Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

Full exam

Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 28 /08/201 9 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sul foglio di protocollo: Nome, Cognome, Matricola, Codice Tema; • Non è consentito utilizzare libri o dispense; • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • Svolgimento 1h30 QUESITO 1 (PUNTI 1 2) Una società di consegna postale promette ai suoi clienti una consegna tempestiva. Per tale ragione vuole monitorare l’effettiva pun tualità delle consegne effettuate in un periodo di 20 giorni. Di seguito sono riportati i dati relativi al numero di pacchi consegnati in ritardo, considerando un campione di numerosità pari a 130 pacchi. giorno pacchi consegnati in ritardo giorno pacchi consegnati in ritardo giorno pacchi consegnati in ritardo giorno pacchi consegnati in ritardo 1 4 6 2 11 2 16 4 2 5 7 4 12 3 17 3 3 5 8 4 13 5 18 7 4 8 9 8 14 6 19 4 5 15 10 6 15 4 20 5 a. Progettare la carta di controllo per la proporzione di pacchi consegnati in ritardo . In caso di fuori controllo, ipotizzare la presenza di cause assegnabili. b. Calcolare la curva caratteristica operativa in corrispondenza di p=0.02 e p=0.1. Tracciare la curva OC. c. Con riferimento all’ultima carta progettata calcolare la dimensione del campione che si deve adottare in futuro se si vuole osservare un numero di difettosi nel campione diverso da zero con probabilità maggiore del 90%. d. Calcolare la dimensione del campione che occorre ado ttare qualora si intenda avere un limite di controllo inferiore maggiore di zero. QUESITO 2 (PUNTI 10 ) Progettare un piano d’ispezione secondo le norme MIL STD 105 D, per lotti di dimensioni pari a 120000 pezzi, AQL pari all’1, 5%, livello d’ispezione II , e ispezione normale, ridott a o rinforzat a. Per un piano con ispezione normale, c alcolare le curve OC, ATI, A OQ per una frazione di difettosi pari all’1, 5%. Calcolare il valore di AOQL. Nei primi venti lotti verificati, si ottengono rilevano i seguenti numeri di non conformi. Ipotizzando di inizi are da ispezione normale, p er ogni lotto si in dichi dimensione del campione, piano utilizzato (normale, ridotto o rinforzato) , se il lotto viene accettato o meno, ed eventuali switching rules applicate. Lotto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 difettosi 11 0 4 2 6 7 2 5 7 14 Lotto 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 difettosi 10 4 5 25 6 3 7 15 4 6 QUESITO 3 (PUNTI 6) Si consideri un campione casuale di 4 unità indipendenti estratte da una popolazione di valore atteso ������ e varianza pari a 1 . Si considerino i seguenti stimatori del valore atteso della popolazione: ������1= 1 2������1+1 8������2+1 4������3+1 8������4 ������2= 1 2 ������̅= 1 8 ∑ ������������ 4 ������=1 a. Se verifichi se gli stimatori proposti sono corretti (non distorti) . b. Si calcoli la varianza di tali stimatori. QUESITO 4 (PUNTI 5) Dimostrare che �(�∪�)= �(�)+�(�)−�(�∩�) SOLUZIONE QUESITO 1 a) Analisi qualitativa dei dati Plot del numero di pacchi consegnati in ritardo. Analogamente si possono analizzare le proporzioni dei pacchi consegnati in ritardo. Non si evidenziano trend o ciclicità; si evidenzia un’osservazione che sembra essere anomala rispetto alle altre. Progettazione della carta di controllo FORMULE di CALCOLO n p p K p LCS ) ( − + = 1 )) ( , max( n p p K p LCI − − = 1 0 D_i 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 p_i 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 p_i p LC = (n costante) RISULTATI NUMERICI LCI 0 LC 0,04 LCS 0,09156 La carta segnala la presenza di un outlier. Ipotizzando una causa assegnabile per l’osservazione 5, che appare fuori controllo, si procede con la riprogettazione della carta. LCI 