Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

Full exam

1 Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 2021/01/18 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici/grafici ottenuti. • Per la consegna si può caricare un file pdf oppure scrivere manualmente e caricare una foto dei fogli QUESITO 1 (Punti 10) Il contenuto di silicio in una lega di metallo viene monitorato con tre osservazioni ogni ora. I dati sono Camp. 1 2 3 1 111.2 92.3 114.3 2 101.5 90.9 92.0 3 87.3 105.7 81.1 4 101.0 96.9 100.9 5 118.9 94.4 97.0 6 100.7 86.3 97.0 7 106.7 92.1 107.9 8 104.9 101.0 129.1 9 103.1 95.4 94.0 10 87.6 101.1 122.5 11 120.5 76.5 106.7 12 111.1 115.1 85.1 13 86.0 88.0 93.5 14 93.0 109.8 102.1 15 85.2 100.1 99.9 16 99.8 89.8 98.9 17 123.0 118.5 108.8 18 101.1 93.0 99.3 19 103.2 97.9 105.8 20 94.0 114.2 114.1 21 75.0 112.7 110.5 22 99.0 111.0 84.6 23 97.3 103.2 98.5 24 96.8 92.3 94.5 a) Commentare la strategia di monitoraggio b) Costruire manualmente una carta Xbar-R, verificare il risultato con Minitab e commentare i risultati c) Calcolare il valore di ARL nel caso la media si sposti del 30% QUESITO 2 (Punti 10) Un’azienda intende controllare i lotti di bulloni, necessari per le attività di montaggio, che arrivano da fornitori esterni. L’azienda pensa di utilizzare un piano di accettazione che verifichi la rispondenza alle specifiche con un verdetto buono/non buono. a) Progettare un piano singolo di accettazione per AQL (p 1=1%, alfa=5%) e LTPD (p 2=15%, beta=10%), prospettiva acquirente. b) Per il piano trovato calcolare la probabilità di accettazione per p=0.03 c) Progettare un piano doppio equivalente usando le MIL-STD 105 e calcolare la probabilità di accettazione per p=0.03 d) Ipotizzato che la dimensione del lotto sia 10000 pezzi e che si procede al ripristino dei pezzi non conformi, calcolare, se il lotto entrante ha una non conformità percentuale pari al 3%, per i due piani: 1. Lo sforzo di campionamento atteso 2. Lo sforzo di ispezione totale atteso 2 QUESITO 3 (Punti 8) Una variabile aleatoria x segue una funzione di densità di probabilità che ha la forma di un triangolo isoscele con angoli alla base pari a 70° e primo vertice di base con coordinate x= 5 cm, y=0 Calcolare valore atteso e varianza Confermare i dati con una simulazione numerica utilizzando Minitab (usare la generazione di numeri casuali Triangolare Calc>Random Data>Triangular… ) QUESITO 4 (Punti 5) In un esperimento si sono ottenuti i seguenti dati. 89.2 97.3 97.3 98.8 115.1 106.5 108.3 110.2 106.1 100.6 95.2 100.1 85.8 89.6 99.7 87.1 90.7 106 87.5 109.5 88.3 81.5 96.2 94.8 107.6 88.9 114.7 94 103.6 97.5 1) Analizzare i dati. 2) Calcolare manualmente l’intervallo di confidenza della media (95%) 3) verificare con MINITAB. 70 ° A (5,0) B C 3 Soluzioni Quesito 1 La strategia scelta non è per niente buona. Si vuole costruire una carte di controllo e si utilizzano 24 campioni presi ogni ora. In pratica osserviamo il processo per un giorno ed estrapoliamo. Sarebbe stato meglio prendere un campione al giorno per avere una migliore immagine del processo. (2 punti) Per prima cosa costruiamo un “individual value plot” dei dati per vedere se ci sono outliers. Non si osserva niente di particolarmente evidente. (1 punto) Non ha senso a questo punto verificare: a) l’autocorrelazione che dovrebbe essere fatto nell’ambito del singolo campione che ha solo 3 dati b) la normalità che avrebbe senso solo se si sapesse che il processo è in controllo, ma ora non lo sappiamo. (non ho levato punti per questo errore) Calcoliamo per ogni campione la media e il Range. Poi la grande media e la media dei range. Otteniamo 100.34 18.17 XR= = ==(1 puntoΦ= Calcoliamo i limiti delle due carte di controllo usando le tabelle che ipotizzano il moltiplicatore 3= = Per la carta=Xbar abbiamo= 2 2 (3) 100.34 1.023 *18.17 118.92 100.34 (3) 100.34 1.023 *18.17 81.75 LCS X A R LC X LCI X A R =+=+ = = = =−=− = == == = Per la carta Rbar abbiam→= 4 3(3) 2.574 *18.17 46.77 18.17 (3) 0 LCS D R LC R LCI D R= = = = == = == (2 puntiΦ= = = Costruiamo la carta con Minitab= = 4 I limiti di controllo sono praticamente eguali a quelli calcolati manualmente. I punti sono omogeneamente disposti fra i limiti di controllo, Non si osservano andamenti particolari. Possiamo adottare la carta per le osservazioni future (2 punti) Nel caso la media si spostasse del 30% significa che si passa ad una media di 1.3*100.34=130.44 La sigma stimata è 02ˆ/ (3) 18.17 / 1.693 10.73 Rdσ = == = Quindi= 118.93 130.44 81.73 130.440.031 0.00 0.031 6.196.19 beta −−    = Φ−Φ= − =       == Di conseguenza= 1 (130.44) 1.03 1 ARL β = = − =In altri termini la carta reagisce subito a questo spostamento= della media=(2=puntiΦ= = = = = = = == 5 Quesito 2 a) Si tratta di un piano singolo; conosciamo i due punti per i quali si deve far passare il piano AQL (p 1=0.01, alfa=0.05) e LTPD (p 2=0.15, beta=0.10); possiamo usare il nomogramma binomiale per trovare la soluzione. Il nomogramma ci da due soluzioni possibili: n=19 e Ac =0 o Ac=1. Considerando che i piani con accettazione Ac= 0 hanno una curva caratteristica operativa iperbolica, molto sfavorevole al fornitore scegliamo il piano n=19 e Ac=1. Usando il solutore (artigianale) di matematica la risposta è simile: n=20.28 e Ac=0.58 che dovranno diventare interi (n=20, Ac=1) . Usando invece Minitab la soluzione suggerita è n=25 Ac=1, preferibile alle altre per il rischio acquirente. (4 punti) Per curiosità, di seguito, le curve di accettazione dei tre piani (non richieste dalla traccia). Si vede che i due piani nomogramma e Mathematica rispettano meglio i vincoli posti. Ai fini della correzione vanno bene tutti e tre (o leggere variazioni). Nel seguito useremo la soluzione Nomogramma (n=19, Ac=1) b) La probabilità di accettazione per p=0.03 è 19 0 ,1 19! 0.03 (1 0.03) 0.89 !(1 9 ) ! dd acc d P dd − = =−= − ∑ == (1 puntoΦ= Gli altri valori sono:={0.880, 0.828} c) Per il piano doppio utilizziamo le tavole MIL-STD 105 e, in mancanza di altre indicazioni, scegliamo ispezione generale normale e comportamento normale. La chiave del piano è L; (1 punto) Dalla tavola III-A per AQL 1% leggiamo n 1=125, n 2=125 Ac 1=2, Re 1=5, Ac 2=6, Re 2=7; (1 punto) La probabilità di accettazione per p=0.03 è 0.427. (1 punto) d) La traccia ci chiede di calcolare per i due piani,, nella ipotesi che il lotto entrante abbia non conformità pari a p=0.03, 1) lo sforzo atteso di campionamento ASN pari a ASN(0.03)=125+(1-Pa(0.03))125=196,6(1 punto) 2) Lo sforzo totale di ispezione atteso ATI è ( )()()()() 112 ( ) (1) 6263.5 IIIIII a aaa ATIp Ppn P pn n N Pp P p= + ++ − − = =(1 puntoΦ= Tipo di piano ASN (0.03) ATI (0.03) Singolo (19,1) 19.0 1116.5 Singolo (20,1) 20.0 1216.0 Singolo (25,1) 25.0 1740.0 Doppio MIL.STD 175.7 5804.2 probAcc 19,1, p probAcc 20,1, p probAcc 25,1, p 6 Quesito 3 Per prima cosa dobbiamo calcolare base b ed altezza h considerando che l’area del triangolo deve essere pari a uno (probabilità). Le misure devono rispettare la seguente proporzione: 2 Tanh b α = = = 2 4 Tan1 Tan 2 4Tan bh b AreaArea bh αα α  = = → =→= =  == 4 1.2066 Tan 70 1.6576 Tan 70 bh = == = ° (2 puntiΦ= Le coordinate del triangolo sono : = (5; 0) (6.21; 0) (5.60;1.66) AB C→→ → == (1 puntoΦ= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5.606.20 55.60 5.606.20 22 55.60 2.7476 13.738 2.7476 17.052 5.60 2.7476 13.7382.7476 17.052 0.0606 E X x x dx x x dx V X x E x x dx x E xx dx = − +− + = =− − +− − + = ∫∫ ∫∫ == = Alternativamente,=si pu�=dimostrare che in questo caso:= () ()( ) () 22 5 6.21 5.6 22 6.21 5.00.061 24 24 xx xxAB EX BA VX+ + = = = −− = == == = (4 puntiΦ== Attenzione: solo sviluppi teorici della seconda soluzione non portano a punti perché reperibili su Internet Per avere una conferma facciamo una simulazione con Minitab generando 100000 dati casuali dalla distribuzione triangolare definita, usando il comando Calc>Random Data>Triangular…. Di seguito i risultati che confermano i calcoli teorici Statistics Variable Mean StDev Variance dati 5.6031 0.2465 0.0608 (1 punto) 7 Quesito 4 Per prima cosa, osserviamo graficamente i dati per vedere si ci sono outliers e se sono gaussiani (verifica necessaria per il test successivo) Non vediamo situazioni sospette. Se conoscessimo l’ordine di presa del dato potremmo fare un test di autocorrelazione, ma non la conosciamo e, quindi, non ha senso farla (non ho levato punti per questo errore) Calcoliamo i dati di sintesi del campione: Statistics Variable N N* Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum Dati 30 0 98.26 9.03 81.50 89.50 97.40 106.20 115.10 (2 punti) Per calcolare l’intervallo di confidenza della media, avendo stimato la deviazione standard dal campione dobbiamo usare la t-student. E’ sbagliato usare il test z. Il test è bilaterale, il coefficiente di confidenza è 95% e i gradi di libertà sono 29. Il coefficiente da usare è ( ) 0.025 29 2.045 t = == L�intervallo �= 98.26 2.045 * 9.03 / 30 98.26 2.045 * 9.03 / 30 94.8 9 101.63 µµ −≤≤ +→ ≤≤ = (2=puntiΦ= La verifica con Minitab si fa con Stat>Basic Statistics> 1-Sample t Descriptive Statistics N Mean StDev SE Mean 95% CI for μ 30 98.26 9.03 1.65 (94.89; 101.63) μ: population mean of Dati (1 punto)