Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

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Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 11 /07/201 9 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (PUNTI 1 2) Di seguito sono riportati i valori di media e range relativi a 20 campioni di numerosità 5. I dati sono relativi alla lunghezza del supporto prodotto mediante asportazione di truciolo. Le misure sono riportate in mm. i Xmed i Ri i Xmed i Ri 1 21,265 0,254 11 21,285 0,152 2 21,143 0,229 12 21,138 0,051 3 21,128 0,203 13 21,224 0,330 4 21,194 0,102 14 21,138 0,127 5 21,199 0,127 15 21,092 0,203 6 21,163 0,279 16 21,265 0,279 7 21,184 0,229 17 21,036 0,152 8 21,194 0,076 18 21,199 0,127 9 21,102 0,051 19 21,234 0,102 10 21,209 0,152 20 21,270 0,152 a. Si decide di usare i primi 10 campioni per la progettazione di un sistema di controllo e i rimanenti 10 campioni per il vero e proprio controllo qualità on -line. Seguire queste indicazioni per verificare se il processo è in controllo. Si ipotizzi la presenza di cause assegnabili in caso di fuori contr ollo. b. Dopo un certo tempo di utilizzo della carta, si decide di passare a una carta I -MR. Progettare il sistema di controllo che si dovrà adottare in futuro se n=1. c. Posto che i limiti di specifica sono pari a 20,828 -21,336 mm, calcolare la percentuale attesa di non conformi. Potrebbe questa percentuale essere significativamente ridotta cambiando la media di processo? Di quanto? QUESITO 2 (PUNTI 8) Si consideri un piano d’ispezione singolo con Ac = 8, n = 400 , N = 12000. a. Tracciare le curve ATI, AOQ, OC . Riportarne il valore per una difettosità pari allo 0,1%. Determinare il valore di AOQL . b. Quanto valgono AQL ed LTP, se essi sono considerati in riferimento a α = 5% e β = 10%? QUESITO 3 (PUNTI 6) Determinare la probabilità che in una famiglia con 4 figli ci sia a. almeno un maschio . b. almeno un maschio e una femmina. c. Su 2000 famiglie con 4 figli ciascuna, quante famiglie hanno in media almeno un figlio maschio? E quante famiglie hanno in media due maschi? Si supponga che le probabilità di nascita di un maschio e di una femmina siano uguali. QUESITO 4 (PUNTI 7) Si consideri un campione di n valori, distribuiti secondo una gaussiana di varianza incognita. Si costruisca un intervallo di confidenza per la varianza campionaria del tipo �(������2∈[�,�])= 1−������ Illustrare e commentare nel dettaglio i passaggi che portano alla definizione dell’intervallo . NB: ai fini della valutazione, riportare la formula dell’intervallo senza alcuna indicazione di come essa sia stata ricavata vale 0 punti. SOLUZIONE QUESITO 1 Da un data snooping iniziale non si osservano andamenti anomali. Carta di controllo Xbar_R: Costanti usate (con k=3, si possono usare le costanti) costanti A2 0.577 D3 0 D4 2.114 d2 2.326 d3 0.864 Solo sui primi dieci campioni stimiamo media delle medie e media dei range: Xbarmed Rmed medie 21,178 0,170 carta Xbar carta R LCI LC LCS LCI LC LCS 21,080 21,178 21,276 0,000 0,170 0,360 Nessuno dei primi dieci campioni risulta fuori controllo. Le carte possono essere usate sui successivi dieci campioni per verificare se il sistema si mantiene in controllo. Si ottiene: La carta Xbar ha due fuori controllo al campione 11 e 17 ma questi campioni non condizionan o il calcolo dei limiti (basati sui primi 10 campioni) per cui la carta non deve essere riprogettata. b) con n=1 occorre passare ad una carta I -MR. Stimiamo media e varianza (sulla base dei vecchi dati con campioni di dimensione 5) stimatori mu sigma 21,178 0,073 E quindi possiamo usare le seguenti formule per il calcolo dei limiti: 20.9 20.95 21 21.05 21.1 21.15 21.2 21.25 21.3 21.35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Xmedi LCI LC LCS 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ri LCI LC LCS carta I carta MR LCI LC LCS LCI LC LCS 20,959 21,178 21,398 0,000 0,083 0,270 NB: l’approccio è analogo a quello visto a lezione (con costanti sintetiche per il cambio di n in carta Xbar -R) d) 20,828 21,336 gamma (LSS -mu)/sigma (LSI -mu)/sigma gamma_s gamma_i gamma 2,158 -4,785 0,015 0,000 0,015 la cosa migliore per ridurre la difettosità sarebbe riuscire a posizionare la media in mezzeria rispetto all'intervallo di specifica, cioè in (LSS+LSI)/2 mu 21,082 gamma (LSS - mu)/sigma (LSI -mu)/sigma gamma_s gamma_i gamma 3,471 -3,471 0,000 0,000 0,00 05 La difettosità passerebbe da 1.5% a 0. 05 % QUESITO 2 Consideriamo le curve: 23 23 23 2 carta I ˆˆ ˆ ˆˆ carta MR ˆ (2) ˆ (2) ˆ (2) ˆ (2) max(0; ˆ (2) ˆ (2)) ˆ (5) LCS k LC LCI k LCS d k d LC d k d LCI d k d R con d        =+ = =− =+ =+ =− = �� = �(������≤ 5|������,������) �������� = �������� �−������ � ������������������ = �������� +(1−�� )� Percent Defective Probability Accepting Probability Rejecting AOQ ATI 0,1 1,000 0,000 0,097 400,0 Average Outgoing Quality Limit(s) (AOQL) AOQL At Percent Defective 0,766 1,086 Graphs - Acceptance Sampling by Attributes Riguardo il secondo punto, può essere risolto utilizzando il nomogramma binomiale “al contrario”. Si ricava AQL = 1,2%, LTPD = 3,4% (Circa) . Allo stesso risultato è possibile arrivare calcolando la curva caratteristica operativa, ed identificando i valo ri più prossimi a quelli richiesti. QUESITO 3