Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

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Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 25 /01 /2018 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (PUNTI 15) La qualità in uscita da un processo di fonderia è monitorata attraverso una carta di controllo sul numero di nonconformità riscontr ate in un'unità di ispezione composta da sei grezzi. Il numero di non conformità rilevate su 20 unità di ispezione prodotte consecutivamente è riportato nella seguente tabella. Camp NC Camp. NC Camp. NC Camp. NC 1 3 6 4 11 2 16 3 2 5 7 5 12 6 17 4 3 2 8 1 13 2 18 2 4 1 9 3 14 1 19 4 5 4 10 0 15 2 20 1 a. Progettare la carta di controllo sul numero di nonconformità per unità di ispezione al fine di ottenere un numero medio di campioni prima di un falso allarme pari a 100 (utilizzare l’approccio tradizionale che sfrutta l’approssimazione normale). b. Calcolare la curva caratteristica operativa OC e riportarne i valori i n corrispondenza di un numero medio di nonconformità per unità di ispezione pari a 2.75 e 5. c. Calcolare l'effettivo valore del numero medio di campioni prima di un falso allarme . d. Calcolare il numero medio di campioni che la carta impiega a segnalare con un fuori controllo un valore medio di nonconformità per unità di ispezione pari a 6. e. Progettare la carta di controllo da usare in futuro se si intende monitorare il numero di nonconformità per grezzo . QUESITO 2 (PUNTI 7) Progettare un piano di campionamento singolo caratterizzato da AOQL = 2%, e minimo ATI in corr ispondenza di un AQL pari allo 0.1% nel caso di ispezione con ripristino. La dimensione del lotto è pari 20000 pezzi. Tracciare le curve OC, AOQ, e ATI e riportar ne il valore in corrispondenza di una frazione di difettosi pari allo 0.1% . QUESITO 3 (PUNTI 5) Le funi prodotte da un certo macchinario hanno una resistenza media alla rottura pari a µ = 1800N con una variabilit à σ = 100N. In seguito ad una modifica nel p rocesso produttivo, si ritiene che la resistenza alla rottura delle funi prodotte sia migliorata. Per verificare tale miglioramento è stato analizzato un campione di n = 50 funi di nuova produzione. La resistenza nuova osservata è stata ������̅ = 1850N. Verific are ad un livello di significativit à α = 0.01 che il vi sia un effettivo miglioramento nella resistenza delle funi. QUESITO 4 (PUNTI 6) Dimostrare, illustrando i passaggi nel dettaglio, che ������(�������|������)= ������(������|�������)������(�������) ∑ ������(������|�������)������(�������) �������=1 SOLUZIONE QUESITO 1 Domanda a Analisi qualitativa dei dati (riportare qualitativamente): Commenti: nessun outlier, trend, ciclicità. Ipotesi per la costruzione della carta di controllo: dati indipendenti e identicamente distribuiti secondo una Poisson di param etro c (da stimare, quindi si assume che i dati siano rappresentativi del processo in una condizione di naturale funzionamento e in regime tecnico). Inoltre, si suppone valida l’approssimazione della distribuzione di Poisson con la distribuzione normale. Carta sul numero di nonconformità per unità di ispezione: carta di tipo c con e k=Z /2 Parametri richiesti dall’esercizio. ARL(0) 100 alpha 0.01 alpha/2 0.005 c c nonconformità nell'unità di ispez ione (6 grez z i) 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ) ,0 max( c k c LCI c LC c k c LCS      Z_alpha/2 2.575835 Limiti di controllo della carta con approccio tradizionale. LCI LC LCS 0 2.75 7.021538 Carta di controllo Commenti: nessun punto fuori controllo. I limiti della carta si assumono validi per il monitoraggio del processo. Domanda b 00 1 : ~Poisson ( ) : ~Poisson ( ) H X c H X c   11 Pr{ | } Pr{ | } X LCS H X LCI H       * il più grande intero * * il più grande intero *   0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 c LCI LC LCS [LCS] 7 -- c beta 0 1 0.25 1 0.5 1 0.75 0.999999 1 0.99999 1.25 0.999951 1.5 0.99983 1.75 0.999532 2 0.998903 2.25 0.997733 2.5 0.995753 ARL(H0) 2.75 0.992653 136.11 3 0.988095 3.25 0.981739 3.5 0.973261 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 c beta 3.75 0.962379 4 0.948866 4.25 0.93257 4.5 0.913414 4.75 0.891404 5 0.866628 5.25 0.839247 5.5 0.809485 5.75 0.777623 ARL1(c=6) 6 0.74398 3.905941 6.25 0.708904 Domanda c Si ricava direttamente dalla curva OC: in corrispondenza di =2.75 Domanda d Si ricava direttamente dalla curva OC: in corrispondenza di c=6, Domanda e Noto , con n=6, k=Z /2 si applica ottenendo: LCI LC LCS 0 0.458333 1.170256 c c    1 ) 1/(1 1   ARL c n c u           nu k u LCI u LC nu k u LCS ,0 max QUESITO 2 Dalle tavole di Dodge -Romig ricaviamo che il piano deve avere n = 70 e Ac = 2. Calcoliamo le curve: Percent Probability Probability Defective Accepting Rejecting AOQ ATI 0,1 1,000 0,000 0,100 71,0 QUESITO 3 L’effetto del nuovo processo produttivo è positivo se si traduce in un aumento della resistenza media alla rottura delle funi prodotte. Formalmente, ������0: ������= 1800 N ������1: ������> 1800 N Il test è unidirezionale, si è interessati a che la statistica test costruita in base alla media osservata. In particolare la statistica di interesse ������0= ������̅−������������√������ = 3.55 Per verificare se l’ipotesi nulla sia da rifiutare o meno è necessario confrontare il valore della statistica osservata con il valore critico ������������= 2.33 . Poiché 3.55 > 2.33, si rifiuta l’ipotesi nulla e si può concludere che il nuovo processo produttivo abbia effetto sulla resistenza delle funi.