Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

Full exam

1 Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 20220117 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici/grafici ottenuti. • Per la consegna scrivere manualmente, sintetizzando qualitativamente i grafici riportando solo numeri significativi • Evitare sviluppi teorici se non espressamente richiesti QUESITO 1 (Punti 10) Ogni 60 min viene presa una misura da un processo. Le prime 20 misure sono riportate di seguito: Ordine Valore Ordine Valore 1 12.00 11 9.08 2 9.15 12 7.21 3 10.37 13 11.36 4 11.20 14 9.10 5 11.11 15 8.63 6 10.96 16 8.83 7 9.73 17 11.36 8 10.77 18 10.65 9 9.05 19 8.18 10 12.07 20 10.87 a) Costruire una carta di controllo adeguata. b) Calcolare manualmente i limiti per il dato 12 c) Calcolare il valore ARL nel caso in cui la media si sposti a 22 QUESITO 2 (Punti 10) Il manager della qualità vuole assicurarsi che un processo sia in controllo statistico. Prende giornalmente 20 campioni di numerosità 5. I valori sono in tabella. Si noti che per i campioni 3 e 12 l’operatore ha segnalato dei problemi senza specificare per quale misura si sono verificati. Campione 1 2 3 4 5 1 20.94 19.44 15.49 20.26 19.53 2 20.78 18.30 17.65 18.98 13.26 3 20.49 25.64 80.20 18.56 21.61 4 21.00 20.47 18.40 21.38 21.97 5 19.68 19.41 21.39 18.42 23.29 6 22.55 19.16 17.45 18.11 17.32 7 19.18 22.62 17.04 18.99 17.05 8 18.72 19.46 22.57 17.07 19.00 9 18.19 23.45 20.83 21.64 22.80 10 20.28 16.58 20.60 20.37 19.51 11 16.41 20.30 19.66 19.72 24.80 12 22.93 19.98 20.15 21.76 22.44 13 20.27 18.39 18.83 18.02 23.12 14 23.79 20.76 21.36 19.72 18.87 15 21.46 21.95 21.39 18.88 21.00 16 18.65 21.57 22.42 19.99 19.10 17 21.09 18.20 19.65 20.92 19.20 18 19.53 19.99 17.03 19.18 21.84 19 21.49 17.65 21.13 22.70 20.96 20 20.72 19.83 20.66 22.58 19.93 a) Progettare una carta Xbar-R. b) Calcolare manualmente i limiti di controllo e le linee centrali per i campioni 3 e 12 QUESITO 3 (7 punti) Si considerino due urne: la prima contenente 3 palline rosse e 10 verdi e la seconda contenente 6 palline rosse e 12 verdi. a) Si consideri un esperimento che consiste nell’estrarre con reinserimento due palline dalla prima urna e si determini la probabilità che entrambe le palline siano rosse. b) Si consideri l’esperimento che consiste nell’estrarre una pallina dalla prima urna, nell’inserirla nella seconda urna e nell’estrarre una pallina dalla seconda urna. Determinare la probabilità che la pallina estratta sia rossa. c) Sapendo che la pallina estratta dalla seconda urna è rossa, calcolare la probabilità che la pallina estratta dalla prima urna sia verde. QUESITO 4 (5 punti) Si consideri la distribuzione f(x) della v.a. X, descritta dal trapezio retto in figura. Trovare analiticamente il valore atteso considerando che il vertice A ha coordinate (3;0) la base maggiore è lunga 6 e la base minore è lunga 4 (le unità di misura sono le stesse). 2 A B C D 3 Soluzioni QUESITO 1 (Punti 10) Ogni 60 min viene presa una misura da un processo. Le prime 20 misure sono riportate di seguito: Ordine Valore Ordine Valore 1 12.00 11 9.08 2 9.15 12 7.21 3 10.37 13 11.36 4 11.20 14 9.10 5 11.11 15 8.63 6 10.96 16 8.83 7 9.73 17 11.36 8 10.77 18 10.65 9 9.05 19 8.18 10 12.07 20 10.87 a) Costruire una carta di controllo adeguata. b) Calcolare manualmente i limiti per il dato 12 c) Calcolare il valore ARL nel caso in cui la media si sposti a 22 Soluzione Si tratta di costruire una carta I-MR. Vediamo graficamente i dati. Non sembrano esserci dati particolari da segnalare. Guardiamo l’autocorrelazione 4 Niente da segnalare Guardiamo la normalità dei dati Niente da segnalare (2 punti) Usando MINITAB, le carte sono: 5 Nulla da segnalare. Il processo appare in controllo statistico e i limiti calcolati possono essere utilizzati per il futuro (2 punti) La traccia ci chiede di calcolare manualmente i limiti per il punto 12. In realtà non essendoci campioni a numerosità variabile i limiti sono indipendenti dalla posizione. E’ sbagliato usare i dati relativi al punto 12. Calcoliamo manualmente i limiti delle due carte. 