Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

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Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 16 /01/20 20 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (PUNTI 1 2, TEMPO 40 ’) Un’azienda produce filo di rame in bobine da 5000 m. È noto che il processo, in condizione di normale funzionamento, genera mediame nte un difetto ogni 20 m. a. Il responsabile della qualità decide di monitorare il processo identificando i difetti in uno spezzone di filo da 50 m ogni ora. Determinare i limiti di controllo di una carta adeguata a monitorare il processo. b. A seguito dell’applicazione della carta, vengono raccolti 10 campioni. Di seguito i difetti rilevati: 0 9 3 7 10 3 8 5 6 11 Il processo appare in controllo? c. Dopo alcuni giorni, il responsabile della qualità sospetta che la carta di controllo non sia sufficientemente reattiva nell’ identificare i problemi del processo . Decide quindi di ispezionare spezzoni da 100 m. Determinare i nuovi limiti della carta di controllo. d. Determinare il reale valore di ARL(H 0) per ciascuna delle carte progettate . Commentare il risultato. QUESITO 2 (PUNTI 10 , TEMPO 35 ’) Un’azienda deve verificare una serie di lotti in ingresso. La dimensione dei lotti è pari a 50000 pezzi, in caso di rifiuto i lotti sono ripristinati a carico interamente del fornitore. a. Progettare un piano d’accettazione singolo , considerando AQL (p 1 = 0,001, α = 0,0 5) e LTPD (p 2 = 0,02 , β = 0, 1). b. Progettare un piano a minimo ATI, considerando un valore tipico della frazione di difettosi pari a 0,001 e un LTPD pari a 0,02. c. Per entrambi i piani tracciare (eventualmente nello stesso grafico) le curve OC, AOQ, ATI. Riportarne i valori in corrispo ndenza di p1 e p 2. d. Considerando i valori di AQL ed LTPD, quali conclusioni si possono trarre? QUESITO 4 (PUNTI 6 , TEMPO 25 ’) Si consideri il seguente campione di 15 dati: 5,57 5,28 5,35 5,37 5,41 5,52 5,76 5,42 5,41 5,37 5,53 5,35 5,52 5,35 5,31 Si esegua un test statistico, descrivendo nel dettaglio i passaggi , per verificare l’ipotesi ������0:������= 5,4 contro l’ipotesi ������1:������> 5,4 QUESITO 4 (PUNTI 5 , TEMPO 20 ’) Si dimostri, illustrando dettagliatamente le ipotesi assunte e i passaggi della dimostrazione, che �= 2(1−Φ(3������������� )) SOLUZIONE QUESITO 1 a. Il responsabile della qualità decide di monitorare il processo identificando i difetti in uno spezzone di filo da 50 m ogni ora. Determinare i limiti di controllo di una carta adeguata a monitorare il processo. Poiché viene generato un difetto ogni 20 m, si può desumere anche che, mediamente, per ogni metro di filo prodotto troveremo Questo parametro rappresenta il normale funzionamento del processo. Decidiamo quindi di progettare una carta u (sarebbe possibile e corretto anche utilizzare una carta c). Si ipotizza che il numero di dif etti in un tratto di 50 m si distribuisca secondo una distribuzione di Poisson di parametro . Non avendo indicazioni differenti, ipotizziamo k = 3. La dimensione dell’unità d’ispezione corrisponde in questo caso, alla lunghezza de llo spezzone considerato, ossia 50 m. b. A seguito dell’applicazione della carta, vengono raccolti 10 campioni. Di seguito i difetti rilevati: 0 9 3 7 10 3 8 5 6 11 Plottiamo il grafico, utilizzando i limiti calcolati al punto precedente. 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0 2 4 6 8 10 Carta u u LCS LC LCI= = 1 0,05 diffetti/m 20 u 0,05 50 2,5 un = =  =     = − = − =           == = + + == 0,05 max 0; max 0;0,05 3 0 50 0,05 0,05 0,05 3 04 5 1 0 ,5 LCI u k LC u LCS u n k u n u Si evidenziano molti punti fuori controllo. Questo è probabilmente indice che il dato storico indicato non è valido. Sarebbe opportuno investigare sul buon funzionamento del sistema, per verifi care se si tratta di un problema di errata progettazione della carta o di anomalia nel sistema produttivo. c. Dopo alcuni giorni, il responsabile della qualità sospetta che la carta di