Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

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Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 16 /02/2018 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • In caso di non normalità dei dati, utilizzare solo la radice cubica come eventuale funzione di trasformazione dei dati • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (PUNTI 16) In un’azienda che eroga servizi di manutenzione tecnica, si decide di monitorare i tempi che intercorrono tra la richiesta di un cliente presso il call -center e termine dell’intervento. Si raccolgono i dati (in ore) degli ultimi 30 interventi (rappresentativi del processo in una condizione naturale di regime tecnico). 1 1.91 11 2.5 21 9.58 2 9.82 12 2.11 22 12.33 3 21.17 13 2.57 23 6.66 4 11.89 14 11.34 24 8.47 5 36.21 15 4.91 25 3.31 6 3.22 16 29.84 26 35.64 7 2.29 17 1.21 27 15.02 8 12.92 18 3.65 28 6.03 9 10.72 19 7.69 29 8.16 10 1.91 20 28.33 30 4.61 a. Costruire la carta di controllo più adeguata per il processo. b. Se il tempo massimo stabilito dalla direzione per la chiusura di un intervento non deve eccedere le 48 ore, calcolare il PCR del processo . c. Determinare il limite di tolleranza naturale tale per cui il 90% della popolazione sia inferiore a questo limite con probabilità 95%. Come si modifica il limite considerando la distribuzione di partenza dei dati? QUESITO 2 (PUNTI 7) La qualità di un componente acquistato da un fornitore sarà monitorato mediante piano d’ispezione a singolo livello; i pezzi da considerare sono acquistati in lotti da 200000 pezzi. a. Progettare, secondo le norme MIL STD 105D, i piani d’ispezione normale, rinforzato e ridott o. Si ipotizzi rischio normale e AQL pari allo 0.1%. b. Per la il piano d’ispezione rinforzato, tracciare le curve OC, AOQ, ATI. Riportare i valori di tali curve per p=0.2% e p=1%, ipotizzando ispezione con ripristino. QUESITO 3 (PUNTI 5) Un dado viene lan ciato 3 volte. Qual è la probabilità p di ottenere 6 almeno una volta? Quante volte deve essere lanciato il dado perché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore del 90%? QUESITO 4 (PUNTI 5) Si dimostri, illustrando ipotesi assunte e passaggi della dimostrazione, che ������= 2(1−Φ(3������������������ )) SOLUZIONE QUESITO 1 Si procede con l’analisi dei dati attraverso l’uso di una carta di controllo. Plot dei dati Da una prima osservazione appare evidente che i dati non si possono ritenere rappresentativi di un processo con osservazioni normalmente distribuite. Inoltre, non avendo cause assegnabili per ipotesi, è plausibile che l’andamento sia dovuto ad una distribuzione non normale dei dati. Ipotesi Processo a regime tecnico. Dati indipendenti e identicamente distribuiti in modo normale. A2 A*2 2.165554 2.225106  0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 A2*  0.472 0.509 0.561 0.631 0.752 0.873 1.035 1.159 Si può rifiutare l’ipotesi di normalità. Ricerchiamo una trasformazione che permetta di ottenere dati normalmente distribuiti. Come indicato nella traccia si decide di utilizzare la radice cubica. Il risultato del test di AD è riportato di seguito. Originali 0 5 10 15 20 25 30 35 40 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Originali A2 A*2 0.48662 0.500002 In questo caso non si può rifiutare l’ipotesi nulla di normalità. Si procede, quindi, considerando rappresentativi del processo le radici cubiche dei tempi di servizio. ro_k Test di Bartlett 0.168531 -0.03077 ro_k/RADQ(1/n) Non si può rifiutare l’ipotesi di assenza di autocorrelazione (lag 1) nei dati. N.B. Il test di Bartlett vale sotto l’ipotesi di dati normalmente distribuiti, pertanto può essere applicato solo dopo la trasformazione dei dati. Carta I LCI LC LCS 0.16 2.03 3.89 CARTA MR LCI LC LCS 0 0.70 2.29 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Dati LCI LC LCS Il processo appare essere in controllo. LSS 48 3.634241186 PCR 0.86 Considerando che il limite di specifica superiore è pari a 48 ore, il PCRs è pari a 0.86. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Range Mob LCI LC LCS I limiti di specifica sono monolaterali. 1.778 3.131 30.68 Limite di tolleranza naturale superiore è pari a 3.131. Trasformando nella scala dei tempi originali il limite di tolleranza naturale che include il 90% dei tempi con probabilità del 95% è pari a 30.68 ore. Utilizzando la distribuzione originale (non normale) potremmo usare solo un approccio non parametrico. Prelevando un campione di almeno campione e considerandone il valore massimo.  3 3.131 3.131 30.68 ST S L X kS L         log 1 29 log 1 n      Con i dati del problema potremo stimare un limite di tolleranza naturale che include il 90% dei tempi con probabilità del 95% pari a circa 36.21 ore (massima osservazione del campione di 30). QUESITO 2 Nota la dimensione del lotto e il livelli di rischio, si sceglie un piano di codice P. I piani progettati sono quindi i seguenti: Piano normale Piano rinforzato Piano ridotto n 800 n 800 n 315 Ac 2 Ac 1 Ac 1 Re 3 Re 2 Re 3 Considerando i valori di Ac ed Re del piano rinforzato, la dimensione del campione, e la dimensione dei lotti, possono essere tracciate le seguenti curve: p OC AOQ ATI 0.002 0.524737 0.001045 95472.4 0.01 0.002926 2.91E -05 199417.1 QUESITO 3 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 OC 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 AOQ 0 50000 100000 150000 200000 250000 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 ATI Indichiamo con ������������,������= 1,2,3 l’evento “lo i -esimo lancio ha dato 6”; è chiaro che ������(������������)= 1 6 e gli eventi sono indipendenti. Ci viene chiesto di calcolare ������(������1∪������2∪������3), ma gli eventi non sono disgiunti. Possiamo sfruttare il fatto che gli eventi complementari sono indipendenti, e pertanto usare la formula ������(������1∪������2∪������3)= 1−������( (������1∪������2∪������3)������)= 1−������( ������1������∩������2������∩������3������)= 1−������( ������1������)������( ������2������)������( ������3������)= 1−(5 6) 3 = = 0,42 Estendendo il ragionamento , per n lanci la probabilità di ottenere almeno un 6 è 1−(5 6)������. Da questo, per avere il 90% di probabilità, 1−(5 6) ������ > 0,9 0,1> (5 6) ������ 0,1> ������������(ln5−ln6) ������> ln0,1 ln5−ln6= 12 ,62