Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

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Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 13 /09/2018 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • In caso si riscontrino fuori controllo nell’applicazione di carte di controllo , ipotizzare l’assenza di cause assegnabili. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (1 4 PUNTI) Una ditta produce componenti nautici. In particolare, produce piastre forate di grandi dimensioni i cui fori hanno una dimensione critica 350H9 (LSS=350.140 mm, LSI=350 mm). È ben noto che il processo produttivo utilizzato realizza pezzi con questa dimensione distribuita secondo una normale di media pari a 350.07 mm e deviazione standard di 0.02 mm. Il processo verrà monitorato utilizzando un sistema CMM, che fornisce la misura esatta del diametro del foro. a. Si calcolino PCR, PCR k, PCR km e frazione attesa di dif ettosi per il processo in esame. b. Progettare la carta con dimensione del campione pari a 5. c. Per la carta progettata al punto b), si tracci la curva caratteristica operativa in funzione di  (rapporto tra la variazione della media e la deviazione standard del processo), ipotizzando costante il valore della deviazione standard. Si riportino i valori della curv a e di ARL 1 per =0.5 e =1.5 d. Nel caso il controllo fosse effettuato, anziché con CMM, con calibro passa - non passa, sulla base della frazione di difettosi calcolata al punto a) progettare la carta p (dimensione del campione pari a 100 pezzi). QUESITO 2 (9 PUNTI) La qualità di un componente acquistato da un fornitore sarà monitorata mediante piano d’ispezione a singolo livello; i pezzi da considerare sono acquistati in lotti da 200000 pezzi. a. Progettare, secondo le norme MIL STD 105D, i piani d’ispezione n ormale, rinforzato e ridotto. Si ipotizzi rischio normale e AQL pari allo 0.1%. b. Per la il piano d’ispezione rinforzato, tracciare le curve OC, AOQ, ATI. Riportare i valori di tali curve per p=0.2% e p=1%, ipotizzando ispezione con ripristino. c. La seguente t abella riporta il numero di difettosi rilevati in trenta campioni consecutivi. Sulla base del piano d’ispezione progettato al punto a , e ipotizzando che la produzione sia stabile e di avere il benestare del responsabile per un eventuale passaggio a piano d’ispezione ridotto, indicare per ogni lotto quale piano è stato applicato, la dimensione del campione, se il lotto è stato accettato o rifiutato, ed eventuali switching rules applicate . Si ipotizzi di partire da un piano normale. XS − X campione Difettosi campione Difettosi campione Difettosi 1 1 11 2 21 3 2 3 12 0 22 1 3 2 13 1 23 5 4 1 14 0 24 1 5 0 15 2 25 0 6 2 16 4 26 1 7 1 17 1 27 1 8 2 18 0 28 0 9 0 19 2 29 1 10 1 20 1 30 1 QUESITO 3 ( 5 PUNTI) La distribuzione dei pesi dei pesi di pacchetti di caramelle, in grammi, ha una distribuzione normale con deviazione standard pari a 7. Per stimare il peso medio si estrae un campione di 10 pacchetti ottenendo i pesi seguenti: 170, 180, 172, 171, 183, 181, 175, 178, 185, 184 Si costruisca un intervallo di confidenza al 90 % per il valore atteso . QUESITO 4 (5 PUNTI) Si costruisca la regione di accettazione e rifiuto per il test statistico d’ipotesi (sul valore atteso di una variabile aleatore che segue la distribuzione normale, not a la varianza) : ������0:������= ������0 ������1:������> ������0 QUESITO 1 Con