controllo non sia sufficientemente reattiva nell’ identificare i problemi del processo . Decide quindi di ispez ionare spezzoni da 100 m. Determinare i nuovi limiti della carta di controllo. L’aumento della lunghezza dello spezzone non altera il valore del numero medio di difetti al metro u. Pertanto, possiamo nuovamente calcolare i limiti di controllo come: d. Determinare il reale valore di ARL(H 0) per ciascuna delle le carte progettate . Commentare il risultato. Come noto, vale la relazione Per il calcolo di , possiamo ricorrere alla relazione ricordando che c, il numero di difetti nell’unità d’ispezione, si distribuisce secondo una distribuzione di Poisson di parametro . Utilizzando le tavole della distribuzione di Poisson, otteniamo: cart a 1 carta 2 nu 2,5 5  0,004247 0,005453092 ARL(H0) 235,4772 183,3822015 Si noti che reali valori di ARL(H 0) sono sempre diversi da quelli di progetto: ciò è dovuto dal fatto che i valori di progetto sono garantiti solo nel caso in chi la variabile controllata si distribuisca secondo una distribuzione normale. NB: l’esercizio può essere risolto anche mediane carta C. Tuttavia, essendo previsto un cambio di dimensione del campione è prefer ibile l’uso della carta U. 0,05 max 0; max 0;0,05 3 0 1 0 00 0,05 0,05 0,0 ,117 53 100 LCI u k L u n u Cu CS u k n L     = − = − =       ==      == = + + ( ) = 0 1 ARL H   ( ) ( ) ( )  = −  − 1 | | P c nLCS u P c nLCI u nu = QUESITO 2 a. Progettare un piano d’accettazione singolo, considerando AQL (p 1 = 0,001, β = 0,05) e LTPD (p 2 = 0,02, β = 0,05). Utilizzando minitab: Generated Plan(s) Sample Size 194 Acceptance Number 1 b. Progettare un piano a minimo ATI, considerando un valore tipico della frazione di difettosi pari a 0,001 e un LTPD pari a 0,02. Dalle tavole di Doge -Romig : Sample Size 335 Acceptance Number 3 c. Per entrambi i piani tracciare (eventualmente nello stesso grafico) le curve OC, AOQ, ATI. Riportarne i valori in corrispondenza di p 1 e p 2. Utilizzando Minitab Compare User Defined Plan(s) Sample Size(n) Acceptance Number(c) Proportion Defective Probability Accepting Probability Rejecting AOQ ATI 194 1 0,001 0,984 0,016 0,00098 1015,2 194 1 0,020 0,098 0,902 0,00196 45096,0 335 3 0,001 1,000 0,000 0,00099 354,7 335 3 0,020 0,097 0,903 0,00192 45206,5 d. Considerando i valori di AQL ed LTPD, quali conclusioni si possono trarre? Essendo stati progettati per lo stesso LTP, i due piani sono abbastanza simile nella zona d’interesse del consumatore. Differiscono invece nella zona d’interesse del fornitore, dato che in quest’area di sono seguiti criteri differenti (rispettivamente un c erto valore di AQL e il minimo ATI). In particolare, il p rimo piano progettato è nettamente più severo. Di conseguenza, tende a rifiutare più di frequente i lotti, il c he comporta un maggiore valore di ATI, come c’era da a spettarsi. A livello di AOQ si not a come sia preferibile il primo piano per bassi valori de lla frazione di difettosi, e il secondo oltre LTPD. Infine, nella zona d’interesse l’ATI del secondo piano è nettamente inferiore , quindi il fornitore preferirà senz’atro questo piano. QUESIT O 3 a. L’ipotesi nulla è già definita nell’esercizio: ������0:������= 5,4, così come l’ipotesi alternativa : ������1:������> 5,4 b. Dovendo eseguire un test sul valore atteso, ed essendo incognita la varianza, possiamo scegliere come statistica test la media campionaria standardizzata con la sua deviazione standard campionaria, essendo not o che la distribuzione di tale statistica test è una t -student a ������−1 gradi di libertà : ������0= ������̅−5,4 � √������ = 1,07 c. In assenza di indicazioni particolari, assumiamo �= 0,05 . d. Non facciamo considerazioni su �. e. La dimensione del campione è già fissata, e pari a 15. f. Determiniamo la regione di accettazione : ������(������0≤ �)= 1−� �= ������������(������−1)= 1,76 g. Confrontando la statistica test con la regione d’accettazione, deduciamo che non vi è evidenza statistica per rifiutare l’ipotesi nulla.