Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

Full exam

1 Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 20210907 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici/grafici ottenuti. • Per la consegna scrivere manualmente, sintetizzando qualitativamente i grafici riportando solo numeri significativi • Evitare sviluppi teorici se non espressamente richiesti QUESITO 1 (Punti 11) In un’azienda automobilistica la qualità della carrozzeria viene verificata prendendo casualmente una vettura al giorno e controllando la presenza di non conformità secondo una check list. I dati di venti giorni consecutivi sono riportati di seguito: 5, 3, 3, 6, 1, 3, 3, 4, 6, 2, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 4, 3, 4, 2 a) Progettare la carta di controllo opportuna con MINITAB e calcolare manualmente i limiti di controllo b) Calcolare manualmente il valore di ARL(0) utilizzando l’approccio esatto e confrontarlo con l’approssimazione normale. c) Dopo aver progettato la carta, l’azienda osserva la produzione per altri 10 giorni e i risultati sono: 3, 5, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 8, 10. Cosa possiamo concludere? QUESITO 2 (Punti 12) Per la realizzazione di una quota critica di un processo sono disponibili due processi. La Qualità provvede ad eseguire delle misure dei pezzi presi consecutivamente. I risultati delle misure (quota misurata-19 mm) sono riportati di seguito: Processo A 0.520 0.481 0.514 0.474 0.466 0.514 0.517 0.532 0.517 0.499 0.515 0.502 0.502 0.484 0.521 0.480 0.491 0.506 0.514 0.471 0.505 0.530 0.516 0.479 0.484 0.486 0.501 0.491 0.517 0.498 Processo B 0.488 0.580 0.520 0.480 0.593 0.544 0.542 0.512 0.494 0.562 0.497 0.457 0.527 0.465 0.530 0.510 0.494 0.507 0.521 0.474 0.499 0.436 0.486 0.547 0.519 a) Verificare se si può affermare che i dati provengano dalla stessa distribuzione b) Se i limiti di specifica sono [19.45;19.55], quale processo conviene scegliere? c) Col processo scelto, considerato che ogni pezzo costa 10 Euro e che il lotto di produzione è di 10^6 pezzi, calcolare il costo atteso dei non conformi, ipotizzando che i pezzi fuori tolleranza siano da rottamare. QUESITO 3 (Punti 3) Un’azienda vuole progettare un piano di accettazione singolo per la verifica di lotti in ingresso di cui è importante valutare con un calibro passa non passa una quota importante. La dimensione dei lotti è di 30000 pezzi e si vuole ottenere un AQL=0.02 con Pa=0.95 e un LTPD=0.09 con Pa=0.10 Progettare il piano. Valutare il piano con gli indici usuali considerando che l’azienda adotta il ripristino dei pezzi. QUESITO 4 (6 punti) Si consideri la variabile aleatoria ( )2 , XN µσ  . = Sapendo che l�indice di asimmetria e la curtosi di una gaussiana sono eguali a zero, calcolare il valore atteso di= 23 35 YX X X =++ == NB. Definito= () () k k m E X EX = −  , le definizioni di indice di asimmetria e di curtosi sono:= Indice di asimmetria (o Skewness) = 3 13/ 2 2m m γ = Curtosi (o Kurtosis) 4 2 22 3 m m γ = − == == 2 Soluzione QUESITO 1 (Punti 11) In un’azienda automobilistica la qualità della carrozzeria viene verificata prendendo casualmente una vettura al giorno e controllando la presenza di non conformità secondo una check list. I dati di venti giorni consecutivi sono riportati di seguito: 5, 3, 3, 6, 1, 3, 3, 4, 6, 2, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 4, 3, 4, 2 a) Progettare la carta di controllo opportuna con MINITAB e calcolare manualmente i limiti di controllo b) Calcolare manualmente il valore di ARL(0) utilizzando l’approccio esatto e confrontarlo con l’approssimazione normale. c) Dopo aver progettato la carta, l’azienda osserva la produzione per altri 10 giorni e i risultati sono: 3, 5, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 8, 10. Cosa possiamo concludere? Soluzione Per prima cosa facciamo un grafico dei dati per vedere se ci sono