1, ( 1) 1, 32.490201.68 1.71 10.084 1 1920 i i im im R x MRX mm = − = = = = = = = − ∑ ∑ = Carta I ( ) ( ) 2 2 1.71 10.08 3 14.628 21.128 10.08 1.71 10.08 3 5.532 2 1.128 MR LCS X K d LC X MR LCI X K d =+ =+= = = =− =−= Carta MR ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] { } 23 2 23 2 1.71 2 2 1.128 3 * 0.853 5.589 21.128 1.71 1.71 0; 2 20; 1.128 3 * 0.8530; 2.169 0 21.128 MR LCS d Kd d LC MR MR LCI Max d KdMaxMax d =+=+= = =   = − = − = −=      (3 punti) Infine calcoliamo ARL(μ=22) 6 ( ) 0 2 1.71 ˆ 22 10.08 11.92 1.516 2 1.128 MR d δσ =−= = = =  ( ) [][] 00 11.9211.92 22 333 1 3 1 4.86 10.86 0 1.5161.516 ARL nn δδ µ σσ      = = Φ − −Φ − − = Φ − −Φ − − = Φ − −Φ −           = ( ) 11 12 1 1 10 ARL β = = = −− = In pratica se la media si sposta al valore 22 ci sarebbe, mediamente, un allarme al campione successivo (3 punti) QUESITO 2 (Punti 10) Il manager della qualità vuole assicurarsi che un processo sia in controllo statistico. Prende giornalmente 20 campioni di numerosità 5. I valori sono in tabella. Si noti che per i campioni 3 e 12 l’operatore ha segnalato dei problemi senza specificare per quale misura si sono verificati. Campione 1 2 3 4 5 1 20.94 19.44 15.49 20.26 19.53 2 20.78 18.30 17.65 18.98 13.26 3 20.49 25.64 80.20 18.56 21.61 4 21.00 20.47 18.40 21.38 21.97 5 19.68 19.41 21.39 18.42 23.29 6 22.55 19.16 17.45 18.11 17.32 7 19.18 22.62 17.04 18.99 17.05 8 18.72 19.46 22.57 17.07 19.00 9 18.19 23.45 20.83 21.64 22.80 10 20.28 16.58 20.60 20.37 19.51 11 16.41 20.30 19.66 19.72 24.80 12 22.93 19.98 20.15 21.76 22.44 13 20.27 18.39 18.83 18.02 23.12 14 23.79 20.76 21.36 19.72 18.87 15 21.46 21.95 21.39 18.88 21.00 16 18.65 21.57 22.42 19.99 19.10 17 21.09 18.20 19.65 20.92 19.20 18 19.53 19.99 17.03 19.18 21.84 19 21.49 17.65 21.13 22.70 20.96 20 20.72 19.83 20.66 22.58 19.93 a) Progettare una carta Xbar-R. b) Calcolare manualmente i limiti di controllo e le linee centrali per i campioni 3 e 12 Soluzione Le verifiche di normalità e di autocorrelazione dovrebbero essere fatte campione per campione, ma i dati sono pochi (5) e quindi non le facciamo. Per prima cosa vediamo i dati con uno Scatter Plot Si vede subito che al terzo campione un dato (il numero 3) è molto diverso dagli altri. Si può procedere alla sua eliminazione perché nella traccia si parla di un problema al terzo campione. Non si osserva niente per il campione 12. Il nuovo grafico è 7 (2 punti) A questo punto progettiamo le due carte con MINITAB Non ci sono campioni fuori dai limiti e non si osservano pattern critici. Possiamo concludere che il sistema è in controllo statistico. Si nota, inoltre, che i limiti relativi al campione 3 sono diversi dagli altri campioni perché abbiamo eliminato un dato del campione. Possiamo adottare per il futuro i limiti dei campioni a dimensione 5, per esempio quelli mostrati per il campione 20 (3 punti) Procediamo al calcolo manuale ricordandoci che ora abbiamo campioni a dimensione variabile. La grande media è 20.089 X= . La media del Range �= 1, 20 1, 20 481.82 4.87 99 ii i i i nR R n = = = = = ∑ ∑ = Stimiamo la deviazione standard ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1, 20 32 1, 20 2 0 2 2 1, 20 1, 3 301.44 ˆ 2.11 143.1782 i i i i i ii i i i i i im i dn R R f dn dn dn f dn dn σ = = = =    === =    ∑ ∑ ∑ ∑ = Per il=campione 3= 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 0 2 02 2 30 2 30 ˆ 2.11 3 20.089 3 23.254 