Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

Full exam

1 Questioni generali: • Alcuni hanno consegnato in una cartella diversa da quella di consegna • Io non correggo sui fogli excel o minitab, ma su un compito word o fotografato. Dal prossimo appello ignorerò minitab ed excel se non per controlli a campione. • In molti casi sono state fatte analisi errate: autocorrelazioni senza che sia stato dato l’ordine dei dati, normalità su dati peresi a campione per fare carte di controllo. Non ho levato punti: lo farò la prossima volta. QUESITO 1 (Punti 10) Un’azienda costruisce componenti per l’industria ferroviaria. Ogni giorno è preso un campione di 50 grezzi di fusione ed è registrato il numero di non conformi. I dati sono riportati di seguito: Campione Non conformi Campione Non conformi 1 10 15 8 2 9 16 9 3 12 17 11 4 11 18 8 5 13 19 14 6 20 20 18 7 18 21 15 8 13 22 18 9 11 23 10 10 18 24 8 11 14 25 18 12 21 26 19 13 15 27 10 14 12 28 8 1) Progettare la carta di controllo adeguata calcolando manualmente i limiti; verificare i risultati con MINITAB; commentare i risultati. 2) Calcolare il valore di ARL(0) e quello relativo ad uno spostamento del 30% in più della difettosità, utilizzando la vera distribuzione e non l’approssimazione gaussiana 3) Nel periodo successivo si raccolgono i seguenti dati di non conformi sempre con campioni di numerosità 50: 14, 5, 8, 8, 9, 4, 8, 4, 10, 6, 5, 9, 7, 4, 2, 4, 5, 2, 3, 5, 5, 4, 5, 4, 6, 6, 3, 6, 7, 5 Il processo è cambiato? Sulla base delle considerazioni fatte, suggerisca cosa l’azienda deve fare. Soluzione Per prima cosa osserviamo i dati Non si osservano dati strani o andamenti particolari e possiamo procedere nella progettazione (1 punto) 2 Molti hanno fatto analisi di normalità su dati che sono binomiali, analisi di autocorrelazione o bo x plot mettendo tutti i dati insieme. Non si fanno Possiamo scegliere una carta p o una carta np. Scegliamo una carta p. La dimensione del campione è costante e pari a 50, possiamo calcolare una stima della non conformità percentuale pari a 1, 28 3710.265 50 * 28 50 * 28 i i NonConformi p = == = ∑ == I limiti della carta sono:= () () 0.452 10.265 1 0.265 30.265 30.265 0.187 0.078 50CLS pp p CLI n= −−  ±=± =± =  = (2 punti) I limiti coincidono, nessuna condizione è fuori dai limiti e non si osservano strani andamenti, quindi possiamo adottare questi limiti per le osservazioni future (2 punti) 2) calcoliamo i valori di ARL [] {} {} {} {} Pr{ · 0.265} Pr · 0.265 Pr 22 0.265 0.99765 Pr{ · 0.265} Pr{ · 0.265} Pr 4 0.265 Pr 3 0.265 0.0002262D n LCS p D n LCS pD p D n LCI pD n LCI pD pD p ≤ = = ≤ = = ≤= = < = = ≤< > = = < = = ≤ = = = = alfa=1-(0.99765-0.0002262)=0.002576 =ARL(0)= 1/alfa=388.17 (invece di 370.4 che è quanto ci saremmo aspettati se i dati fossero stati Gaussiani) Supponiamo di avere una media aumentata del 30% La nuova media 0.265*1.3=0.3445 Si fa il calcolo come prima considerando la nuova p beta=0.939707-0 ARL(1)=1/(1-beta)= 16.59 (2 punti) 3) Facciamo il grafico dei dati (Time Series Plots-> With Groups) 3 Si vede chiaramente che succede qualcosa fra il dato 30 e il 31, poi il processo viaggia a valori più bassi. (1 punto) Per essere sicuri facciamo un test con approssimazione normale sulla differenza delle non conformità percentuali verificando se la nuova media è diversa da quella precedente. 