0 LC 0,036032 LCS 0,08507 m p nm D p m i i m i i   = = = = 1 1 n D p i i= carta p 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Nessun punto fuori controllo. La fase di progettazione può ritenersi conclusa e la carta essere usata per i campioni futuri. b) Calcolare la curva caratteristica operativa (usando la distribuzione reale) in co rrispondenza di p=0.02 e p=0.1 La soluzione è: Il secondo termine è nullo (LCI=0) e sostituend o il valore di LCS= 0,08507 la relazione risolutiva diventa: ) Pr( p D 11 = carta p 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 curva OC 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3      1 1 H LCIn D H LCSn D | Pr | Pr   −  = · · p OC 0 1 0,01 0,99999999 0,02 0,999986694 0,03 0,999421014 0,04 0,99385862 0,05 0,969842071 0,06 0,908585773 0,07 0,800169887 0,08 0,653562916 0,09 0,492437143 0,1 0,342371336 0,11 0,220382607 0,12 0,13194613 0,13 0,073838803 0,14 0,038804222 0,15 0,019232403 0,16 0,009023804 0,17 0,004021403 0,18 0,001706995 0,19 0,000691851 0,2 0,0002683 0,21 9,97301E -05 0,22 3,55857E -05 0,23 1,22042E -05 c) Calcolare la dimensione del campione che si deve adottare in futuro se si vuole osservare un numero di difettosi nel campione diverso da zero con probabilità maggiore del 90%. d) Calcolare la dimensione del campione che occorre adottare qualora si intenda avere un limite di controllo inferiore maggiore di zero. LCI > 0 >0 > LCI > 0 n 240,7753 241 QUESITO 2 Per una dimensione del lotto pari a 120000 e un livello d’ispezione II si deve scegliere un piano di codice N, cui corrispondono , per �������� = 1,5% Normale Ridotto Rinforzato n 500 200 500 Ac 14 7 12 Re 15 10 13 ������� = �(������≤ 5|������,������) ��� = ������������� �−������ � ������������� = ������������� +(1−������� )� 1 (1 ) 0, 9 (1 ) 0, 9 (1 ) 0,1 log(1 ) log(0,1) log(0,1) log(1 ) 63 n n n p p p np n p n − −  − − −  −  n p p Z p /) ( / − −  1 2 n 22 1 / − Z p p Sample Size 500 Acceptance Number 14 Accept lot if defective items in 500 sampled ≤ 14; Otherwise reject. Percent Defective Probability Accepting Probability Rejecting AOQ ATI 1,5 0,990 0,010 1,479 1660,8 AOQL At Percent Defective 1,877 2,231 Numero di difettosi ispezione dimensione del campione Accetto/rifiuto switching rule 11 normale 500 Accetto 0 normale 500 Accetto 4 normale 500 Accetto 2 normale 500 Accetto 6 normale 500 Accetto 7 normale 500 Accetto 2 normale 500 Accetto 5 normale 500 Accetto 7 normale 500 Accetto 14 normale 500 Accetto 10 lotti consecutivi accettati 10 ridotta 200 Rifiuto lotto rifiutato 4 normale 500 Accetto 5 normale 500 Accetto 25 normale 500 Rifiuto 6 normale 500 Accetto 3 normale 500 Accetto 7 normale 500 Accetto 15 normale 500 Rifiuto 2 lotti rifiutati in 5 consecutivi 4 rinforzata 500 Accetto 6 rinforzata 500 Accetto QUESITO 3 Se uno stimatore è corretto, il suo valore atteso è pari al valore atteso della variabile aleatoria considerata. In questo caso: ������(������1)= ������(1 2������1+1 8������2+1 4������3+1 8������4)= 1 2������(������1)+1 8������(������2)+1 4������(������3)+1 2������(������4)= = 1 2������+1 8������+1 4������+1 2������= ������= ������(������) Lo stimatore è corretto. ������(������2)= ������(1 2������̅)= 1 2������(������̅)= 1 2������≠ ������(������) Lo stimatore è distorto. Calcoliamo ora le varianze (ricordando che la varianza della somma di variabili aleatorie indipendenti è la somma delle varianze) : ������������������ (������1)= ������������������ (1 2������1+1 8������2+1 4������3+1 8������4)= 1 4������������������ (������1)+ 1 64 ������������������ (������2)+ 1 16 ������������������ (������3)+ 1 64 ������������������ (������4)= 11 32 ������������������ (������2)= ������������������ (1 2������̅)= 1 4������������������ (������̅)= 1 4 1 4= 1 16