Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

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Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 19 /02/201 9 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (PUNTI 12) In un’azienda si decide di introdurre l’uso di una carta di controllo per monitorare il numero di non conformità in alcuni componen ti prodotti. Il numero di difetti presenti su ogni prodotto (non conformità) di 30 campioni prelevati casualmente sono riportati nella seguente tabella. Campione NC Campione NC Campione NC 1 14 11 22 21 18 2 7 12 17 22 11 3 15 13 12 23 16 4 15 14 16 24 16 5 20 15 18 25 15 6 14 16 21 26 11 7 16 17 15 27 15 8 9 18 12 28 16 9 12 19 14 29 18 10 12 20 18 30 16 a. Determinare i limiti della carta di controllo al fine di ottenere un ARL in controllo pari a 300. Utilizzare l’approccio tradizionale che sfrutta l’approssimazione normale. b. Tracciare la curva caratteristica operativa per la carta ottenuta al punto precedente e riportare i valori in corrispondenza di un numero di non con formità pari a 0, 10, 20 e 30. c. Qual è la probabilità di osservare un allarme esattamente al terzo campione successivo se sia ha un aumento del numero medio di non conformità pari al 50%? QUESITO 2 (PUNTI 7) Progettare un piano di campionamento singolo caratterizzato da AQL = 0 ,1%, α = 1%, e LTPD = 1%, β = 2%. Calcolare le curve OC, AOQ, ATI (si consideri una dimensione del lotto pari a 100000 pezzi) . Riportar ne i valori per p = 0,1%, 1%. Determinare il valore di AOQL. QUESITO 3 (PUNTI 8) La statura delle donne adulte negli Stati Uniti è di stribuita come una distribuzione aleatoria normale con media 162 cm e deviazione standard 22 cm. a. Sapendo che Alice è alta 180 cm, che percentuale della popolazione femminile adulta è più bassa di lei? b. Calcolare la probabilità che la media aritmetica della statura di due donne scelte a caso sia superiore a 170 cm. c. Trovare la distribuzione della statistica del punto precedente nel caso di n donne (riportare i passaggi per il calcolo di media e varianza). QUESITO 4 (PUNTI 6) Dimostrare, illustrando i passaggi nel dettaglio, che ������(⋂ ������������ ������ ������=1 )= ������(������1)⋅������(������2|������1)⋅������(������3|������1∩������2)⋅…⋅������(������������|⋂ ������������ ������−1 ������=1 ) SOLUZIONE QUESITO 1 a. Data snooping Non si osservano comportamenti non casuali ARL0 300 alpha 0.003333 k 2.935199 LCL 3.652731 CL 15.03333 UCL 26.41394 0 5 10 15 20 25 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 NC 0 5 10 15 20 25 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 NC LCL CL UCL b. c beta 0 0 1 0.018988 2 0.142877 3 0.352768 4 0.56653 5 0.734974 6 0.848796 7 0.918235 8 0.95762 9 0.978773 10 0.989658 11 0.995051 12 0.997575 13 0.998498 14 0.998217 15 0.996477 16 0.992448 17 0.984785 18 0.971749 19 0.951435 20 0.92211 21 0.882564 22 0.83242 23 0.772301 24 0.703819 25 0.629386 26 0.551904 27 0.474403 28 0.399695 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 2 4 6 810 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 beta 29 0.330111 30 0.267337 31 0.212372 32 0.165571 33 0.126751 34 0.095334 35 0.07049 36 0.051269 37 0.036701 38 0.025874 39 0.017974 40 0.012311 c. c_new 22.55 beta 0.800469 P 0.12785 QUESITO 2 Utilizzando Minitab, otteniamo Acceptance Sampling by Attributes Measurement type: Go/no go Lot quality in percent defective Lot size: 100000 Use binomial distribution to calculate probability of acceptance Method Acceptable Quality Level (AQL) 0,1 Producer’s Risk (α) 0,01 Rejectable Quality Level (RQL or LTPD) 1 Consumer’s Risk (β) 0,02 Generated Plan(s) Sample Size 1055 Acceptance Number 4 Accept lot if defective items in 1055 sampled ≤ 4; Otherwise reject. Percent Defective Probability Accepting Probability Rejecting AOQ ATI 0,1 0,995 0,005 0,098 1505,0 1,0 0,020 0,980 0,020 98024,5 Average Outgoing Quality Limit(s) (AOQL) AOQL At Percent Defective 0,239 0,345 QUESITO 3 a. ������(������≤ 180 |������∼������(180 ,22 2))= 0,793 b. Ipotizzando indipendenza tra le due v.a. c. Ipotizzando indipendenza tra le v.a. ( ) ( ) 2 1 2 2 2 12 162, 22 162, 22 22 162, 242 22 Pr 0.304 XN XN XX YN  + ==  = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 11 1 1 162 1 1 22 484 n i i n i i nn ii ii XX n E X E X n Var X Var X Var X n n n n = = == = ==  = = = =    