0 1 2 11 2: : H p p Hp p =≠ = () () () 12 0 12ˆˆ0,1 11 ˆˆ1pp ZN ppNN − =  −+  = 12 371 173 ˆ 28 * 50 1400 30 * 50 1500 0.188 1400 1500 N Np + = = = = == + == Da cui= ( ) ( ) 12 0 12 ˆˆ 10.308 11 ˆˆ 1 pp Z pp NN − ==  −+  = A questo valore corrisponde un p-value== 0=che=ci permette di rifiutare l�ipotesi nulla== Grazie all�analisi effettuata suggeriamo di riprogettare la carta di controllo Notare il primo campione che è fuori dai limiti della seconda serie dei dati (appartiene ancora alla prima serie) (2 punti) QUESITO 2 (Punti 10) Un’azienda intende progettare un piano doppio per valutare la bontà di lotti di 15000 pezzi. 4 I dati caratteristici sono: AQL (p 1=0.02 Pa 1=0.95), LTPD (p 2=0.05 Pa 2=0.10) 1) Progettare il piano privilegiando l’acquirente. Usare il metodo di Grubbs per campioni di dimensione eguale e per campioni di dimensione diversa (doppia) 2) Verificare le differenze in termini di curva caratteristica operativa 3) Calcolare ASN e ATI per i due piani. Soluzione Commenti generali: • Alcuni hanno fatto l’interpolazione perché non hanno trovato il valore di R nelle tavole: sconsiglio di farlo perché non si può interpolare fra piani. Non lo considero errore • Molti hanno fatto Re1=Ac1+1. E’ sbagliato Re1=Re2=Ac2+1 • Alcuni hanno usato Minitab per il calcolo di Pa, ASN e ATI: Minitab non considera i piani doppi per questo motivo ho dato il programmino in MATHEMATICA, ma potete usare un qualsiasi altro sw. • Quasi tutti non hanno commentato i risultati. E’ obbligatorio, la prossima volta leverò dei punti Scegliamo il piano di GRUBBS con dimensione eguale di campione (tavola 13.3) 2 1 0.052.5 0.02 p R p = = = = = Ci sono due piani con chiave vicina: il 14 e il 13. Scegliamo il piano 14 cui corrisponde Ac1=5 Re1=13 Ac2=12 Re2=13 Scegliamo di salvaguardare l’acquirente, quindi scegliamo 11 9.77 9.77196 0.05 pn n = →= = == In conclusione il piano �: = Stadio Numero di accettazione Numero di rifiut→= Dimensione del= campione= 1 5 13 196 2 12 13 196 (2 punti) Se invece usiamo la tabella in cui n 2=2n 1 (tabella 13.4) abbiamo il piano 13 con: Ac1=4 Re1=15 Ac2=14 Re2=15 11 8.11 8.11162 0.05 pn n = →= = == Il piano �= Stadio Numero di accettazione Numero di rifiut→= Dimensione del= campione= 1 4 15 16 2 2 14 15 324 (2 punti) 5 Come si vede i due piani sono praticamente equivalenti, in particolare nelle zone acquirente e fornitore. (2 punti) Ora calcoliamo ATI I due piani sono praticamente equivalenti (2 punti) Calcoliamo ASN probAccDoppio 196,5,13,196,12,13, p probAccDoppio 162,4,15,324,14,15, p atiDoppio 196,5,13,196,12,13, p,15000 atiDoppio 162,4,15,324,14,15, p,15000 6 Si vede chiaramente che i due piani si comportano in modo molto diverso, in funzione della non conformità percentuale del lotto. In pratica bisogna fare una scommessa sulla non conformità percentuale entrante per scegliere il piano più adatto. (2 punti) QUESITO 3 (Punti 5) In un esperimento si sono ottenuti due campioni con i seguenti dati. Camp1 Camp2 Camp1 Camp2 8.49 8.89 7.85 8.70 10.20 8.38 9.09 9.81 10.39 13.52 8.82 3.18 10.40 11.00 11.28 11.12 9.02 13.82 10.43 