Ingegneria Meccanica - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

Full exam

Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 12 /07/2018 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • In caso si riscontrino fuori controllo nell’applicazione di carte di controllo , ipotizzare l’assenza di cause assegnabili. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (PUNTI 10 ) Si vuole costruire una carta di controllo per la verifica di componenti in materiale plastico per uso automobilistico. Il direttore della produzione afferma che, secondo la sua esperienza, il processo genera un pezzo difettoso ogni 1000 componenti prodotti. Vengon o controllati campioni da 50 componenti. a. Considerando valide le ipotesi del direttore di produzione, progettare una carta di controllo caratterizzata da ARL 0 pari a 200. A valle della fase di progettazione condotta al punto a), vengono raccolti e controlla ti 30 campioni di 50 componenti. Il numero di componenti difettosi osservati nei vari campioni è riportato nella tabella sottostante. Campione Difettosi Campione Difettosi Campione Difettosi 1 0 11 0 21 0 2 4 12 1 22 0 3 0 13 1 23 0 4 0 14 0 24 0 5 0 15 1 25 0 6 1 16 0 26 1 7 2 17 1 27 0 8 1 18 1 28 0 9 1 19 0 29 0 10 1 20 0 30 5 b. Come si comporta la carta di controllo progettata al punto a) in relazione a questi dati? Valutare, se la carta progettata al punto a) è adeguata a monitorare la difettosità in uscita dal processo. Riprogettare la carta se necessario. c. Calcolare la dimensione minima del campione affinché il limite di controllo inferiore sia diverso da zero (utilizzando l’approssimazione normale). QUESITO 2 (PUNTI 10 ) Una ditta acq uista viti di precisione in lotto da 10000 pezzi, e intende controllarne la conformità mediante piano d’accettazione. Si richiedono AQL=1% ( =5%) e LTPD=5% ( =10%). a. Progettare il di campionamento doppio (con n 1=n 2, allo scopo di garantire ) che soddisfi tali vincoli. b. Nel caso di ispezione con ripristino , tracciare le curve AOQ, OC, ASN e ATI, riportandone il valore nel caso di una reale frazione di difettosi pari rispettivamente allo 1% e al 5%. Qual è il significato dei valori della curva OC appena ripor tati? QUESITO 3 (PUNTI 7) Per ������> 0, ������> 0 consideriamo la funzione ������(������)= {�������−(������+1) ������> ������ 0 ������≤ ������ a. Determinare � in modo che ������ sia una densità . b. Sia ������ una variabile aleatoria di densità ������. Per quali valori di ������ ������ ha valore atteso finito? Per quali valori di ������ ������ ha varianza finita? QUESITO 4 (PUNTI 6) Definire cosa si intende per variabile ale atoria di Bernoulli e per variabile aleatoria binomiale. Se ������∼������(������,������) è una variabile aleatoria binomiale , dimostrare, illustrando ipotesi assunte , passaggi della dimo strazione e proprietà applicate , che ������(������)= ������������ ������������������ (������)= ������������ (1−������) SOLUZIONE QUESITO 1 a) Si tratta di un caso in cui vengono forniti i dati storici, pertanto, ad essi applichiamo immediatamente le formule note con: arl(0) 200 n 50 alpha 0.005 p 0.001 K= Zalpha/2 2.807064 b) Data snooping: non si evidenziano trend, ciclicità o altre anomalie. Si ipotizza che il processo sia a regime e privo di correlazione temporale. La carta di controllo si presenta nel modo seguente: 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 20 25 30 35 Data Snooping(1 ) 0.0135 0.001 (1 ) max 0, 0 pp LCS p K n LC p pp LCI p K n − = + = ==  − = − =  è evidente un grande numero di fuori controllo, il che ci fa sorgere il legittimo dubbio che le affermazioni del direttore della produzione non abbiano fondamento. Abbiamo pertanto due possibilità: o il sistema è profondamente fuori controllo, oppure le affe rmazioni del direttore della produzione sono prive di fondamento. Ritenendo vera la seconda ipotesi, si ritiene pertanto opportuno progettare una nuova carta di controllo in base ai nuovi dati campionati. Verifichiamo quindi che il valore medio di p dai da ti campionati è pari a 0.014 si evidenziano due fuori controllo, al secondo e all’ultimo campione. Nel caso non si ipotizzino cause assegnabili per questi fuori controllo, la progettazione termina qui . c) Utilizzando la formula 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0 5 10 15 20 25 30 35 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0 5 10 15 20 25 30 35(1 ) 0.061 0.014 (1 ) max 0, 0 pp LCS p K n LC p pp LCI p K n − = + = ==  − = − =  2 (1 ) 911.38 912 pK n p −  = → QUESITO 2 a. Utilizzando il nomogramma binomiale, possiamo calcolare i corretti valori per il piano singolo. In particolare, otteniamo n=140 e Ac=4 (prospettiva consumatore). Nel caso di piano doppio, si utilizzino le tavole di Grubb s: il rapporto delle probabilità è 5, quindi ci orientiamo sul piano 5 (Ac 1=2 Ac 2=4); poiché ci suggerisce che sia p 2n1=5.39, otteniamo n 1=n 2=108. In generale, l’utilizzo di piani doppi riduce la dimensione media del campione ispezionato. b. Le curve r ichieste sono di seguito riportate. OC AOQ ATI ASN 0.01 0.961882 0.009509 491.168 117.7101 0.05 0.092825 0.004589 9082.179 138.0704 I valori riportati della curva OC altro non sono che i valori reali di 1 - e  rispettivamente. QUESITO 3 a. ∫ ������(������)������� = +∞ −∞ �∫ ������−(������+1)������� +∞ ������ = � ������������������= 1 Da cui �= ������������������. b. ������ ha valore atteso finite se e solo se converge ∫ ������⋅������−(������+1) +∞ ������ ������� = ∫ ������−������ ������� +∞ ������ Ossia se ������> 1. Analogamente per la varianza ∫ ������2⋅������−(������+1) +∞ ������ ������� = ∫ ������−������+1 ������� +∞ ������ Ossia se ������> 2. 00,20,40,60,811,2 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 OC 00,0020,0040,0060,0080,010,0120,0140,016 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 AOQ 020004000600080001000012000 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 ATI 020406080100120140160 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 ASN