2 4 20.089 ˆ 2.11 3 20.089 3 16.924 2 4 ˆ 4 * 2.11 2.059 * 2.11 4.34 ˆ 32.11* 2.059 3 * 0.88 9.91 ˆ max 0; 3max 0; 2.059 SI i ii SI ii X LC X LC X LC d n d dn dn LC dn dn σ σ σ σ σ  += + =  = ==   −= − =  = === + = +=  = −= −  [ ] { } { } 3 * 0.88 * 2.11 max 0; 1.23 0  = −=  = (2.5 punti) Per il campione 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 0 2 02 2 30 2 30 ˆ 2.11 3 20.089 3 22.92 55 20.089 ˆ 2.11 3 20.089 3 17.26 55 ˆ 5 * 2.11 2.326 * 2.11 4.91 ˆ 32.11* 2.326 3 * 0.864 10.38 ˆ max 0; 3max 0; 2.326 SI i ii SI ii X LC X LC X LC d n d dn dn LC dn dn σ σ σ σ σ  += + =  = ==   −= − =  = === + = +=  = −= −  [ ] { } { } 3 * 0.864 * 2.11 max 0; 0.56 0  = −=  = (2.5 punti) QUESITO 3 (7 punti) Si considerino due urne: la prima contenente 3 palline rosse e 10 verdi e la seconda contenente 6 palline rosse e 12 verdi. a) Si consideri un esperimento che consiste nell’estrarre con reinserimento due palline dalla prima urna e si determini la probabilità che entrambe le palline siano rosse. b) Si consideri l’esperimento che consiste nell’estrarre una pallina dalla prima urna, nell’inserirla nella seconda urna e nell’estrarre una pallina dalla seconda urna. Determinare la probabilità che la pallina estratta sia rossa. c) Sapendo che la pallina estratta dalla seconda urna è rossa, calcolare la probabilità che la pallina estratta dalla prima urna sia verde. Soluzione a) Consideriamo R1: evento pallina rossa prima urna e R2 evento pallina rossa prima urna. Abbiamo: ( ) ( ) ( ) 33 9 Pr 1 2 Pr 1 * Pr 2 * 0.0533 13 13 169 RR R R ∩== = = =(2 punti) b) Si può costruire un albero degli eventi Chiamiamo: R1 palla rossa prima urna R2 Palla rossa seconda urna R1 V1 R2 R2 V2 V2 9 V1 palla verde prima urna V2 Palla verde seconda urna ( ) ( ) Pr 1 3 / 13 Pr 1 10 / 13RV== = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 3 6 10 81 Pr 2 Pr 2 | 1 Pr 1 Pr 2 | 1 Pr 10.328 19 13 19 13 247 R RRR RVV =+=+== =(2 punti) Un altro modo è considerare i diagrammi di VENN c) Si tratta di applicare la formula di Bayes per trovare ( ) ( ) ( ) ( ) Pr 1 6 10 / 13 20 Pr 1 | 2 Pr 2 | 10.741 Pr 2 19 81 / 247 27 V V R RV R == = = =(3 punti) QUESITO 4 (Punti 5) Si consideri la distribuzione f(x) della v.a. X, descritta dal trapezio retto in figura. Trovare analiticamente il valore atteso considerando che il vertice A ha coordinate (3;0) la base maggiore è lunga 6 e la base minore è lunga 4 (le unità di misura sono le stesse). A B C D R1 V1 21 RR ∩ 21 RV ∩ 10 Soluzione Posto b 1=base maggiore=6 e b 2=base minore=4, l’altezza del trapezio è tale che l’area sia pari a 1 quindi 12 2 21 10 5 h bb= = = + == La funzione di densit�=di probabilit�=�= ( ) 12 12 0 per 3 21 per 3 75 99 per 7 9 10 0 per 9 x x bb fx xx x bb x <    = ≤≤ + = −−  = ≤≤  +  >  = (2 punti) A questo punto si tratta di calcolare ( ) ( ) ( ) 79 37 9 5.53 5 10 xx x E X xf x dx dxdx +∞ −∞ − ==+= ∫ ∫∫ (3 punti) Generalizzando, non richiesto, () 22 1 12 2 12 3( ) B b bb b EX x bb ++ = + + = Per la==varianza,=non richiesto, dobbiamo calcolare= ()() () () 2 V X x E X f x dx +∞ −∞ = − ∫ .= Il risultato==� 4 3 341 1 2 12 2 2 12 22 () 18( ) b b b bb b VX bb +++ = + . Nel nostro caso � pari a 2.249 Simulazione (non richiesto ) Su Minitab non è presente la funzione di densità del trapezio. Ma è presente l’uniforme e la triangolare. Allora possiamo generare dalla uniforma e dalla triangolare mantenendo la proporzione. Ad esempio se generiamo N, dovremo generare (b 1-b2)/(b 1+b 2)N del totale dalla triangolare e 2b 2/(b 1+b 2)N dalla uniforme. Nel nostro caso N=625000, n 1=500000, n 2=125000 Statistics Variable N N* Mean Variance Minimum Maximum dati1 500000 0 4.9992 1.3343 3.0000 7.0000 dati2 125000 0 7.6672 0.2212 7.0000 8.9953 Dati 625000 0 5.5328 2.2506 3.0000 8.9953