Mechanical Engineering - estione Industriale delle Qualità con Elementi di Statistica

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1 Considerazioni generali 1. Ex1 Molti hanno fatto una carta p. E’ sbagliato perché non era detto che avevamo il numero di frigoriferi non conformi, ma che avevamo delle non conformità riscontrate nel campione (la differenza è che potevamo avere tutte le non conformità in un solo frigorifero. Poiché la dimensione del campione è variabile la carta da usare era la carta U 2. Ex 3 In mancanza di cause dichiarate non è legittimo eliminare dei dati, specie se abbiamo dati strani sospetti e mancanza di normalità 3. Ex 4 nella traccia si diceva di 25 dati ma in realtà erano riportati solo 20 dati. Ho tenuto buoni anche le costanti lette sulle tabelle per 25 dati, anche se era evidente dall’analisi preliminare che si trattava di 20 dati. 4. Quando si fa una t rasformazione b ox -cox si riporta il valore di lambda. Se i calcoli successivi erano corretti non ho levato punti. Gestione industriale della qualità con elementi di statistica 2021/0 7/08 Matricola Cognome Nome Note: • Indicare sempre le ipotesi assunte, le formule di calcolo usate e i risultati numerici /grafici ottenuti. • Per la consegna scrivere manualmente , sintetizzando qualitativamente i grafici riportando solo numeri significativi • Evitare sviluppi teorici se non espressamente richiesti QUESITO 1 (P unti 10) In un’azienda si producono frigoriferi per il consumo famigliare. Mediamente sono imballati 200 frigoriferi al giorno. Giornalmente si controlla il 10% dei frigoriferi prodotti e si registra il numero totale di non conformità rilevate. Di seguito i dati consecutivi di 25 giorni . giorno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 No. di non conformità 5 6 5 4 9 1 2 5 7 No. di frigoriferi 208 181 195 213 219 239 208 193 200 giorno 10 11 12 13 14 15 16 17 18 No. di frigoriferi 215 149 178 203 190 185 204 168 236 No. di non conformità 5 10 11 9 6 4 4 7 6 giorno 19 20 21 22 23 24 25 No. di frigoriferi 215 172 238 163 232 204 209 No. non conformità 11 4 10 3 7 5 8 a) Progettare la carta di controllo opportuna con MINITAB e calcolare manualmente i limiti di controllo per i giorni 11 e 22 b) Per i l giorn o 11 calcolare manualmente il valore di ARL(0) utilizzando l’approccio esatto e confrontarlo con l’approssimazione normale . c) Ipotizzando che il target aziendale sia di non superare il 4% delle non conf ormità percentuali (no. non conformità/no. di frigoriferi) , calcolare la dimensione costante del campione per avere un LCI superiore 0 (almeno 1). Soluzione Per la situazione è adatta la carta U in quanto la dimensione del campione è variabile. Si contro lla il rapporto u=c/n dove c è il numero di non conformità giornaliero che si ipotizza essere distribuito secondo una Poisson e n la dimensione del campione controllato. (1 punto) Per prima cosa vediamo l’andamento dei dati. 2 Non sembrano esserci dati o pattern strani se escludiamo la sequenza a scendere dal giorno 11 al giorno 16 (1 punto) Possiamo costruire la carta di controllo con MINITAB Per il progetto della carta , prima calcoliamo la media generale (1 punto) Per il calcolo dei limiti dobbiamo ricordarci che la . Se assumiamo per semplicità l’approssimazione normale , abbiamo che i limiti sono Nel punto 11 ni=149 e i limiti sono: [0; 0.0738] (1 punto) Nel punto 22 ni=163 e i limiti sono: [0; 0.0719] (1 punto) In conclusione la carta non h a fuori controllo e non ha p attern degni di attenzione: possiamo dire che il processo è in controllo statistico . (1 punto ) Nel giorno11 , se usiamo l’approssimazione normale, ARL (0) =1/alfa=370.37 Se invece usiamo la distribuzione esatta dobbiamo calcolare Quindi ARL(0)=1/0.0075=133.3 (2 punti) Dobbiamo imporre Ovvero (2 punti) QUESITO 2 (Punti 10) Un’azienda vuole progettare un piano di accettazione doppio per la verifica di lotti in ingresso di cui è importante valutare con un calibro passa non passa una quota importante. La dimensione di lotti è di 20000 pezzi e si vuole ottenere un AQL=0.01 con Pa=0.95 e un LTPD=0.08 con Pa=0.10 a) Valutare il piano considerando che l’azienda adotta il ripristino dei pezzi. Ipotizzare n1=n2 e privilegiare l’acquirente. b) Usare anche le MIL STD (normal level, normal inspection) e verificare le differenze dei due piani ottenuti. Riportare, oltre agli andamenti grafici qualitativi, i valori delle curve per p=0.04. Soluzione Per il punto a) bisogna utilizzare le tavole di GRUBBS per piani doppi con n1=n2 . Si calcola R=0.08/0.01=8. Si sceglie il piano #2 che corrisponde a 7.54. La soluzione è (Ac1=1 Re1=3), (Ac2=2, Re2=3) Volendo privilegiare l’acquirente n1= 3.82 /0.01= 49=n2 (2.5 punti) Usando le MIL STD , Il codice del piano per il “Normal level” è M Se andiamo alla tabella III -A, Normal Inspection, troviamo per Codice M e per AQL=0.01 (AQL=1%) n1=n2=200 e poi (Ac1=3, Re1=7) (Ac2=8, Re2=9) (2.5 punti) . 