16.38 10.07 10.11 9.62 8.81 9.38 9.24 10.30 12.30 8.97 13.32 9.10 15.41 10.42 12.44 9.23 10.76 9.02 9.10 9.30 16.22 12.51 5.12 11.15 9.23 13.73 9.17 8.96 6.72 10.12 8.75 8.85 10.66 10.09 13.37 10.17 Analizzare i dati usando MINITAB. Soluzione • Quasi tutti si sono limitati a fare un’analisi di normalità. Quando si chiede un’analisi dati bisogna “torturarli” per avere tutte le informazioni possibili. • Molti hanno fatto un’analisi di autocorrelazione che non ha senso perché non è data la sequenza di presa dei dati Per prima cosa guardiamo i dati asnDoppio 196,5,13,196,12,13, p asnDoppio 162,4,15,324,14,15, p 7 I calcoli statistici di base sono Statistics Variable N N* Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum camp1 30 0 9.740 0.964 7.850 9.020 9.500 10.393 12.510 camp2 25 0 10.812 3.294 3.180 8.830 10.760 13.445 16.380 Non possiamo rifiutare l’ipotesi di normalità, si osserva un dato da indagare considerato eccezionale dal box- plot di camp1 e, chiaramente, una deviazione standard molto diversa fra i due campioni (2 punti) Facciamo il test di Fisher (abbiamo verificato che i dati superano il test di normalità) di omogeneità della varianza (2 Variances con opzione dati normali): Test and CI for Two Variances: camp1; camp2 Method σ₁: standard deviation of camp1 σ₂: standard deviation of camp2 Ratio: σ₁/σ₂ F method was used. This method is accurate for normal data only. Descriptive Statistics Variable N StDev Variance 95% CI for σ camp1 30 0.964 0.930 (0.768; 1.297) camp2 25 3.294 10.847 (2.572; 4.582) Test Null hypothesis H₀: σ₁ / σ₂ = 1 Alternative hypothesis H₁: σ₁ / σ₂ ≠ 1 Significance level α = 0.05 Method Test Statistic DF1 DF2 P-Value F 0.09 29 24 0.000 E’ evidente che le varianze sono differenti (p-value=0.0). (1.5 punti) Per verificare la differenza della media, dobbiamo fare il test sulla differenza della media (2-sample t) e dobbiamo scegliere l’opzione in cui le varianze sono stimate dai dati e sono diverse. 8 Two-Sample T-Test and CI: camp1; camp2 Method μ₁: population mean of camp1 µ₂: population mean of camp2 Difference: μ₁ - µ₂ Equal variances are not assumed for this analysis. Descriptive Statistics Sample N Mean StDev SE Mean camp1 30 9.740 0.964 0.18 camp2 25 10.81 3.29 0.66 Estimation for Difference Difference 95% CI for Difference -1.072 (-2.471; 0.327) Test Null hypothesis H₀: μ₁ - µ₂ = 0 Alternative hypothesis H₁: μ₁ - µ₂ ≠ 0 T-Value DF P-Value -1.57 27 0.127 Non possiamo rifiutare l’ipotesi che le due medie siano eguali (1.5 punti) In conclusione non possiamo rifiutare l’ipotesi che le due medie siano eguali, mentre rifiutiamo l’ipotesi che abbiano eguale varianza. QUESITO 4 (5 punti) La scatola A contiene 9 carte numerate da 1 a 9, la scatola B contiene 5 carte numerate da 1 a 5. Viene scelta una carta da una delle scatole a caso e la carta è pari. Determinare la probabilità che la carta provenga dalla scatola A. Soluzione Chiamiamo P l’evento che la carta sia pari. Vogliamo trovare ( ) Pr | AP = Sappiamo che= ( ) ( ) ( ) Pr Pr | Pr AP AP P ∩ = =(1 punto) quindi: ( ) ( ) ( ) Pr Pr *4/9 Pr *2/5 1/2*4/9 1/2*2/5 19/45 PA B = + =+= == ( ) Pr 1/ 2*4 / 9 2 / 9 AP∩= = == ()( ) () Pr 2 45 10 Pr | Pr 9 19 19AP AP P ∩ = = = = (4 punti)