dati anomali : Non sembra che ci siano dati anomali o autocorrelazioni. (1 punto) a) La carta da progettare è una per attributi. In questo caso, ipotizzando che la distribuzione sia Poisson, si deve usare la carta C. Usando MINITAB si ottiene: Non si vedono punti fuori dai limiti o andamenti sospetti (3 punti) Per il calcolo manuale dei limiti si usano le formule { } max 0; LCI c k c LC c LCS c k c =−==+ == Se poniamo k=3, poich�= 3.15 c= =abbiamo: LCS=8.474, LC=3.15 e LCI=max{0,=-2.174}=0 (2 punti) b) Per il calcolo esatto di ARL(0) dobbiamo usare la distribuzione di Poisson e i limiti calcolati prima. 3 Dobbiamo calcolare [ ] { } { } 3 0 Pr , : 3.15 1 Pr 8 1 0.99482 5.18 *10 X LCI LCS H cX α − = ∈= =− ≤=− = == Che � circa il doppio di quello che ci=saremmo aspettati con il coefficiente k=3 (2.7*10 -3) e l�approssimazione normale. ( ) 1 0 193.05 ARL α= = =.=(2 punti) c) Se plottiamo i nuovi dati abbiamo Si vede che il dato relativo al 30esimo giorno è fuori dai limiti. Osserviamo che il gruppo Qualità avrebbe potuto anticipare il problema considerato il trend crescente dei dati (3 punti) QUESITO 2 (Punti 12) Per la realizzazione di una quota critica di un processo sono disponibili due processi. La Qualità provvede ad eseguire delle misure dei pezzi presi consecutivamente. I risultati delle misure (quota misurata-19 mm) sono riportati di seguito: Processo A 0.520 0.481 0.514 0.474 0.466 0.514 0.517 0.532 0.517 0.499 0.515 0.502 0.502 0.484 0.521 0.480 0.491 0.506 0.514 0.471 0.505 0.530 0.516 0.479 0.484 0.486 0.501 0.491 0.517 0.498 Processo B 0.488 0.580 0.520 0.480 0.593 0.544 0.542 0.512 0.494 0.562 0.497 0.457 0.527 0.465 0.530 0.510 0.494 0.507 0.521 0.474 0.499 0.436 0.486 0.547 0.519 a) Verificare se si può affermare che i dati provengano dalla stessa distribuzione b) Se i limiti di specifica sono [19.45;19.55], quale processo conviene scegliere? c) Col processo scelto, considerato che ogni pezzo costa 10 Euro e che il lotto di produzione è di 10^6 pezzi, calcolare il costo atteso dei non conformi, ipotizzando che i pezzi fuori tolleranza siano da rottamare. Soluzione Per prima cosa guardiamo graficamente i dati per vedere eventuali punti anomali 4 Non sembrano esserci dati anomali e si osserva che il processo B sembra essere più disperso. La media non sembra essere diversa. (1 punto) I dati sono presi in sequenza: dobbiamo vedere se sono auto correlati. Non vi è evidenza di autocorrelazione (1 punto) Verifichiamo se sono Gaussiani (ipotesi necessaria per i test successivi) Non vi è evidenza statistica per rifiutare l’ipotesi di normalità. (1 punto) Possiamo ora passare al test di omogeneità in varianza usando il test F: EX2 Test and CI for Two Variances: Processo A-19; Processo B-19 Method σ₁: standard deviation of Processo A -19 σ₂: standard deviation of Processo B -19 Ratio: σ₁/σ₂ F method was used. This method is accurate for normal data only. Descriptive Statistics Variable N StDev Variance 95% CI for σ Processo A -19 30 0.018 0.000 (0.014; 0.024) Processo B -19 25 0.037 0.001 (0.029; 0.052) Ratio of Standard Deviations Estimated Ratio 95% CI for Ratio using F 0.485321 (0.326; 0.712) Test Null hypothesis H₀: σ₁ / σ₂ = 1 Alternative hypothesis H₁: σ₁ / σ₂ ≠ 1 Significance level α = 0.05 Method Test Statistic DF1 DF2 P-Value 5 F 0.24 29 24 0.000 Il test conferma che i due processi sono diversi in varianza (2 Punti) Ora facciamo il test sulle medie, naturalmente non potremo assumere l’eguaglianza delle varianze EX2 Two-Sample T-Test and CI: Processo A-19; Processo B-19 Method μ₁: population mean of Processo A -19 µ₂: population mean of Processo B -19 Difference: μ₁ - µ₂ Equal variances are not assumed for this analysis. Descriptive Statistics Sample N Mean StDev SE Mean Processo A -19 30 0.5009 0.0181 0.0033 Processo B -19 25 0.5114 0.0373 0.0075 Estimation for Difference Difference 95% CI for Difference -0.01046 (-0.02705; 0.00613) Test Null hypothesis H₀: μ₁ - µ₂ = 0 Alternative hypothesis H₁: μ₁ - µ₂ ≠ 0 T-Value DF P-Value -1.28 33 0.209 Non si può rifiutare l’ipotesi che le medie siano eguali (2 Punti) In conclusione i dati sono gaussiani, le medie sono eguali e le varianze sono diverse. Converrà scegliere il processo con minore varianza, ovvero il Processo A (2 Punti) Per calcolare il costo atteso degli scarti con il processo A dobbiamo valutare l’area nelle code della gaussiana di media calcolata mettendo insieme tutti i dati: Statistics Variable N Mean StDev Minimum Median Maximum Processo A -19 30 0.50090 0.01810 0.46600 0.50200 0.53200 Processo B -19 25 0.51136 0.03729 0.43600 0.51000 0.59300 La stima della media combinata è: 0.5009 * 30 0.51136 * 25 0.506 30 25+ = + (1 Punto) La deviazione standard stimata è 0.0181 Possiamo calcolare le due aree: { } 2 Pr (0.506; 0.0181 0.45 0.0009876 N ≤= { } 23 Pr (0.506; 0.0181 0.55 1 0.99247 7.53 *10 N − ≥=− = In conclusione ci aspettiamo, in media, una percentuale di non conformi pari allo 0.8518% per un costo stimato di 85180 Euro (2 Punti) 6 QUESITO 3 (Punti 3) Un’azienda vuole progettare un piano di accettazione singolo per la verifica di lotti in ingresso di cui è importante valutare con un calibro passa non passa una quota importante. La dimensione dei lotti è di 30000 pezzi e si vuole ottenere un AQL=0.02 con Pa=0.95 e un LTPD=0.09 con Pa=0.10 Progettare il piano. Valutare il piano con gli indici usuali, considerando che l’azienda adotta il ripristino dei pezzi. Soluzione Usiamo MINITAB EX5 Acceptance Sampling by Attributes Measurement type: Go/no go Lot quality in percent defective Lot size: 30000 Use binomial distribution to calculate probability of acceptance Method Acceptable Quality Level (AQL) 2 Producer’s Risk (α) 0.05 Rejectable Quality Level (RQL or LTPD) 9 Consumer’s Risk (β) 0.1 Generated Plan(s) Sample Size 87 Acceptance Number 4 Accept lot if defective items in 87 sampled ≤ 4; Otherwise reject. Percent Defective Probability Accepting Probability Rejecting AOQ ATI 2 0.969 0.031 1.933 1005.4 9 0.099 0.901 0.887 27043.3 Average Outgoing Quality Limit(s) (AOQL) AOQL At Percent Defective 2.922 4.156 7 In conclusione, il piano è n=87 e Ac= 4. La peggiore qualità in uscita è circa il 3% in corrispondenza di una qualità entrante di circa il 4% (3 Punti) QUESITO 4 (6 punti) Si consideri la variabile aleatoria ( )2 , XN µσ  . = Sapendo che l�indice di asimmetria e la curtosi di una gaussiana sono eguali a zero, calcolare il valore atteso di= 23 35 YX X X =++ == NB. Definito= ( ) ( )k km E X EX  = −  , le definizioni di indice di asimmetria e di curtosi sono:= Indice di asimmetria (o Skewness) 3 13/ 2 2m m γ = Curtosi (o Kurtosis) 4 2 22 3 m m γ = − == Soluzione ( ) ( ) ( ) ( ) 23 35 EY EX EX EX =++ E’ facile dimostrare che () 2 22 EX σµ= + ==(2 punti) Dall’indice di asimmetria possiamo scrivere che ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 23 32 33 3 22 3 3 22 3 3 23 333 3 32 32 3 E X EX E X EX X X EX EX EXEXEX µµ µµ µ µµ µσ µ µµσ µ µµσ µ   − = − = − + − = − + −=   = − ++ = − ++ = − − == Poich� � eguale a zero=per la distribuzione Gaussiana=possiamo ricavare ( )3 23 3 EX µσ µ = + =(3 punti) In conclusione: () ()() 22 23 3 53 EY µ σµ µσµ=+ ++ + =(1 punto) L’informazione sulla Curtosi non è necessaria. 8 Per verificare la formula possiamo fare una simulazione (non richi esta nella traccia) con MINITAB ipotizzando, per esempio, che 20; 1 µσ = = == ( ) 22 20 3(1 400) 5(3 * 20 *1 20 ^ 3) 41523 EY =++ + + = == Se campioniamo 10 6=osservazioni=Gaussiane, otteniamo:= Statistics Variable N Mean StDev Min Median Max dati 1000000 20.001 1.0 15. 186 20.001 25.756 Calcoliamo la variabile Y Statistics Variable N Mean StDev Min Median Max Y 1000000 41530 6153 18218 41226 87443 Se facciamo il calcolo otteniamo: 41523 con un errore percentuale pari -0.01669%