il 20% delle volte ed il treno in tutti gli altri casi. Lo studente arriva in orario a lezione con probabilità 0 ,35 quando si serve dell’autobus, con probabilità 0 ,75 quando fa uso della metropolitana e con probabilità 0 ,55 quando prende il treno. Definiti gli ev enti A = {lo studente prende l’autobus}, M = {lo studente prende la metropolitana}, T = {lo studente prende il treno}, O = {lo studente arriva in orario a lezione} . a. Si stabilisca se A e M sono indipendenti, motivando la risposta . b. Si stabilisca se T e O sono incompatibili (disgiunti) , motivando la risposta . c. Si calcolino �(�⋂�) e �(�−�). d. Si determini con quale probabilità lo studente arriva in orario a lezione, motivando la risposta . e. Si calcoli la probabilità che lo studente non si sia servito della metr opolitana , noto che è arrivato in orario a lezione, motivando la risposta . QUESITO 4 (PUNTI 5 , TEMPO 20 ’) Dimostrare, illustrando le proprietà e i teoremi applicat i nei vari passaggi , che �(�−�)= �(�)−�(�∩�) SOLUZIONE QUESITO 1 Un’azienda che produce detersivi ha, tra gli ingredienti del prodotto, una soluzione di idrossido di sodio. Di seguito 15 misurazioni, con cadenza giornaliera, della concentrazione dell’idrossido di sodio nell’acqua (valori in percentuale). 10,47 -10,55 -10,49 -10,17 -10,13 -10,65 -10 ,69 -10,62 -10,43 -10,72 -10,35 -10,03 -10,63 -10,4 -10,53 a. Progettare opportune carte di controllo per il monitoraggio di media e dispersione del processo (si consideri ��� (ℎ0)= 250 ). Essendo il controllo basato su osservazioni singole, l’unica scelta possibile è la carta I -MR. Iniziamo con un data snooping : Non si evidenziano trend, ciclicità, o altre anomalie. Applichiamo il test di Anderson -Darling per la verifica di normalità dei dati: 9,9 10 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Il p -value elevato (0,25) e superio re a 0, 05 ci suggerisce che non vi è evidenza statistica per rifiutare l’ipotesi nulla di normalità dei dati. Dovendo essere ��� (ℎ0)= 250 , consegue �= 0,004 da cui ������= ������������/2= 2,878 . Calcoliamo ora i limiti di controllo della carta I: �������� = ������̅−������ ��̅̅̅̅̅ �2(������)= 9,863 �� = ������̅= 10 ,457 ��� = ������̅+������ ��̅̅̅̅̅ �2(������)= 11 ,051 E per la carta MR: �������� = max (0;��̅̅̅̅̅−��������̅̅̅̅̅�3(������) �2(������) )= 0 �������� = ��̅̅̅̅̅−��������̅̅̅̅̅�3(������) �2(������) = 0,233 ��� = ��̅̅̅̅̅+��������̅̅̅̅̅�3(������) �2(������) = 0,740 Tutti i punti risultano in controllo. Possiamo concludere che il processo è in controllo con i parametri calcolati. b. Tracciare la curva caratteristica operativa. Riportarne il valore qualora la media del processo si sposti del doppio della deviazione standard di processo. Ricordando che la dimensione campionaria è pari a 1, possiamo calcolare la curva caratteristica operativa come β= Φ(������−������√������)−Φ(−������−������√������)= Φ(2,878 −2√1)−Φ(−2,878 −2√1)= 0,81 c. Qual è il reale valore di ��� (ℎ0)? Essendo la variabile di controllo normale, il reale valore di ��� (ℎ0) è pari a quello di progetto, cioè 250. d. Calcolare gli indici ��,��� di breve e di lungo periodo. Si considerino i limiti di specifica [9,4; 11,1]. Che conclusioni si possono trarre ? Si ricordano le formule: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 1 2 3 4 5 6 �������������������������� = ��̅̅̅̅̅ �2(2) ���������������� = � �4(������)= 1 �4(������)√ 1 ������−1∑ (������������−������̅)2 � ������=1 ≈ √ 1 ������−1∑ (������������−������̅)2 � ������=1 ��= ��� −�������� 6������ ��� = min (������−�������� 3������ ,��� −������ 3������ ) Il processo appare adeguatamente capace (tutti gli indici superiori a 1). Tuttavia, la capacità potenziale è significativamente superiore a quella reale: sarebbe opportuno intervenire sulla centratura del processo. Non ci sono invece significative differen ze tra breve e lungo periodo. QUESITO 2 Progettare un piano d’accettazione doppio. Si traccino le curve OC, AOQ, ATI, ASN e se ne riportino i valori in corrispondenza dei AQL ed LTPD. Dati: • AQL: ( ������1= 0,01 ,1−�= 0,95 ) • LTPD: ( ������2= 0,042 ,�= 0,1) • ������2= 2������1 • Prospettiva del cliente • Dimensione del lotto: 8000 • Ispezione con ripristino Considerando che �2�1= 4,2, le tavole di Grubbs ci suggeriscono �� 1= 1 �� 2= 5 ��1= ��2= 6 ������1= 4,02 ������2 = 96 ������2= 2������1= 192 Per il calcolo delle curve si considerino le seguenti formule ������� = �������1+������� 2= �(�1≤ 1)+�(�1+�2≤ 5|�1∈[2;5])= = �(�1≤ 1)+�(�1= 2)�(�2≤ 3)+�(�1= 3)�(�2≤ 2)+�(�1= 4)�(�2≤ 1)+�(�1= 5)�(�2≤ 0) ��� = �������������1�−������1 � +������� ������2�−������1−������2 � �������� = �(1−������� )+������1�������1+(������1+������2)�������2 ��� = ������1+������2�(�1∈[2;5])= ������1+������2(�(�1≤ 5)−�(�1≤ 1)) p Pa AOQ ATI ASN 0,01 0,950346 0,009341 526,83 143,8123 0,042 0,092907 0,003847 7267,238 230,1604 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 Pa 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 AOQ QUESITO 3 Uno studente universitario, dovendo recarsi presso il proprio Ateneo per seguire le lezioni, utilizza l’autobus nel 65% dei casi, la metropolitana il 20% delle volte ed il treno in tutti gli altri casi. Lo studente arriva in orario a lezione con probabilità 0,35 quando si serve dell’autobus, con probabilità 0,75 quando fa uso della metropolitana e con probabilità 0,55 quando pr ende il treno. Definiti gli eventi A = {lo studente prende l’autobus}, M = {lo studente prende la metropolitana}, T = {lo studente prende il treno}, O = {lo studente arriva in orario a lezione} Dal testo dell’esercizio si evince che �(�)= 0,65 �(�)= 0,2 �(�|�)= 0,35 �(�|�)= 0,75 �(�|�)= 0,55 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 ATI 0 50 100 150 200 250 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 ASN a. si stabilisca se A e M sono indipendenti, motivando la risposta . Poiché A ed M sono incompatibili, non possono essere indipendenti. b. si stabilisca se T e O sono incompatibili, motivando la risposta . Essendo �(�|�)= 0,55 deve essere �(�∩�)≠ 0, quindi i due eventi non sono incompatibili. c. si calcolino P(A ∩ O) e P(A – O) �(�∩�)= �(�|�)�(�)= 0,2275 �(�−�)= �(�)−�(�∩�)= 0,4225 d. si determini con quale probabilità lo studente arriva in orario a lezione, motivando la risposta Applicando la formula dell a probabilità totale , essendo �⋃�⋃� uguale allo spazio di probabilità , ed essendo �,�,� disgiunti tra loro �(�)= �(�|�)�(�)+�(�|�)�(�)+�(�|�)�(�)= �(�|�)�(�)+�(�|�)�(�)+�(�|�)(1−�(�)−�(�)) = 0,46 e. si calcoli la proba bilità che lo studente non si sia servito della metropolitana noto che è arrivato in orario a lezione, motivando la risposta . Utilizzando il teorema di Bayes possiamo ricavare che �(��|�)= 1−�(�|�)= 1− �(�|�)�(�) �(�|�)�(�)+�(�|�)�(�)+�(�|�)(1−�(�)−�(�))= 0,6739