le note formule, i valori richiesti risultano PCR 1.166666667 PCRk 1.166666667 PCRkm 1.166666667 L’eguaglianza di tutti i vari indici era prevedibile, essendo il processo centrato, pertanto sarebbe stato sufficiente calcolare il solo PCR come Riguardo la frazione di difettosi, essa risulta Lo stesso risultato può essere ottenuto con la formula Carte di controllo richieste: Carta X Carta S Carta p 6 LSS LSI PCR  − = -4 1 4.65*10 USL LSL     −  −     = −  +  =           ( ) 2 1 3PCR = −   2 00 0 2 00 3 350.097 350.07 3 350.044 LCS n LC LCI n    = + = == = − = 2 4 0 0 4 6 0 40 2 4 0 0 4 5 0 ( ) 3 ( ) c 3 1 ( ) ( ) 0.03928 ( ) c 0.02 ( ) 3 ( ) c 3 1 ( ) ( ) 0 LCS E S V S c n B n LC E S LCI E S V S c n B n        =+ = + − = = = = = =− = − − = = Si noti che la carta p appena progettata dà fuoricontrollo in presenza anche di un solo pezzo non conforme nel campione, cosa in generale sconsigliabile. Si riporta l a curve OC.  OC(X) ARL(1)(X) 0.5 0.970061 33.40078 1.5 0.361631 1.566493 QUESITO 2 Si sceglie un piano di tipo P. I piani progettati sono i seguenti: Piano normale Piano rinforzato Piano ridotto n 800 n 800 n 315 Ac 2 Ac 1 Ac 1 Re 3 Re 2 Re 3 Considerando i valori di Ac ed Re del piano rinforzato, la dimensione del campione, e la dimensione dei lotti, possono essere tracciate le seguenti curve: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 OC(X) OC(X)(1 ) 0.00693 0.000465 (1 ) max 0, 0 pp LCS p k n LC p pp LCI p k n − = + = ==  − = − =  p OC AOQ ATI 0.002 0.524737 0.001045 95472.4 0.01 0.002926 2.91E -05 199417.1 campione Difettosi Dim campione Tipo piano accetta? Switching rules 1 1 800 normale accettato 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 OC 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 AOQ 0 50000 100000 150000 200000 250000 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 ATI 2 3 800 normale rifiutato 3 2 800 normale accettato 4 1 800 normale accettato 5 0 800 normale accettato 6 2 800 normale accettato 7 1 800 normale accettato 8 2 800 normale accettato 9 0 800 normale accettato 10 1 800 normale accettato 11 2 800 normale accettato 12 0 800 normale accettato 13 1 315 ridotto accettato 10 lotti consecutivi accettati 14 0 315 ridotto accettato 15 2 315 ridotto accettato 16 4 800 normale rifiutato 1 lotto con n. difettosi oltre Ac 17 1 800 normale accettato 18 0 800 normale accettato 19 2 800 normale accettato 20 1 800 normale accettato 21 3 800 normale rifiutato 22 1 800 normale accettato 23 5 800 normale rifiutato 24 1 800 Rinforzato accettato 2 lotti rifiutati in 5 lotti consecutivi 25 0 800 Rinforzato accettato 26 1 800 Rinforzato accettato 27 1 800 Rinforzato accettato 28 0 800 Rinforzato accettato 29 1 800 normale accettato cinque lotti consecutivi accettati 30 1 800 normale accettato QUESITO 3 Per costruire un intervallo di confidenza al livello 1 -α è necessario determinare quel valore z α/2 tale che la probabilità che z assuma valore nell’intervallo ( -zα/2 ; zα/2 ) sia uguale a 1 -α, per cui avremo P( -zα/2 ≤ z ≤ zα/2 ) =0,90. La funzione di ripartizione di una v.c. Normale standardizzata in zα/2 vale 1 -α/2, cioè φ( zα/2 )= 1 -α/2. Nel nostro caso α= 0,10, per cui α/2= 0,05. Il valore zα/2 è tale che φ(0,05)= 1 -0,05=0,95 e dalle tavole risulta che z0,05 = 1,645. Di conseguenza lo stimatore per l’intervallo è {������̅− ������������2������ √������;������̅+ ������������2������ √������}= {174 ,26 ;181 ,54 }