1,25 1,25 154 0.0307 5017 i i i i c U n = = = = =   ˆ / U Un  = 0, 3 , 3 ii UU Max U U nn   −+      ( ) ( ) 0.0738 0.0307 0.0738 0.0307 10.996 4.574 1 0.99 25 149 149 cc P u u P P c c   = =  = =  = = −  1 LCI  ( )2 3 1 9 293.16 294 1 UU U n n n U −       − 3 Confrontiamo i due piani : Il piano di Grubbs rispetta le specifiche date, mentre il piano MIL STD protegge molto l’acquirente. Per p=0.04 per Grubbs Pa=0.4 49 per MIL -STD Pa= 0.05 (1 punto) Average Outgoing Quality Ovviamente il piano MIL STD si comporta meglio Per p=0.04 per Grubbs AOQ=0.01 79 per MIL -STD AOQ= 0.00197 (1 punto) Average Total Inspection (con l’ipotesi di ripristino completo) In questo caso si comporta meglio il piano Grubbs Per p=0.04 Per Grubbs ATI=11 045.7 per MIL -STD ATI=19013.7 (1 punto) Curve di ASN probAccDoppio 49 ,1,3,49 ,2,3,p probAccDoppio 200 ,3,7,200 ,8,9,p aoqDoppio 49 ,1,3,49 ,2,3,p,bigN aoqDoppio 200 ,3,7,200 ,8,9,p,bigN atiDoppio 49 ,1,3,49 ,2,3,p,bigN atiDoppio 200 ,3,7,200 ,8,9,p,bigN 4 Meglio Grubbs. Per p=0.04 per Grubbs ASN= 6 2.5 per MIL -STD ASN= 253.77 (1 punto) Tutto considerato è meglio usare il piano di Grubbs (1 punto) QUESITO 3 (Punti 5) In un esperimento si sono ottenuti i seguenti dati che si riferiscono ad una quota in mm : 0.75 2.78 4.54 1.78 1.98 5.26 1.19 0.66 0.82 2.63 14.84 1.74 0.95 7.76 0.95 0.67 0.91 2.16 3.98 2.85 1.56 2.85 1.66 6.09 0.4 1 Analizzare i dati 2 Calcolare con MINITAB l’intervallo di confidenza della media e della deviazione standard (95%) Soluzione Per prima cosa osserviamo i dati Sembrano esserci due dati strani, anche il grafico di probabilità normale ha un p -value molto basso. Proviamo a trasformare i dati per vedere se aggiustiamo la situazione (1 punto) asnDoppio 49 ,1,3,49 ,2,3,p asnDoppio 200 ,3,7,200 ,8,9,p 5 Viene suggerita la trasformazione y^( -0.5 ) (1 punto) Ricontrolliamo i dati per vedere se sono stati rimossi i problemi. Tutto bene (1 punto) A questo punto possiamo calcolare gli intervalli di confidenza richiesti Descriptive Statistics N Mean StDev SE Mean 95% CI for μ 25 0.7842 0.3244 0.0649 (0.6504; 0.9181) μ: population mean of y* Test and CI for One Variance: y* Method σ: standard deviation of y* The Bonett method is valid for any continuous distribution. The chi -square method is valid only for the normal distribution. Descriptive Statistics N StDev Variance 95% CI for σ using Bonett 95% CI for σ using Chi -Square 25 0.324 0.105 (0.250; 0.457) (0.253; 0.451) (2 punt i) I valori trovati sono nella metrica trasformata. Potremmo riportarli nella metrica originaria QUESITO 4 ( 5 punti) Un’azienda vuole determinare la tolleranza naturale bilaterale di un processo in relazione ad una quota critica. Viene preso un campione di 25 (in realtà sono 20 dati) osservazioni consecutive dal processo che si ritiene stabile tecnicamente e statisticamente. I dati in mm sono riportati di seguito: 12.434 12.392 12.667 12.173 12.092 12.030 11.861 12. 005 12.315 10.958 12.342 12.274 11.526 11.924 12.555 11.559 12.821 12.166 11.765 11.638. Calcolare manualmente la tolleranza naturale . Si scelga un livello di confidenza del 95% e una proporzione di dati contenuti nell’intervallo pari al 99% . Soluzione Per prima cosa osserviamo i dati 6 In conclusione: a) non posso rifiutare l’ipotesi di normalità (p-value=0.887) b) Non si vedono dati anomali c) Non si vede nessuna autocorrelazione (nella traccia si diceva che i dati erano consecutivi) (2 punt i) Posso applicare la relazione per il calcolo della tolleranza naturale per dati normali con media e varianza incognita Statistics Variable N Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum y 20 12.075 0.443 10.958 11.789 12.129 12.380 12.821 (1 punto) Per n= 20, livello di confidenza 95% e copertura del 99% dalle tabelle si ha (in appendice Montgomery ci sono valori leggermente diversi, forse da norme precedenti, li ho considerati giusti) Quindi si ottiene l’intervallo di tolleranza naturale: [10.471 ; 13.679] (2 punt i) QUESITO 5 (3 punti) Si consideri la variabile aleatoria X per la quale . Calcolare il valore atteso della variabile aleatoria Verificare il dato teorico con una simulazione MINITAB. Soluzione 4 ˆˆ Toll k = 4 3.621 k = ( )2 , XN  2 Y X X =+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 E Y E X X E X E X E X  = + = + = + 7 In conclusione : (2 punti) Con MINITAB estraiamo 100000 valori da una normale con media 12 e deviazione standard 2 Statistics Variable N Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum x 100000 11.998 2.004 3.804 10.646 11.997 13.357 20.894 x+x^2 100000 159.96 50.41 18.27 123.98 155.94 191.77 457.45 Calcoliamo il valore atteso con la formula analitica che è straordinariamente vicina al valure ottenuto per simulazione pari a 159.96 (1 punt o) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 V X E X E X X E X E X       = = − = + − = −  = + ( ) 22 EY   = + + ( ) 22 12 12 2 160 EY = + + =